广东省揭阳市2019届高三数学第一次模拟考试试题文（含解析）.docx

广东省揭阳市2019届高三数学第一次模拟考试试题 文（含解析）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求函数定义域得集合A，再根据交集定义求结果.【详解】因为，所以，选C.【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解2.已知,是虚数单位，若，则A. B. 1或-1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的模得方程，解得.【详解】因为，所以,选B.【点睛】熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为.3.已知向量，若，则的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求，再根据向量数量积得方程，解得的值.【详解】因为，所以由得，选A.【点睛】求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.4.已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性定义以及指数函数单调性进行判断选择.【详解】因为定义域为，且，所以是奇函数，因为在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，综上选C.【点睛】本题考查函数奇偶性定义以及指数函数单调性，考查基本分析判断能力.属基本题.5.已知曲线，则下面结论正确的是（ ）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.B. 把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.【答案】C【解析】把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选.6.已知数列满足（），等比数列满足，则的前6项和为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求，再求等比数列公比，最后根据等比数列前项和公式求结果.【详解】因为，所以，因此等比数列公比,所以的前6项和为，选B.【点睛】本题考查等比数列前项和公式，考查基本分析求解能力.属基本题.7.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了茎叶图：则下列结论中表述不正确的是A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟B. 第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.【答案】D【解析】【分析】根据茎叶图统计数据、求平均数、求中位数，再根据结果作选择.【详解】第一种生产方式的工人中，完成生产任务所需要的时间至少80分钟有15人,占75%，第一种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，第二种生产方式的中，完成生产任务所需要的平均时间为，所以第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高，这40名工人完成任务所需时间从小到大排列得中间两数为，中位数为所以D错误.选D.【点睛】本题考查茎叶图，考查基本分析求解能力.属基本题.8.下图为中国古代刘徽的九章算术注中研究“勾股容方”问题的图形，图中ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，在ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出正方形DEFC的面积，再根据几何概型概率求结果.【详解】设正方形DEFC的边长为，则，因此所求概率为，选B.【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解9.如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体上下两部分的体积比为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先还原几何体，再根据柱体体积公式求体积比.【详解】几何体上部分为一个三棱柱（底面为高为1，底为4的等腰三角形，柱体高为4），下部分为一个长方体（长宽高分别为4，3，4），因此几何体上下两部分的体积比为，选C.【点睛】若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解体积.10.过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求交点坐标，再根据题意列方程解得离心率.【详解】令得,由题意得,（负值舍去），选D.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知SA与圆锥底面所成的角为45，则圆锥的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求的边长，即圆锥的母线长，再根据SA与圆锥底面所成的角求底面半径，最后根据圆锥侧面积以及底面积公式求结果.【详解】设圆锥的母线长为由题意得因为SA与圆锥底面所成的角为45，所以圆锥的底面半径为因此圆锥的表面积为，选C.【点睛】本题考查圆锥的母线长以及圆锥侧面积，考查基本分析求解能力.属基本题.12.已知点P在直线上，点Q在直线上，M为PQ的中点，且，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先确定M所在直线方程，再根据条件作可行域，最后根据表示可行域上的点到原点连线的斜率，结合图象确定取值范围.【详解】因为M为PQ的中点，所以M在直线上，即，作可行域如图，即图中射线AB，其中，则的取值范围是，选B.【点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：首先准确无误地作出可行域；其次确定目标函数的几何意义，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.命题“对”的否定是 _；【答案】【解析】【分析】根据全称命题的否定求解.【详解】命题“对”的否定是.【点睛】本题考查全称命题的否定，考查基本分析求解能力.属基本题.14.在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_.【答案】 （或 ）【解析】【分析】先求导数，根据导数几何意义得斜率，再根据二次函数性质求斜率最小值以及对应切点横坐标，最后根据点斜式得结果.【详解】因为，所以，当时，斜率最小为，此时切线方程为【点睛】本题考查导数几何意义以及二次函数性质，考查基本分析求解能力.属基本题.15.若圆与圆相切，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得的值.【详解】因为，所以,因为两圆相切，所以或，解得或.【点睛】本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基本题.16.如图，给出一个直角三角形数阵，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为,则_. 【答案】【解析】【分析】先根据等差数列求，再根据等比数列求，即得.【详解】因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为，所以，因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为，所以，因此.【点睛】本题考查等差数列以及等比数列通项公式，考查基本分析求解能力.属基本题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答第22题第23题为选考题，考生根据要求做答（一）必考题：共60分17.在ABC中，点D在BC上，.（1）求AD的长；（2）若ABD的面积为，求AB的长；【答案】（1）3； （2）9.【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数关系得再根据正弦定理求得结果，（2）先根据三角形面积公式得，再根据余弦定理得结果.【详解】解：（1）,且， 正弦定理有，得；（2）， ，得， 又，由余弦定理得，【点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.18.如图，在四边形ABED中，AB/DE，ABBE，点C在AB上，且ABCD，AC=BC=CD=2，现将ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置，且PE. （1）求证：平面PBC 平面DEBC；（2）求三棱锥P-EBC的体积.【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）根据折叠前后关系得PCCD，根据平几知识得BE/CD，即得PCBE，再利用线面垂直判定定理得EB平面PBC，最后根据面面垂直判定定理得结论，（2）先根据线面垂直EB平面PBC得高，再根据等积法以及三棱锥体积公式得结果.【详解】（1）证明：ABBE，ABCD，BE/CD，ACCD，PCCD，PCBE， 又BCBE，PCBC=C，EB平面PBC， 又EB平面DEBC，平面PBC 平面DEBC；（2）解法1：AB/DE，结合CD/EB 得BE=CD=2，由（1）知EB平面PBC，EBPB，由PE得,PBC为等边三角形， , . 解法2：AB/DE，结合CD/EB 得BE=CD=2， 由（1）知EB平面PBC，EBPB，由PE，得, PBC为等边三角形，取BC的中点O，连结OP，则,POBC，PO平面EBCD， .【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.某地种植常规稻A和杂交稻B，常规稻A的亩产稳定为500公斤，统计近年来数据得到每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%统计杂交稻B的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为，并得到散点图如下，参考数据见下（1）求出频率分布直方图中m的值，若各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B的亩产平均值； （2）判断杂交稻B的单价y（单位：元/公斤）与种植亩数x（单位：万亩）是否线性相关，若相关，试根据以下统计的参考数据求出y关于x的线性回归方程；（3）调查得到明年此地杂交稻B的种植亩数预计为2万亩，估计明年常规稻A的单价，若在常规稻A和杂交稻B中选择，明年种植哪种水稻收入更高？统计参考数据：，附：线性回归方程，【答案】（1）； （2）； （3）明年选择种杂交稻B收入更高.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1求，根据组中值与对应概率乘积的和求平均值，（2）根据散点图判断是否线性相关，代入公式求，根据求，（3）根据线性回归方程估计明年杂交稻B的单价，再乘以亩产平均值得收入，根据每年常规稻A的单价比当年杂交稻B的单价高50%得明年常规稻A的单价，再乘以500得收入，最后比较收入大小得结论.【详解】（1）由，解得解法一：杂交稻B的亩产平均值为： 解法二：设杂交稻B的亩产数据为n个，则杂交稻B的亩产平均值为： （2）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B的单价y与种植亩数x线性相关，由题目提供的数据得：，由得，所以线性回归方程为 （3）明年杂交稻B的单价估计为元公斤，明年常规稻A的单价估计为元公斤；明年常规稻A的每亩平均收入估计为元亩，明年杂交稻B的每亩平均收入估计为元亩，因19051875，所以明年选择种杂交稻B收入更高【点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.20.已知椭圆:，直线（）与椭圆交于不同的两点、. （1）若，求的值；（2）试求（其中O为坐标原点）的最大值.【答案】（1）； （2）1 .【解析】【分析】（1）联立直线方程与椭圆方程，利用弦长公式以及韦达定理求弦长，解方程得结果，（2）先代入坐标化简，再利用韦达定理代入化简得关于的函数关系式，最后根据基本不等式求最值.【详解】（1）由 消去y并整理得， 直线与椭圆交于不同的两点、，即，设，则， 即，解得.（2） 又 ， =，即的最大值为1.（当且仅当时，取得最大值）【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.已知函数（，e是自然对数的底，）（1）讨论的单调性；（2）若，是函数的零点，是的导函数，求证：【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （2）见解析.【解析】【分析】（1）先求导数，再求导函数零点，再根据与大小关系分类讨论函数单调性，（2）先研究单调性，转化所证不等式为，再根据单调性，转化证明且最后利用不等式性质进行论证.【详解】（1）， 设 ， 解法一：由和在上单调递增，可知在上单调递增，解法二：由得可知在上单调递增，又，所以当时，当时， 当时，当时，；当时， 当时，由得或x1，当时，；当时，；当时，综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减，在上单调递增 （2）解法一（分析法）：当时，由（1）知在上的最大值为，可知，所以在上无零点 若是函数的零点，则， ，解法一：由和在上单调递增，且、，可知在上单调递增，解法二：设，则，由得，所以， 可知在上单调递增，要证，只需证， 由（1）知在上单调递增， 只需证，又， 只需证且 ，由，得，又，所以；，由得，综上所述，得证方法二（综合法）：当时，由（1）知在上的最大值为，可知，所以在上无零点 若是函数的零点，则，而 ，由，得，又，所以；，由得，所以，又，即， 由（1）知在上单调递增，所以，而，由和在上单调递增，且、，可知在上单调递增， 所以，得证【点睛】研究函数单调性问题，往往转化为研究导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化研究方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等）.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（,a为常数），过点、倾斜角为的直线的参数方程满足