系统的稳定性.ppt

第五章系统的稳定性 5 1系统稳定性的初步概念 一 系统不稳定现象的发生1 线性系统稳定与否 只取决于系统内部条件 与输入无关2 系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用3 稳定性考虑的是自由振荡下的稳定性 即 输入为零 仅存初态不为零的稳定性 二 稳定的定义和条件 1 定义 若系统在初始状态 不论是无输入的初态 还是输入引起的初态 还是两者之和 的影响下 由初态所引起的系统的时间响应随着时间的推移 逐渐衰减并趋向于零 回到平衡位置 则称该系统是稳定的 反之 若在初始状态影响下 由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散 即 偏离平衡位置越来越远 则称该系统是不稳定的 2 求线性定常系统稳定性条件 三 关于稳定性的一些提法 1 李亚普诺夫意义下的稳定性若o为系统的平衡工作点 扰动使系统偏离此工作点的起始偏差 即初态 不超过域 由扰动引起的输出 这种初态引起零输入响应 及其终态不超过预先给定的某值 即不超出域 则系统称为稳定的 或称为李亚普诺夫意义下的稳定 2 渐近稳定性 渐近稳定性及线性系统定义的稳定性 要求由初态引起的响应最终衰减到零 它比李亚普诺夫意义下的稳定性要求要高 3 小偏差 稳定性 又称 局部稳定性 实际系统往往存在非线性 所以 系统的动力学方程往往是建立在 小偏差 线性化的基础上的 在偏差较大时 线性化带来的误差很大 初始偏差不超过某一微小范围的稳定性 称为小偏差稳定性 5 2劳斯稳定判据 一 系统稳定的必要条件 二 系统稳定的充要条件 1 劳斯表 2 劳斯稳定判据 劳斯表第一列各元符号改变次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数 则系统稳定的充要条件是 劳斯表第一列各元符号均为正 且不为零 0 K 34 6 0 1 三 劳斯判据的特殊情况 1 若劳斯表中任一行第一元为零 而其后各元不为零或部分不为零 用一个很小的正数 代替第一列为零的元 然后计算劳斯表其余各元 系统不稳定 有两个具有正实部的根 2 若劳斯表任一行所有元为零 用该行上一行的元构成一个辅助多项式 并用此多项式方程的导数组成劳斯表的下一行 系统不稳定有一个具有正实部的根 5 3Nyquist稳定判据 判据 1 G s H s 0Re si 0研究的是 GK j 即G j H j 一 幅角原理 若在 s 平面上任选一封闭曲线Ls 不经过F s 的奇点 则在 F s 平面上必有一对应的映射曲线LF 也是一封闭曲线 当s按顺时针沿Ls变化一周时 F s 将按顺时针方向旋转N周 即曲线LF顺时针包围原点N次 若令Z为包围于Ls中的F s 的零点数 P为包围于Ls内的F s 的极点数 则N Z P 二 Nyquist稳定判据 线性定常系统稳定的充要条件是 GB s 在 s 右半平面没有极点 即F s 在 s 右半平面没有零点 应用幅角原理 可导出Nyquist稳定判据 G s H s F s 1 对 F s 的原点的圈数即为对 1 j0 点在 G s H s 平面上的圈数 Nyquist稳定判据 当 由 到 变化时 若 GH 平面上的开环频率特性G j H j 逆时针方向包围 1 j0 点P圈 则F s 在 s 平面右半平面无零点 即包围 1 j0 点圈数N等于P圈 则闭环系统稳定 P为G s H s 在 s 平面右半平面的极点数 三 开环含有积分环节时的Nyquist轨迹 Nyquist曲线的特点 曲线在终点时的相角为 n m 900积分环节个数决定了Nyquist曲线起点 0 的位置0型起点在正实轴上1型起点在虚轴负无穷远处2型起点在实轴负无穷远处3型起点在虚轴正无穷远处终点的位置取决于分子 分母的阶次 n m 终点在原点 四 关于Nyquist判据的几点说明 1 Nyquist判据并不是在 s 平面而是在 GH 平面用开环Nyquist轨迹判别闭环系统稳定性 2 Nyquist判据证明复杂 但应用简单 因为一般系统的开环系统多为最小相位系统 P 0 故只需看开环轨迹是否包围 1 j0 点 若不包围 系统稳定 3 在P 0 即开环传函在 s 平面右半平面无极点时 称开环稳定 反之 称开环不稳定 开环不稳定 闭环可能稳定 开环稳定 闭环可能不稳定 4 开环Nyquist轨迹是实轴对称的 当 变为 时 模相同 而相位异号 五 Nyquist判据应用举例 六 具有延时环节的系统的稳定性分析 5 4Bode稳定判据 一 Nyquist图和Bode图的对应关系 1 Nyquist图上的单位圆对应于Bode图上的零分贝线 2 Nyquist图上的负实轴相当于Bode图上的 180o线 Nyquist轨迹与单位圆交点的频率 即为幅频特性曲线与0分贝线相交的剪切频率或幅值穿越频率 c Nyquist轨迹与负实轴交点的频率 即为相频特性曲线与 180o线交点的频率 称为相位穿越频率 g 二 穿越的概念 开环Nyquist轨迹逆时针包围点 1 j0 的次数等于正穿越和负穿越次数之差 三 Bode判据 闭环系统稳定的充要条件是 在Bode图上 当 由0变到 时 在开环对数幅频特性为正值的频率范围内 开环对数相频特性对 180o线正穿越与负穿越次数之差为P 2 P为开环右半平面极点数 闭环系统稳定 否则不稳定 一般系统的开环系统为最小相位系统 即P 0 若 c g 不稳定 若 c g 临界稳定 5 5系统的相对稳定性 一 相位裕度 定义 在 为剪切频率 c 0 时 相频特性 GH距 180o线的相位差值 称为相位裕度 180o c 对于稳定系统 必在Bode图横轴以上 称为正相位裕度 反之 不稳定系统 称为负相位裕度 二 幅值裕度Kg 定义 当 为相位交界频率 g g 0 时 开环幅频特性 G j g H j g 的倒数 称为系统的幅值裕度 即在Bode图上 幅值裕度以分贝表示为 对于稳定系统 Kg必在0分贝线以下 Kg 0 称为正幅值裕度 反之 不稳定 Kg 0 称为负幅值裕度 结论 对于开环极点P 0的系统的闭环系统来说 G j H j 具有正幅值裕度与正相位裕度时 其闭环系统是稳定的