2018_2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式练习（含解析）新人教A版.docx

三排序不等式一、选择题1.设a,b0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q的大小关系是()A.PQB.PQC.P0,则a3b3c3,根据排序原理,得a3a+b3b+c3ca3b+b3c+c3a.又知abacbc,a2b2c2,所以a3b+b3c+c3aa2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)0.答案:B4.若A=+,B=x1x2+x2x3+xn-1xn+xnx1,其中x1,x2,xn都是正数,则A与B的大小关系为()A.ABB.ABC.ABD.AB解析:依序列xn的各项都是正数,不妨设00,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是() A.M0B.M0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定解析:不妨设abc0,则a3b3c3,且a4b4c4,则a5+b5+c5=aa4+bb4+cc4ac4+ba4+cb4.又a3b3c3,且abacbc,a4b+b4c+c4a=a3ab+b3bc+c3caa3bc+b3ac+c3ab.a5+b5+c5a3bc+b3ac+c3ab.M0.答案:A二、非选择题6.在ABC中,A,B,C所对的边依次为a,b,c,则.(填“”或“”)解析:不妨设abc,则有ABC.由排序不等式,可得aA+bB+cCaA+bC+cB,aA+bB+cCaB+bA+cC,aA+bB+cCaC+bB+cA.将以上三个式子两边分别相加,得3(aA+bB+cC)(a+b+c)(A+B+C)=(a+b+c).所以.答案:7.设a,b都是正数,求证:.解析:观察不等式找出数组,并比较大小,用排序不等式证明.答案：证明:由题意不妨设ab0.则a2b2,.所以.根据排序不等式,知,即.8.设a,b,c都是正实数,求证:aabbcc(abc.解：证明:不妨设abc0,则lg alg blg c,据排序不等式,有alg a+blg b+clg cblg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg cclg a+alg b+blg c,且alg a+blg b+clg c=alg a+blg b+clg c,以上三式相加整理,得3(alg a+blg b+clg c)(a+b+c)(lg a+lg b+lg c),即lg(aabbcc)lg(abc).故aabbcc(abc.9.设a,b,c是某三角形的三边长,证明a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)0,并求何时取等号?解：证明:不妨设abc,则.此时a(b+c-a)b(c+a-b)c(a+b-c).于是由排序不等式,可得a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)=a+b+c,即(b-a)+(c-b)+(a-c)0,a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)0.上式当且仅当,或者a(b+c-a)=b(c+a-b)=c(a+b-c),即a=b=c时取等号.10.设a,b,c都是正实数,求证:.解：证明:设abc0,则,而.由不等式的性质,知a5b5c5.根据排序不等式,知.又由不等式的性质,知a2b2c2,.由排序不等式,得.由不等式的传递性,知.原不等式成立.三、备选习题1.设a,b,c是正实数,求证:a+b+c.解：证明:不妨设abc0,于