（浙江专用）高考数学第五章平面向量、复数1第1讲平面向量的概念及线性运算教学案.docx

第五章 平面向量、复数知识点最新考纲平面向量的几何意义及基本概念理解平面向量及几何意义，理解零向量、向量的模、单位向量、向量相等、平行向量、向量夹角的概念.向量的线性运算掌握平面向量加法、减法、数乘的概念，并理解其几何意义.平面向量的基本定理及坐标表示 理解平面向量的基本定理及其意义，会用平面向量基本定理解决简单问题 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 掌握平面向量的加法、减法与数乘的坐标运算.平面向量的数量积及向量的应用 理解平面向量数量积的概念及其几何意义 掌握平面向量数量积的坐标运算，掌握数量积与两个向量的夹角之间的关系 会用坐标表示平面向量的平行与垂直 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.复数 了解复数的定义、复数的模和复数相等的概念 了解复数的加、减运算的几何意义 理解复数代数形式的四则运算.第1讲平面向量的概念及线性运算1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于1个单位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)续表向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数与向量a的积的运算| a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与 a的方向相反；当0时， a0( a)()a；()aa_a；(ab)ab3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba说明三点共线的等价关系A，P，B三点共线(0)(1t)t(O为平面内异于A，P，B的任一点，tR)xy(O为平面内异于A，P，B的任一点，xR，yR，xy1)疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段表示向量()(2).()(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()(4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上()(5)若ab，bc，则ac.()(6)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化(必修4P108B组T5改编)在平行四边形ABCD中，若|，则四边形ABCD的形状为_解析：如图，因为，所以|.由对角线相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形答案：矩形易错纠偏(1)对向量共线定理认识不准确；(2)向量线性运算不熟致错；(3)向量三角不等式认识不清致错1对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若ab0，则ab，所以ab.若ab，则ab0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件2设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则1_，2_解析：()，所以1，2.答案：3已知向量a，b，若|a|2，|b|4，则|ab|的取值范围为_解析：当a与b方向相同时，|ab|2，当a与b方向相反时，|ab|6，当a与b不共线时，2|ab|0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反；B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小3(2020浙江省新高考学科基础测试)设点M是线段AB的中点，点C在直线AB外，|6，|，则|()A12 B6C3 D.解析：选C.因为|2|，|，所以2|6，所以|3，故选C.4已知a，b是任意的两个向量，则下列关系式中不恒成立的是()A|a|b|ab|B|ab|a|b|C(ab)2a22abb2D(ab)3a33a2b3ab2b3解析：选D.由三角形的三边关系和向量的几何意义，得|a|b|ab|，所以A正确；因为|ab|a|b|cos a，b|，又|cos a，b|1，所以|ab|a|b|恒成立，B正确；由向量数量积的运算，得(ab)2a22abb2，C正确；根据排除法，故选D.5已知a，b是非零向量，命题p：ab，命题q：|ab|a|b|，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.若ab，则|ab|2a|2|a|，|a|b|a|a|2|a|，即pq，若|ab|a|b|，由加法的运算知a与b同向共线，即ab，且0，故q p.所以p是q的充分不必要条件，故选A.6(2020温州市普通高中模考)已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若(0，0)，则的取值范围是()A(0，1) B(1，)C(1， D(0， )解析：选B.由题意可得kkk(0k1)，又A，D，B三点共线，所以kk1，则1，即的取值范围是(1，)，选项B正确7已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析：如图，ba，ab.答案：baab8(2020温州质检)如图所示，在ABC中，BO为边AC上的中线，2，设，若(R)，则的值为 _解析：因为2，所以，又，可设m，从而.因为，所以，1.答案：9若|8，|5，则|的取值范围是_解析：，当，同向时，|853；当，反向时，|8513；当，不共线时，3|13.综上可知3|13.答案：3，1310(2020杭州中学高三月考)已知P为ABC内一点，且520，则PAC的面积与ABC的面积之比等于_解析：因为520，所以，延长AP交BC于D，则，从而可以得到D是BC边的三等分点，且CDCB，设点B到边AC的距离为d，则点P到边AC的距离为dd，所以PAC的面积与ABC的面积之比为.答案：11.在ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解：()ab.()()ab.12经过OAB重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，求的值解：设a，b，则(ab)，nbma，(ab)maab.由P，G，Q共线得，存在实数使得，即nbmaab，从而消去，得3.综合题组练1设P是ABC所在平面内的一点，且2，则PAB与PBC的面积的比值是()A. B.C. D.解析：选B.因为2，所以，又PAB在边PA上的高与PBC在边PC上的高相等，所以.2(2020福建省普通高中质量检查)已知D，E是ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若xy，则xy的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D.由题意，知P，B，C三点共线，则存在实数使，所以()，所以(1)，则，所以xy1且x，于是xyx(1x)，所以当x时，xy取得最大值；当x或x时，xy取得最小值，所以xy的取值范围为，故选D.3(2020浙江名校协作体高三联考)如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB的延长线，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn_解析：作BGAC，则BGNC，.因为O是BC的中点，所以NOCGOB，所以|BG|NC|，又因为|AC|n|AN|，所以|NC|(n1)|AN|，所以n1.因为|AB|m|AM|，所以|BM|(1m)|AM|，所以1m，所以n11m，mn2.答案：24.(2020温州市四校高三调研)如图，矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足1，若xy，则xy的最小值为_解析：连接MN交AC于点G，由勾股定理，知MN2CM2CN2，所以1，即MNCMCN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线因为xy(xy)，所以由共线定理知，(xy)，所以xy，又因为|max514，所以xy的最小值为.答案：5如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M，N是EF上的两个三等分点，若a，b，2.(1)用a，b表示；(2)证明A，M，C三点共线解：(1)abab，又E为AD中点，所以ab，因为EF是梯形的中位线，且2，所以()a，又M，N是EF的三等分点，所以a，所以abaab.(2)证明：由(1)知a，所以ab，又与有公共点M，所以A，M，C三点共线6已知O，A，B是不共线的三点，