数学建模的常用方法

我们称研究对象的同一个量在两个不同方面的表现之间的关系为平衡原理 利用这些平衡关系导出研究对象的数学关系的过程称为用平衡原理建模 第四章数学建模的常用方法 上 4 1平衡原理建模 一 平衡原理 思考题 用平衡原理方法建立某物种数量发展的数学模型 用动态平衡的方法建立某可再生物种的动态平衡模型 4 2数据资料建模 一 数据资料建模方法的含义 1 数据资料建模方法的适用范围在科学研究中 人们经常遇到的有些问题具有以下特征 能确定其中某些因素之间有因果关系 但不知道这种因果关系的解析表达 当需要对研究对象进行类别划分时 知道区分这些对象的类别归属的描述指标 但面对一个给定的对象 怎样确定它应该属于哪一类 其科学标准和方法是什么 哪些因素之间有因果关系 哪种因果关系是该问题中因果关系的更准确的表达 哪些指标能更有力地区分研究对象的类属 2 多个原因的线性因果关系 问题的表现形式为 现假设因果关系的函数形式为 将问题中的数据代入模型即有误差 上式便是模型中的系数应该满足的条件 应用求多元函数极值的方法不难求得全部系数的估计值 在建模时 这一计算求解过程由专门的计算函数来完成 3 单一原因的非线性因果关系 问题的表现形式为 这些数据全是具体数值 它们的任何已知函数值也是已知数值 如果猜想我们的模型是 其中a b是待定系数 它们 由实际问题中收集到的数据所确定 对于任何一个原因数据xi 是一个已知数值 基于这一认识 上述模型中待定系数的确定就等同于下述模型中相应系数的确定 问题便转化成一个原因的线性因果关系 我们还可以尝试用下列模型进行拟合 以选择拟合精度最高的模型作为我们的最终模型 例5 一个模型类型设定方面的例子 问题 在录音机运行过程中 我们观测了录音机运行的时间和它的计数器的读数的数据如下表 试建模分析其运行规律 仔细观察表中数据的特征 读数与时间之间的正向增长关系 其增加速度并不均匀 由此 我们联想到读数记录着磁带轮的转数 即磁带轮的转速随缠在它身上的磁带的减少而加快 因此 有理由设想磁带轮转动的线速度是常数 于是我们有假设 1 计数器的读数n与缠有磁带的轮的转速k成正比 2 磁带运动时的线速度是常数v3 磁带的厚度均为d 各圈磁带间无空隙4 磁带缠绕一圈的长度等于它所缠顾的圆的周长 假设我们在开始运行时把计数器置为0 空磁带轮的半径为r 与计数器相连的磁带轮上缠有N圈磁带 于是由假设1有 令L k 表示从磁带轮最外圈开始k圈磁带的长度 由假设3和4有 6 多指标对象类属的判别方法 三 数据资料建模实例 例1 多原因的线性模型 例2 单原因的非线性模型 例3 多原因的非线性模型 例4 多指标对象的分类实例 4 3数学规划建模 一 规划模型的数学描述 一 规划模型的一般含义 若某实际问题所表示成的数学形式为 S t 为subjectto的缩写 即 受约束于 之意 则称该问题可用数学规划方法建模 也称该问题的数学模型是一个数学规划模型 满足所有约束条件的任一x称为一个可行解 可行解之集称为可行域 二 规划模型的分类 1 根据是否存在约束条件分为约束问题和无约束问题 2 根据设计变量的性质分为静态问题和动态问题 无约束问题 约束问题 动态约束问题 3 根据目标函数和约束条件表达式的性质可分为线性规划 非线性规划 二次规划 多目标规划等 四 建立优化模型的一般步骤 1 确定设计变量和目标变量 2 确定目标函数的表达式 3 寻找约束条件 例1 设某厂生产电脑和手机两种产品 这两种产品的生产需要逐次经过两条装配线进行装配 电脑在第一条装配线每台需要2小时 在第二条装配线每台需要3小时 手机在第一条装配线每台需要4小时 在第二条装配线每台需要1小时 第一条装配线每天有80个可用工时 第一条装配线每天有60个可用工时 电脑和手机每台的利润分别为100元和80元 问怎样制定生产计划 分析 目标是利润L 而利润是由电脑的产量x和手机的产量y决定 假设 1 两种产品的销量不受限制 2 原材料供应不受限制 约束条件 装配线1的工时限制 装配线2的工时限制 变量约束 建立模型 模型求解 1 2 4 3 6 5 7 例2 最短路线问题的数学建模实例 14 15 12 10 13 20 9 12 8 8 10 1 2 4 3 6 5 7 9 8 10 例3 最短路线问题算例 100 150 200 175 125 400 250 300 200 275 175 275 200 350 150 100 9 10100 8 10150 6 9 10300 5 8 10400 7 8 10275 2 6 10600 4 6 10500 3 5 10600 1 4 10650 最短路线为 1 4 6 9 10 长度 650 例4 分派问题的数学模型 1 2 4 3 6 5 7 14 15 12 10 13 20 9 12 8 8 10 例5 最小费用流问题 1 2 4 3 6 5 7 14 15 12 10 13 20 9 12 8 8 10 例6 最大流量问题 钢管的订购和运输 一单位钢管的铁路运价如下表 图1 图2 1 2 4 3 6 5 7 9 8 10 最短路线问题算例 100 150 200 175 125 400 250 300 200 275 175 275 200 350 150 100 9 10100 8 10150 6 9 10300 5 8 10400 7 8 10275 2 6 10600 4 6 10500 3 5 10600 1 4 10650 最短路线为 1 4 6 9 10 长度 650 最小运费单价表 最小运费单价表 符号说明 工厂定期订购原料 存入仓库供生产之用 车间一次加工出一批零件 供装配线每天生产之用 商店成批购进各种商品 放在货柜里以备零售 水库在雨季蓄水 用于旱季的灌溉和发电 例1存贮模型 四 简单优化模型举例 存贮量多少合适 存贮量过大 存贮费用太高 存贮量太小 会导致一次性订购费用增加 或不能及时满足需求 问题1不允许缺货的存贮模型 配件厂为装配线生产若干种部件 轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费 与生产数量无关 同一部件的产量大于需求时因积压资金 占用仓库要付存贮费 今已知某一部件的日需求量100件 生产准备费5000元 存贮费每日每件1元 如果生产能力远大于需求 并且不允许出现缺货 试安排该产品的生产计划 即多少天生产一次 称为生产周期 每次产量多少 可使总费用最小 问题分析 若每天生产一次 每次100件 无存贮费 生产准备费5000元 每天费用5000元 若10天生产一次 每次1000件 存贮费900 800 100 4500元 生产准备费5000元 总计9500元 平均每天费用950元 若50天生产一次 每次5000件 存贮费4900 4800 100 122500元 生产准备费5000元 总计127500元 平均每天费用2550元 寻找生产周期 产量 需求量 生产准备费和存贮费之间的关系 使每天的费用最少 模型假设 1连续化 即设生产周期T和产量Q均为连续量 2产品每日的需求量为常数r 3每次生产准备费C1 每日每件产品存贮费C2 4生产能力为无限大 相对于需求量 当存贮量降到零时 Q件产品立即生产出来供给需求 即不允许缺货 模型建立 总费用与变量的关系 总费用 生产准备费 存贮费 存贮费 存贮单价 存贮量 存贮量 设t时刻的存贮量为q t t 0时生产Q件 存贮量q 0 Q q t 以需求速率r线性递减 直至q T 0 如图 q t Q rt Q rT 存贮量的计算 一个周期内存贮量 一个周期内存贮费 A的面积 一个周期的总费用 每天平均费用 模型求解 用微分法 每天平均最小费用 著名的经济订货批量公式 EOQ公式 思考 建模中未考虑生产费用 这应是最大一笔费用 在什么情况下才可以不考虑它 建模时作了 生产能力无限大 的简化假设 如果生产能力有限 是大于需求量的一个常数 如何建模 结果解释 当准备费c1增加时 生产周期和产量都变大 当存贮费c2增加时 生产周期和产量都变小 当日需求费r增加时 生产周期变小而产量变大 这些定性结果符合常识 而定量关系 平方根 系数2等 凭常识是无法得出的 只能由数学建模得到 这里得到的费用C与前面计算得950元有微小差别 你能解释吗 在本例中 敏感性分析 讨论参数 有微小变化时对生产周期T影响 由相对变化量衡量对参数的敏感程度 T对c1的敏感程度记为 意义是当准备费增加1 时 生产周期增加0 5 而存贮费增加1 时 生产周期减少0 5 日需求量增加1 时 生产周期减少0 5 当 有微小变化对生产周期影响不太大 模型假设 1连续化 即设生产周期T和产量Q均为连续量 2产品每日的需求量为常数r 3每次生产准备费C1 每日每件产品存贮费C2 4生产能力为无限大 相对于需求量 允许缺货 每天每件产品缺货损失费C3 但缺货数量需在下次生产 订货 时补足 问题2允许缺货的存贮模型 模型建立 总费用 生产准备费 存贮费 缺货损失费 存贮费 存贮单价 存贮量 缺货损失费 缺货单价 缺货量 存贮量 缺货量 因存贮量不足造成缺货 因此q t 可