高中数学 2.4等比数列（2课时）课件 新人教A版必修5

第一课时 2 4等比数列 问题提出 1 什么叫等差数列 其递推公式是什么 从第2项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列称为等差数列 或an 1 an 1 2an n 2 2 就数列的单调性而言 等差数列有哪几种类型 3 等差数列是一类特殊数列 它具有很高的学术价值和应用价值 在现实生活中 还有与等差数列具有同等地位和价值的数列吗 这是一个需要研究的问题 d 0时 an 是递增数列 d 0时 an 是递减数列 d 0时 an 是常数列 等比数列及其通项公式 知识探究 一 等比数列的基本概念 1 2 4 8 思考2 我国古代学者提出 一尺之棰 日取其半 万世不竭 即一尺长的木棒 每日取其一半 永远也取不完 那么每日取得的木棒的长度构成一个什么数列 1 思考3 一种计算机病毒通过邮件进行传播 如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮 邮件接收者发送病毒称为第二轮 依此类推 假设每一轮每台计算机都感染20台计算机 那么在不重复的情况下 这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么 1 20 202 203 思考4 复利 也是银行支付利息的一种方式 按照复利计算本利和的公式是 本利和 本金 1 利率 存期 现在存入银行1000元钱 年利率是1 98 那么按照复利 5年内各年末得到的本利和构成的数列是什么 1000 1 0198 1000 1 01982 1000 1 01983 1000 1 01984 1000 1 01985 思考5 上述4个数列各有什么特点 这4个数列有什么共同特点 共同特点 从第2项起 每一项与其前一项的比都等于同一个常数 思考6 我们把上述数列都叫做等比数列 你能给出等比数列的一般定义吗 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 这个数列就叫做等比数列 这个常数就叫做等比数列的公比 常用字母q表示 思考7 设等比数列 an 的公比为q 如何用递推公式描述等比数列的定义 思考8 在等比数列 an 中 an 1 an an 1三者之间有什么关系 an 1 an 1 an2 n 2 知识探究 二 等比数列的通项公式 思考1 下面四个等比数列的通项公式分别是什么 1 1 2 4 8 2 1 3 1 20 202 203 4 1000 1 0198 1000 1 01982 1000 1 01983 1000 1 01984 1 an 2 an 3 an 4 an 思考2 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 那么a2 a3 a4 a5分别等于什么 由此归纳猜想 an等于什么 思考3 如何根据等比数列的定义证明上述结论 思考4 将等比数列的通项公式看作是一个关于n的函数 这是一个什么类型的函数 思考5 有没有既是等差数列又是等比数列的数列 理论迁移 例1某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过一年剩留的物质是原来的84 这种物质的半衰期为多长 放射性物质衰变到原来的一半所需的时间称为半衰期 精确到1年 半衰期约4年 例2根据下列程序框图 写出所打印数列的前5项 并建立数列的递推公式 求出其通项公式 例3一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18 求它的第1项和第2项 小结作业 1 等比数列的基本特征可理解为 从第2项起 每一项与它的前一项的比都相等 并且可以用两种递推公式来描述 2 等比数列的通项公式是由其定义推导出来的 确定一个等比数列需要两个独立条件 3 等比数列与等差数列是两个并列概念 但二者有很大的差异 根据等比数列的定义和通项公式还可发掘出许多性质 具体内容待后探究 作业 P53习题2 4A组 1 2 3 第二课时 2 4等比数列 问题提出 1 什么叫做等比数列 等比数列的递推公式有哪两种形式 从第2项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数的数列叫做等比数列 an 1 an 1 an2 n 2 2 等比数列的通项公式是什么 3 根据等比数列的定义和通项公式 可以发掘出等比数列有哪些基本性质 这是一个值得探究的问题 等比数列的性质 知识探究 一 等比数列概念的拓展 思考1 一般地 若a G b成等比数列 则G叫做a与b的等比中项 那么任意两个数a和b一定存在等比中项吗 思考2 若ab 0 那么数a和b的等比中项有几个 它与数a和b有什么关系 思考3 等差数列的各项和公差可以取任意实数 等比数列的各项和公比可以取任意实数吗 思考4 若数列 an 是等比数列 p为常数 那么数列 pan an an 1 an2 a2n a2n 1 还是等比数列吗 都不为零 思考6 类比等比数列定义 等积数列 从第2项起 每一项与它的前一项的积等于同一个常数 那么 等积数列 有什么特征 思考5 若数列 an bn 都是等比数列 那么数列 an bn an bn 还是等比数列吗 知识探究 二 等比数列通项公式拓展 思考1 在等比数列 an 中 若a1 0 如何讨论等比数列 an 的单调性 q 1时单调递增 0 q 1时单调递减 q 1时为常数列 q 0是为摆动数列 思考2 一般地 等比数列 an 的通项公式可写为an c qn 反之 若an c qn cq 0 则数列 an 一定是等比数列吗 思考3 设等比数列 an 的公比为q 则等于什么 由此可知an等于什么 思考4 在等比数列 an 中 a3 a8与a5 a6有什么关系 a4 a9与a6 a7有什么关系 思考5 一般地 在等比数列 an 中 什么条件下有 反之成立吗 m n p q 思考6 在等比数列 an 中 a1 an可以等于什么 a1 an a2 an 1 a3 an 2 理论迁移 例1在等比数列 an 中 已知 求 例2在等比数列 an 中 已知 求该数列前7项之积 20 2187 例3在等比数列 an 中 已知求 例4已知非零实数a b c d满足 求证 a b c成等比数列 1 从等比数列的概念和通项公式出发 可发掘出等比数列的许多性质 这是一种研究性学习 适当了解这些拓展性内容 可以加深对等比数列的理解 提高对等比数列的理性认识 小结作业