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文档简介

第二节矩阵的运算及其性质 一 矩阵的加法二 数与矩阵的乘法三 矩阵的乘法四 矩阵的转置五 n阶方阵的行列式 定义 一 矩阵的加法 设有两个矩阵那末矩阵与的和记作 规定为 说明只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 例如 2 矩阵加法的运算规律 1 定义 二 数与矩阵相乘 2 数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来 统称为矩阵的线性运算 设为矩阵 为数 定义 并把此乘积记作 三 矩阵与矩阵相乘 设是一个矩阵 是一个矩阵 那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵 其中 例 设 例2 故 解 注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 例如 不存在 矩阵乘法的运算规律 其中为数 若A是阶矩阵 则为A的次幂 即并且 注意矩阵不满足交换律 即 例设 则 但也有例外 比如设 则有 例3计算下列乘积 解 解 解 例4 由此归纳出 用数学归纳法证明 当时 显然成立 假设时成立 则时 所以对于任意的都有 定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵 叫做的转置矩阵 记作 例 转置矩阵 四 矩阵的其它运算 转置矩阵的运算性质 例5已知 解法1 解法2 2 方阵的行列式 定义由阶方阵的元素所构成的行列式 叫做方阵的行列式 记作或 运算性质 3 对称阵与伴随矩阵 定义 设为阶方阵 如果满足 即那末称为对称阵 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 说明 例6设列矩阵满足 证明 例7证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和 证明 所以C为对称矩阵 所以B为反对称矩阵 命题得证 定义 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵的伴随矩阵 4 共轭矩阵 故 同理可得 运算性质 设为复矩阵 为复数 且运算都是可行的 五 小结 矩阵运算 加法 数与矩阵相乘 矩阵与矩阵相乘 转置矩阵 对称阵与伴随矩阵 方阵的行列式 共轭矩阵 2 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时 两个矩阵才能相乘 且矩阵相乘不满足交换律 1 只有当两个矩阵是同型矩阵时 才能进行加法运算 注意 3 矩阵的数乘运
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