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相似三角形的周长与面积一、知识点归纳相似三角形(或多边形)周长的比等于相似比；相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比，对应边上高的比都等于相似比.例1：已知ABC是的中线，AD是ABC的中线，是的中线，若，且ABC的周长为20 cm，则的周长为_.解析：因为ABC，所以他们周长的比等于它们的相似比，对应边中线的比等于相似比，即相似比k=，已知ABC周长为20 cm，故的周长=220=40 cm.BEDCAHGFP图1例2:如图1，矩形EFGH内接于ABC，ADBC于D，交EH于P，若矩形的周长为24，BC=10，AP=16，求.解析:欲求，已知底边BC只需求高PD即可，而高PD等于矩形EFGH的一边，且是ABC的高AD的一部分，因为EHBC，故有AEHABC，可利用相似三角形对应边的比等于对应高的比来解决问题.设PD=x，则EF=x.矩形EFGH的周长为24. EF+EH=12，EH=12 x，又EHBC， AEHABC， .(不合题意舍去).x=4， 即PD=4. 方法探究:与相似三角形有关的计算问题，一般要利用相似三角形的性质，本题就是利用相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求解.相似三角形（或相似多边形）面积的比等于相似比的平方.例3两个三角形的相似比为2:3，它们的面积之和为78，则较大三角形的面积为_.解析:设较小的三角形面积为，较大的三角形面积为 ，由于两个三角形相似，则由合性质有:，把代入得，例4：如图2，把ABC沿AB边平移到的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离是多少?图2BCAO解析:由题意知A=，=ABC，ABC， .方法探究:由平移不改变图形的形状和大小，因而得到ABC，再根据的面积为ABC面积的一半，知与ABC的相似比为1: ，从而可得到的长，再求即可.二、相似三角形的周长与面积的实际应用例5：一块直角三角形木版的一条直角边AB为1.5 m，面积为1.5，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图3进行加工，小华准备按图4进行裁料，他们谁的加工方案符合要求?EDCBA图3FDCBAGHE图4FM解析:要比较哪个加工方案符合要求，就是要比较两个方案加工出来的正方形桌面的面积大小，利用相似三角形的性质求出正方形的边长即可.小明的方案中:设正方形BFED的边长为x m，则BC=2(m).由DEAB，得CDECBA， (m).小华的方案中:设正方形的边长为y(m)，AC上的高BH交DE于M，则BC=2(m).由勾股定理AC=(m).由得(m).DEAC， BDEBAC， y=(m). xy， .故采用小明的方案加工出的桌面的面积最大符合要求.方法
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