等差数列求和公式

2 3 1等差数列的求和公式 第一课时 1 数列前n项和的定义一般地 称 为数列 an 的前n项和 用Sn表示 即Sn Sn与通项an之间的关系 a1 a2 a3 an a1 a2 a3 an 新课讲解 2 等差数列的前n项和公式 求和公式变形 等差数列前n项和公式的函数特征 2 当A 0 B 0时 Sn 0是关于n的常数函数 此时a1 0 d 0 当A 0 B 0时 Sn Bn是关于n的正比例函数 此时a1 0 d 0 当A 0 B 0时 Sn An2 Bn是关于n的二次函数 此时d 0 题型一与等差数列前n项和有关的基本量的计算 2 a1 4 S8 172 求a8和d 3 已知d 2 an 11 Sn 35 求a1和n 例1 在等差数列 an 中 例题讲解 1 在等差数列 an 中 1 已知a6 10 S5 5 求a8和S10 2 已知a3 a15 40 求S17 跟踪练习 题型二利用Sn与an的关系求an 解 1 当n 1时 a1 S1 3 2 5 当n 2时 Sn 1 3 2n 1 又Sn 3 2n an Sn Sn 1 2n 2n 1 2n 1 化简得 an 1 an an 1 an 2 0 因为an 0 an 1 an 2 又4S1 4a1 a1 1 2得a1 1 故 an 是以1为首项 2为公差的等差数列 所以an 2n 1 2 已知一个数列的前n项和为Sn n2 n 1 求它的通项公式 问它是等差数列吗 解 1 a1 S1 5 当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 1 当n 1时也适合 an 4n 1 1 1 已知数列 an 的前n项和Sn 2n2 3n 求an 跟踪练习 题型三求数列 an 的前n项和 例3 3n 104 n 1也适合上式 数列通项公式为an 3n 104 n N 由an 3n 104 0 得n 34 7 即当n 34时 an 0 当n 35时 an 0 1 当n 34时 Tn a1 a2 an a1 a2 an 2 当n 35时 Tn a1 a2 a34 a35 an a1 a2 a34 a35 a36 an 2 a1 a2 a34 a1 a2 an 1 已知数列 an 中 Sn n2 10n 数列 bn 的每一项都有bn an 求数列bn的前n项之和Tn的表达式 解由Sn n2 10n得an Sn Sn 1 11 2n n 2 n N 验证a1 9也符合上式 an 11 2n n N 当n 5时 an 0 此时Tn Sn n2 10n 当n 5时 an 0 此时Tn 2S5 Sn n2 10n 50 跟踪练习 方法技巧等差数列中创新型问题的求解策略 关于等差数列的创新型试题 常以图表 数阵 新定义等形式出现 示例 下表给出一个 等差数阵 其中每行 每列都是等差数列 aij表示位于第i行第j列的数 1 写出a45的值 2 写出aij的计算公式 解 1 通过观察 等差数阵 发现 第一行的首项为4 公差为3 第二行首项为7 公差为5 归纳总结出 第一列 每行的首项 是以4为首项 3为公差的等差数列 即3i 1 各行的公差是以3为首项 2为公差的等差数列 即2i 1 所以a45在第4行 首项应为13 公差为9 进而得出a45 49 2 该 等差数阵 的第一行是首项为4 公差为3的等差数列 a1j 4 3 j 1 第二行是首项为7 公差为5的等差数列 a2j 7 5 j 1 第i行是首项为4 3 i 1 公差为2i 1的等差数列 因此 aij 4 3 i 1 2i 1 j 1 2ij i j i 2j 1 j 2 3 1等差数列的求和公式 第二课时 1 等差数列前n项和的性质 1 Sm S2m S3m分别为 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则Sm S2m Sm S3m S2m也成等差数列 公差为 2 m2d 新课讲解 3 若S奇表示奇数项的和 S偶表示偶数项的和 公差为d 若 则S偶 S奇 若 则 思考 如果数列的前n项和公式Sn An2 Bn 其中A B为常数 那么这个数列是否一定为等差数列 提示 由Sn a1 a2 a3 an 1 an 得Sn 1 a1 a2 a3 an 1 n 2 由 得an Sn Sn 1 n 2 S1 a1 又Sn An2 Bn 当n 2时 an Sn Sn 1 2An A B 当n 1时 a1 S1 A B符合上式 an 2An A B n N 数列 an 是等差数列 首项为A B 公差为2A 2 等差数列前n项和的最值 1 在等差数列 an 中 最大 最小 最小 最大 题型一等差数列前n项和性质的应用 2 一个等差数列的前10项之和为100 前100项之和为10 求前110项之和 3 两个等差数列 an bn 的前n项和分别为Sn Tn 1 若 求 2 若 求 例1 1 设等差数列的前n项和为Sn 已知前6项和36 Sn 324 最后6项的和为180 n 6 求数列的项数n 例题讲解 规律 等差数列中 Sm n Sn m 则Sm n m n 1 等差数列中 1 am n an m 求证 am n 0 2 Sm Sn 求证 Sm n 0 3 Sm n Sn m 求证 Sm n m n 跟踪练习 3 等差数列中 S30 90 a3 a6 a9 a30 36 1 求d 2 求a1 a4 a7 a28 2 等差数列中 S3 45 Sn 360 Sn 3 225 求n 例2 一个等差数列的前12项和为354 前12项中偶数项和与奇数项和之比为32 27 求公差d 解法一设此数列首项为a1 公差为d S偶 S奇 6d d 5 跟踪练习 1 一个等差数列有奇数项 奇数项和为132 偶数项和为120 求项数 题型二等差数列前n项和的最值问题 1 已知等差数列 an 中 a1 9 a4 a7 0 1 求数列 an 的通项公式 2 当n为何值时 数列 an 的前n项和取得最大值 解 1 由a1 9 a4 a7 0 得a1 3d a1 6d 0 解得d 2 an a1 n 1 d 11 2n 2 法一a1 9 d 2 跟踪练习 n2 10n n 5 2 25 当n 5时 Sn取得最大值 法二由 1 知a1 9 d 20 n 6时 an 0 S5最大 2 等差数列中 1 求Sn最大值 求Sn最大值 3 求Tn a1 a2 an 已知等差数列 an 满足 a3 7 a5 a7 26 an 的前n项和为Sn 1 求an及Sn 解 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a3 7 a5 a7 26 所以有 题型三裂项相消法求数列的和 例3 1 已知数列 an 是等差数列 其前n项和为Sn a3 6 S3 12 1 求数列 an 的通项公式 跟踪练习 1 求数列 an 的通项公式 题型四等差数列的综合应用 跟踪练习 误区警示分析问题不严密致误 示例 解中仅解不等式an 0是不正确的 事实上应解an 0 an 1 0 S10 S15 S15 S10