河北省2011年高考数学第一轮总复习知识点检测 6.1不等关系与不等式课件 旧人教版

第六单元不等式 知识体系 第一节不等关系与不等式 基础梳理 1 不等式的定义 用不等号 连接两个数或代数式的式子叫做不等式 2 不等式的基本性质 1 a b b a 2 a b b c a c 3 a ba c b c 4 a b c 0 ac bc 5 a b cb c d a c b d 7 a b 0 c d 0 ac bd 8 a b 0 n N n 1 3 实数比较大小的方法 1 a b 0 a b 2 a b 0 a b 3 a b 0 a b 典例分析 题型一用不等式表示不等关系 例1 某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车 计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元 90万元的A型汽车和B型汽车 根据需要 A型汽车至少买5辆 B型汽车至少买6辆 写出满足上述所有不等关系的不等式 分析设出未知数 根据题意找出相应的不等关系 然后用不等式将它们正确表示出来 解设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆 y辆 则即 学后反思 1 将实际的不等关系写成对应的不等式时 应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换 这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系 常见的文字语言与数学符号之间的转换关系如下表 2 注意区分 不等关系 和 不等式 的异同 不等关系强调的是 关系 可用 表示 不等式则是表现不等关系的 式子 对于实际问题中的不等关系可以从 不超过 至少 至多 等关键词上去把握 并考虑到实际意义 本题中容易忽视 x y N 举一反三 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板 随着铁钉的深入 铁钉所受阻力会越来越大 使得每次钉入木板的钉子长度满足后一次为前一次的 k N 已知一个铁钉受击3次后全部进入木板 且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的 请从这个实例中提炼出一个不等式组 解析 设铁钉的长度为1 依题意得 第二次钉子没有完全进入木板 第三次全部进入木板 题型二用不等式的性质证明不等式 例2 对于实数a b c 有下列命题 若a b 则acb 若aa b 0 则 若a b 则a 0 b 0 其中真命题的个数是 A 2B 3C 4D 5 分析判断命题的真假 要紧扣不等式的性质 特别注意条件与结论间的联系 解 中 c的符号不确定 故ac bc大小也不能确定 故为假命题 中 由知c 0 又 0 则a b 故为真命题 中 由得 由 可得 为真命题 中 由a b 得 aa b 0 0b 0 为真命题 中 由 abb a 0 b 0为真命题 综上可知真命题有4个 故选C 学后反思 1 准确记忆不等式性质成立的条件 是正确应用性质的前提 2 在不等式的判断中 举反例推翻结论是常用方法 如本例题 中令c 0 则知结论错误 举一反三 2 若a b 0 c d 0 e 0 求证 题型三比较大小 例3 建筑学规定 民用住宅的窗户面积必须小于地板面积 但按采光标准 窗户面积与地板面积的比不应小于10 并且这个比值越大 住宅的采光条件越好 问 同时增加相等的窗户面积和地板面积 住宅采光条件是变好了 还是变坏了 请说明理由 证明 c d 0 又 a b 0 a c b d 0 又 e 0 分析要确定住宅采光条件是变好了 还是变坏了 就是要比较原来窗户面积和地板面积的比值与窗户面积和地板面积增加以后的比值哪个大哪个小 如果是增加了面积以后的窗户面积和地板面积的比值大 则采光条件变好了 否则采光条件变坏或没变 解设原来的窗户面积与地板面积分别为a b 窗户面积和地板面积同时增加的面积为c 窗户面积与地板且 10 则现有窗户面积与地板面积分别为a c与b c 面积均增加c以后的窗户面积与地板面积之比为 因此要确定采光条件的好坏 就转化成比较与的大小 采用作差比较法因为a 0 b 0 c 0 又由题设条件可知a b 故有成立 即所以同时增加相等的窗户面积和地板面积后 住宅的采光条件变好了 学后反思实数大小的比较问题常常用 比较法 来解决 比较法 有 作差比较法 和 作商比较法 两种 可根据代数式的结构特点灵活选用 作差比较法 的依据是 其过程可分为三步 作差 变形 判断差的符号 其中关键一步是变形 手段可有通分 因式分解 配方等 变形的目的是有利于判断符号 因此变形越彻底 越有利于下一步的判断 作商比较法 的依据是 是把两数的大小比较转化为一代数式与 1 进行比较 在代数式结构含有幂 根式或绝对值时 可采用此方法 在用 比较法 时 有时可先将原代数式变形后再作差或作商进行比较 若是选择题还可用特殊值法判断数的大小关系 举一反三 3 设a b是不相等的正数 试比较A G H Q的大小 解析 a b为不相等的正数 即H G 由 即G A 由 即A Q 综上可知 当a b是不相等的正数时 H G A Q 即A Q 题型四利用不等式性质求范围 例4 12分 设 1 f 1 2 2 f 1 4 求f 2 的取值范围 分析易知1 a b 2 2 a b 4 只要将f 2 4a 2b用a b和a b表示出来 再利用不等式性质求解4a 2b的取值范围即可 解方法一 设f 2 mf 1 nf 1 m n为待定系数 则4a 2b m a b n a b 2 即4a 2b m n a n m b 4 于是得 解得 6 f 2 3f 1 f 1 8 又 1 f 1 2 2 f 1 4 5 3f 1 f 1 10 10 即5 f 2 10 12 方法二 由得 f 2 4a 2b 3f 1 f 1 9 又 1 f 1 2 2 f 1 4 10 5 3f 1 f 1 10 即5 f 2 10 12 学后反思由 求的取值范围 可利用待定系数法解决 即设用恒等变形求得p q 再利用不等式的性质求得的范围 此外 本例也可用线性规划的方法来求解 举一反三 4 已知 求的取值范围 解析 得 又 又 易错警示 例 已知2 a 3 1 b 2 求a b a b 的范围 错解 2 a 3 1 b 2 3 a b 5 1 a b 1 错解分析在运用不等式性质时忽视了性质成立的必要条件 另外 同向不等式相加 不等号方向不变 相减 相除则行不通 正解 2 a 3 1 b 2 3 a b 5 又 2 b 1 0 a b 2 又 1 3 考点演练 11 2009 潍坊模拟 设 x 0且x 1 试比较f x 与g x 的大小 解析 1 当 即或也就是x 或0g x 10 2009 枣庄模拟 对于任意的实数a a 0 和b 不等式 a b a b a x 1 x 2 恒成立 则实数x的取值范围是 解析 a b a b a b a b 2 a x 1 x 2 2 根据数轴法易得 答案 3 当 即或也就是时 f x 或0g x 当x 时 f x g x 当1 x 时 f x g x 2 当