5.5直线与圆位置关系(3)----三角形内切圆

温故知新 1 角平分线的定义 2 角平分线是 的集合 3 用尺规作出 AOB的平分线OE 到角两边距离相等的点 E O B A 射线OE就是所作的角平分线 中国北京菜户营立交桥 想一想 如图是中国北京菜户营立交桥 园林部门要在此三角形草坪中间建一个圆形花坛 如果你是园艺师 你会怎样设计呢 在你的设计方案中 有面积最大的圆形花坛吗 说说你的理由 如图 是一张三角形纸片 小明想从这块纸片裁下一块圆形的纸片 怎么样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢 5 5直线与圆的关系 3 三角形的内切圆 操作 1 如图 点P在 O上 过P作 O的切线 直线AP即为过点P的 O的切线 A O P 2 点D E F在 O上 分别过点D E F作 O的切线 三条切线两两相交于点A B C B C A E D F 这样得到的 ABC 它的各边与 O都相切 圆心O到各边的距离都相等 O 3 如果已知 ABC 如何作 O 使它与 ABC的三边都相切呢 已知 ABC求作 O 使它与 ABC的各边都相切 1 作圆的关键是什么 2 假设 O是所求作的圆 O和三角形三边都相切 圆心O应满足什么条件 3 这样的点O应在什么位置 4 圆心O确定后半径如何找 分析 O A B C D O B A C M N O就是所求作的圆 结论 和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个 这样的圆可以作几个 A B C O D 和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个 O 叫做 ABC的内切圆 ABC 叫做 O的外切三角形 点O 叫做 ABC的内心 练一练 1 什么是三角形的内切圆 叫做三角形的内切圆 叫做三角形的内心 这个三角形叫做圆的 和三角形各边都相切的圆 内切圆的圆心 外切三角形 2 三角形的内心是 A 三边中垂线的交点 B 三边中线的交点 C 三垂线的交点 D 三角平分线的交点 D 和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做三角形的内心 这个三角形叫做圆的外切三角形 三角形的内心到三角形三边的距离相等 三角形的内切圆有且只有一个 小结 练习 如图 1 O是 ABC的心 又是 DEF的 心 2 O是的内 又是的外 3 DEF是 O的 内 ABC 切圆 接圆 EFD 外 内接三角形 操作探究 分别作出已知的锐角三角形 直角三角形 钝角三角形的内切圆 A B C 三角形的内心到三边的距离相等 三角形的内心是三角形角平分线的交点 三角形的内心一定在三角形的内部 例1 如图 在 ABC中 内切圆O与边BC CA AB分别相切于点D E F B 60 C 70 求 EDF的度数 变式练习 若 A 则 EDF 60 70 50 65 练习1 如图 点O是 ABC的内心 1 若 B 50 C 60 则 BOC 2 若 A 50 则 BOC 3 若 A 则 BOC 125 115 2 O是 ABC的外心 如果 A 80 BOC 如果 BOC 160 则 A 160 80 或100 外心三角形外接圆的圆心 名称 确定方法 图形 性质 三角形三边中垂线的交点 到三个顶点的距离相等 内心三角形内切圆的圆心 三角形三内角平分线的交点 到三边的距离相等 思考与交流 比较外心和内心有什么不同 思考 1 若一三角形的外心在一边的高上 则该三角形是 2 若一三角形的内心在一边的高上 则该三角形是 3 若一三角形的外心 内心重合 则该三角形是 等腰三角形 等边三角形 等腰三角形 三角形的内切圆 已知 如图 ABC的面积S 4cm2 周长等于10cm 求内切圆 O的半径r 老师提示 ABC的面积 AOB的面积 BOC的面积 AOC的面积 探究活动 三角形的内切圆 已知 如图 ABC的面积为S 三边长分别为a b c 求内切圆 O的半径r 这个结论可叙述为 三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半 练习 1 Rt ABC中 C 90 AC 3 BC 4 则它的外接圆的半径R 内切圆的半径r 2 ABC中 AB AC 5 BC 6 则 ABC的内切圆的半径 1 例3 如图 ABC中 E是内心 A的平分线和 ABC的外接圆相交于点D 交BC于F 2 DE2 DF DA 求证 1 DE DB 3 4 5 F O A B C D E 1 2 3 设 ABC外接圆半径R 3 ED 2 AD x DF y 当点A在优弧BC上运动时 求函数y与自变量x间的函数关系式 并指出自变量的取值范围 xy 4 2 x 6 2 A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 平行四边形 1 下列图形中 一定有内切圆的四边形是 练习 2 等边三角形的内切圆半径 外接圆的半径和高的比为 A 1 B 1 2 C 1 2 D 1 2 3 3 存在内切圆和外接圆的四边形一定是 A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 平行四边形 4 如图 菱形ABCD中 周长为40 ABC 120 则内切圆的半径为 A B C D 5 如图 O是 ABC的内切圆 D E F是切点 A 50 C 60 则 DOE A 70 B 110 C 120 D 130 6 已知 如图 O是Rt ABC的内切圆 C是直角 AO的延长线交BC于点D AC 4 CD 2 求 O的半径r 小结1 学习了三角形内切圆 三角形的内心 外切三角形的有关概念 2 会作任意三角形的内切圆 3 外心和内心的区别 4 三角形内切圆半径的常用求法 S ABC r a b c 选用试题 三角形的内切圆 已知 如图 O与 ABC的边AC AB相切于点D E 1 求 O的面积与EA的长之间的函数关系式 2 当 O与 ABC的三边都相切时 求 O的面积 拓展与延伸 1 已知 如图 ABC外切于 O D E F是切点 1 猜想 BOC EDF 2 请证明你的结论 180 直角三角形的内切圆 已知 如图 O是Rt ABC的内切圆 C是直角 AC 3 BC 4 求 O的半径r 探究活动 这个