高中数学 第3章2课时导数的应用课件 新人教A版选修2-2

第2课时导数的应用 1 函数的单调性 1 函数单调性的充分条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则f x 为函数 如果f x 0 则f x 为函数 2 函数单调性的必要条件 设函数y f x 在某个区间内可导 如果y f x 在该区间上单调递增 或递减 则在该区间内 基础知识梳理 单调递增 单调递减 f x 0 或f x 0 2 函数的极值 1 设函数f x 在点x0及其附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 就说f x0 是f x 的一个 记作 极大值与极小值统称为 基础知识梳理 极大值 y极大值 f x0 极小值 y极小值 f x0 极值 2 判别f x0 是极值的方法一般地 当函数f x 在点x0处连续时 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 基础知识梳理 极小值 极大值 导数为零的点都是极值点吗 思考 提示 不一定是 例如 函数f x x3 有f 0 0 但x 0不是极值点 基础知识梳理 思考 3 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 该函数在 a b 上一定能够取得与 若函数在 a b 内是 该函数的最值必在取得 基础知识梳理 连续不间断的曲线 最大值 最小值 极值点或区间端点处 可导的 1 教材习题改编 函数f x x3 3x2 1的单调递减区间为 A 2 B 2 C 0 D 0 2 答案 D 三基能力强化 2 设a R 若函数y ex ax x R有大于零的极值点 则 三基能力强化 答案 A 三基能力强化 3 函数f x x3 3x 3在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 A 3 1B 3 15C 5 15D 11 17答案 C 三基能力强化 答案 1 3 三基能力强化 5 函数f x xlnx在 0 5 上的单调递增区间是 求可导函数单调区间的一般步骤和方法 1 确定函数f x 的定义域 2 求f x 令f x 0 求出它们在定义域内的一切实根 3 把函数f x 的间断点 即f x 的无定义点 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来 然后用这些点把函数f x 的定义区间分成若干个小区间 课堂互动讲练 4 确定f x 在各个开区间内的符号 根据f x 的符号判定函数f x 在每个相应小开区间内的增减性 课堂互动讲练 课堂互动讲练 特别提醒 当f x 不含参数时 也可通过解不等式f x 0 或f x 0 直接得到单调递增 或递减 区间 课堂互动讲练 思路点拨 课堂互动讲练 求函数导数y 令y 0 极值点 在极值点两侧判断y 的正负 单调区间 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 求可导函数f x 的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 检验f x 在方程f x 0的根的左右两侧的符号 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果在根的左侧附近为负 右侧附近为正 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 课堂互动讲练 课堂互动讲练 函数f x 为R上的奇函数 当x 0时 f x xlnx 1 求函数f x 的解析式 2 当x 0时 求函数f x 的极值 思路点拨 1 令x0 代入可求 2 求x 0的极值 由奇函数性质便可求得x 0的极值 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 规律总结 1 可导函数的极值点必须是导数为0的点 但导数为0的点不一定是极值点 即f x0 0是可导函数f x 在x x0处取得极值的必要不充分条件 例如函数y x3在x 0处有y x 0 0 但x 0不是极值点 此外 函数不可导的点也可能是函数的极值点 课堂互动讲练 1 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 课堂互动讲练 2 1 根据最值的定义 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可将过程简化 即不用判断使f x 0成立的点是极大值点还是极小值点 直接将极值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 值 2 定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为最值点 课堂互动讲练 课堂互动讲练 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 2 求f x 在区间 0 2 上的最大值 思路点拨 1 由f 1 3可求a值 求切线方程只需求斜率k及点 1 f 1 的坐标 2 可先判断f x 的单调性及极值 再与f 0 f 2 比较 即可求出最大值 课堂互动讲练 解 1 f x 3x2 2ax f 1 3 2a 3 a 0 又 当a 0时 f 1 1 f 1 3 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为3x y 2 0 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 名师点评 注意区分极值与最值的概念 函数的极值表示函数在某一点附近的情况 是在局部上对函数值的比较 函数的最值表示函数在一个区间上的情况 是对函数在整个区间上的函数值的比较 函数的极值不一定是最值 最值点也不一定是极值点 课堂互动讲练 在求实际问题中的最大值或最小值时 一般先设自变量 因变量 建立函数关系式 并确定其定义域 利用求函数最值的方法求解 注意结果应与实际情况相符合 用导数求解实际问题中的最大 小 值时 如果函数在区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点也就是最值点 课堂互动讲练 课堂互动讲练 解题示范 本题满分12分 某造船公司年造船量是20艘 已知造船x艘的产值函数为R x 3700 x 45x2 10 x3 单位 万元 成本函数为C x 460 x 5000 单位 万元 又在经济学中 函数f x 的边际函数Mf x 定义为Mf x f x 1 f x 1 求利润函数P x 及边际利润函数MP x 提示 利润 产值 成本 2 问年造船量安排多少艘时 可使公司造船的年利润最大 3 求边际利润函数MP x 的单调递减区间 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么 课堂互动讲练 思路点拨 课堂互动讲练 解 1 P x R x C x 10 x3 45x2 3240 x 5000 x N 且1 x 20 2分MP x P x 1 P x 30 x2 60 x 3275 x N 且1 x 19 4分 2 P x 30 x2 90 x 3240 30 x 12 x 9 x 0 P x 0时 x 12 6分 当00 当x 12时 P x 0 x 12时 P x 有最大值 课堂互动讲练 即年造船量安排12艘时 可使公司造船的年利润最大 8分 3 MP x 30 x2 60 x 3275 30 x 1 2 3305所以 当x 1时 MP x 单调递减 所以单调减区间为 1 19 且x N 10分MP x 是减函数的实际意义是 随着产量的增加 每艘船的利润与前一艘船的利润比较 利润在减少 12分 课堂互动讲练 名师点评 在解答第 3 题时 易写错MP x 是减函数的实际意义 导致此种错误的原因是没有理解MP x P x 1 P x 的实际含义是生产第x 1艘船的利润 课堂互动讲练 本题满分12分 金融危机使银行业遭受了很大损失 为了应对难关 某银行准备新设一种定期存款业务 经测算 存款量与存款利率的平方成正比 比例系数为k k 0 贷款的利率为4 8 且银行吸收的存款能全部放贷出去 课堂互动讲练 高考检阅 1 若存款利率为x x 0 0 048 试写出存款量g x 及银行应支付给储户的利息h x 与存款利率x之间的关系式 2 存款利率定为多少时 银行可获得最大收益 课堂互动讲练 解 1 由题意知 存款量g x kx2 x 0 0 048 银行应支付的利息h x xg x kx3 x 0 0 048 6分 2 设银行可获得的收益为y 则y 0 048kx2 kx37分求导得y 0 096kx 3kx2 8分令y 0得x 0 舍 或x 0 032 9分当x 0 0 032 时 y 0 当x 0 032 0 048 时 y 0 10分 课堂互动讲练 所以当x 0 032时 y取得最大值 故当存款利率定为3 2 时 银行可获得最大收益 12分 课堂互动讲练 1 利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题 1 确定函数的定义域 解决问题的过程中 只能在函数的定义域内 通过讨论导数的符号 来判断函数的单调区间 2 在对函数划分单调区间时 除了必须确定使导数等于0的点外 还要注意定义区间内的不连续点或不可导点 规律方法总结 3 注意在某一区间内f x 0 或f x 0 是函数f x 在该区间上为增 或减 函数的充分条件 规律方法总结 2 可导函数的极值 1 极值是一个局部性概念 一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值 在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值 也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系 2 若f x 在 a b 内有极值 那么f x 在 a b 内绝不是单调函数 即在某区间上单调增或减的函数没有极值 规律方法总结 3 函数的最值 1 函数的最大值和最小值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间所有