D1-1映射与函数

1 第一章 数学分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁 函数与极限 二 映射 三 函数 一 集合 第一节 映射与函数 2 一 集合 1 集合 具有某种特定性质的事物的总体称为集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 有限集 无限集 2 区间 是特殊的实数集 有限区间 无限区间 注 以后在不需要指明所说区间是否包含端点 有限区间还是无限区间的场合 为 区间 且常用I表示 以及是 我们就简单的称它 3 则数集 记为 2 几何意义 3 邻域 4 4 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 注意 常量与变量是相对 过程 而言的 通常用字母a b c等表示常量 而数值变化的量称为变量 常量与变量的表示方法 用字母x y t等表示变量 5 绝对值 绝对值不等式 5 定义域 1 函数的定义 为定义 在D上的函数 记为 2 函数图形 自变量 因变量 二 函数的概念 6 定义域与对应法则 3 说明 1 函数的两要素 当两个函数的定义域及对应法则均相同时 则这两个函数相同 否则就是不同的 与变量用什么字母无关 不同 不同 相同 7 表示函数的记号除常用的f外 还可用其它的英文字母或希腊字母 如 为区别不同的函数 需用不同的记号来表示它们 3 单值与多值 如果自变量在定义域内任取一个数值时 对应的函数值总是只有一个 这种函数叫做单值函数 否则叫做多值函数 一般把多值函数附加条件后化为单值函数进行研究 8 4 定义域及其求法 有实际背景的函数要考虑实际意义 对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数 的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围 自然定义域 在这个约定下 表示函数时 不必写出D 1 分式函数 分母不等于零的自变量的值 2 开偶次方 3 对数函数 4 反三角函数 5 多个函数的代数和的定义域 是其各自定义域的交集 5 表示法 定义 自变量在不同的范围内用不同的式子来表示的函数 称为分段函数 9 三 几个特殊的函数举例 1 常数函数 2 绝对值函数 图形是平行于x轴的一条直线 y 2 图形如图 10 为符号函数 它的定义域 值域 图形如上 由于对于一切x 关系式 成立 3 符号函数 注意 1 分段函数指的是一个函数 而非几个函数 2 分段函数的定义域是将x的值并起来 值域也并起来 11 4 取整函数 高斯函数 x 表示不超过x的最大整数 如 一般地 图形称为阶梯曲线 而且在x的整数值处 图形发生跳跃 跳度为1 12 5 狄利克雷函数 德国数学家狄利克雷对函数作了广义的论述 不管是否可用一个数学公式来表示对应关系 能作出图像 两个变量之间 只要有数值上的确定法则对应关系 也不管是否 均可认为是函数关系 13 例1 已知函数 解 写出f x 的定义域及值域 并求 f x 的定义域 值域 14 容易证明 有界的充分必要条件是既有上界又有下界 四 函数的四种特性 1 函数的有界性 说明 1 界不唯一 不要求找最小的界 2 还可定义有上界 有下界和无界 3 函数的有界性是局部概念 使 称 为有界函数 一般的 15 有界 4 有界函数的图像特征 有界函数图像在两平行线之间 5 曾学过的有界函数 16 2 单调性 称 为I上的 单调增函数 称 为I上的 单调减函数 说明 1 单调性与定义区间I有关 也是局部概念 2 单调函数图像特点 3 判断方法 定义法 图像法 导数法 4 这里是严格单调 增 上升 减 下降 17 3 函数的奇偶性 设D关于原点对称 则称f x 为偶函数 则称f x 为奇函数 说明 1 定义域关于原点对称 奇偶性是整体概念 不是 是 2 奇偶函数的定义域不一定是R 3 若 在x 0有定义 为奇函数时 则当 必有 18 4 偶函数的图形关于y轴对称 奇函数的图形关于原点对称 偶函数 y x o x x 奇函数 5 函数按奇偶可分为四类 6 判断奇偶性的方法有 定义法 图像法 性质法 奇函数 偶函数 非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数 19 解 例2 判断下列函数的奇偶性 说明 给定 则 偶函数 奇函数 20 4 周期性 则称 为周期函数 称T为周期 说明 1 周期函数的定义域是无限的点集 周期性是整体概念 设函数 2 若有周期 则周期不唯一 以后说周期函数的周期指 最小正周期 并非每个周期函数都有最小正周期 是对整个定义域而言的 例如 常量函数 任何一个实数都是它的周期 但没有最小正周期 21 3 图像特点 周期性地重复出现 又如 狄里克雷函数 是周期函数 无最小正周期 结论 4 常见的周期函数 三角函数 5 判断周期函数的方法 定义法 性质法 22 1 定义 五 反函数 说明 2 单值函数的反函数不一定单值 定理 其反函数 减 减 y f x 单调递增 且也单值单调递增 23 3 但它们是不同的函数 对称 直接函数 反函数 4 求反函数的步骤 分离 交换x y 24 例3 求 的反函数及其定义域 解 则 则 故所求反函数为 定义域为 25 则 定义 设有函数链 称为由 确定的复合函数 1 构成复合函数的条件 不可少 六 复合函数 x 自变量 u 中间变量 y 因变量 所以不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的 如 注意 26 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 2 必须分解为简单函数才算完成 如 如 分解方法 从外到里 4 复合函数的定义域如何求 例如 27 例4 设函数 求 解 x换为f x 28 七 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数及基本初等函数 否则称为非初等函数 例如 并可用一个式子表示的函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 称为初等函数 可表为 故为初等函数 均为初等函数 29 函数的分类 初等函数 非初等函数 大部分分段函数 有无穷多项的函数 用级数 积分 表格 方程 语言等表达的函数 代数函数 超越函数 解析式中含反 对 指 三的函数 有理函数 无理函数 解析式中含有根式的函数 有理整函数 多项式函数 有理分式函数 分式函数 函数 30 内容小结 1 邻域 2