第五章-频率法分析.ppt

第五章 频率法分析 控制系统的时域分析法是研究系统在典型输入信号作用的性能 对于一阶 二阶系统可以快速 直接地求出输出的时域表达式 绘制出响应曲线 从而利用时域指标直接评价系统的性能 因此 时域法具有直观 准确的优点 然而 工程实际中有大量的高阶系统 要通过时域法求解高阶系统在外输入信号作用下的输出表达式是相当困难的 需要大量计算 只有在计算机的帮助下才能完成分析 此外 在需要改善系统性能时 采用时域法难于确定该如何调整系统的结构或参数 在工程实践中 往往并不需要准确地计算系统响应的全部过程 而是希望避开繁复的计算 简单 直观地分析出系统结构 参数对系统性能的影响 因此 主要采用两种简便的工程分析方法来分析系统性能 这就是根轨迹法与频率特性法 本章将详细介绍控制系统的频率特性法 控制系统的频率特性分析法是利用系统的频率特性 元件或系统对不同频率正弦输入信号的响应特性 来分析系统性能的方法 研究的问题仍然是控制系统的稳定性 快速性及准确性等 是工程实践中广泛采用的分析方法 也是经典控制理论的核心内容 频率特性分析法的特点 时域指标和频域指标之间有对应关系 而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线 图表及经验公式 简化控制系统的分析与设计 频率特性分析法 FrequencyResponse 又称为频域分析法是一种图解的分析方法 它不必直接求解系统输出的时域表达式 而可以间接地运用系统的开环频率特性去分析闭环的响应性能 不需要求解系统的闭环特征根 具有较多的优点 根据系统的开环频率特性能揭示系统的动态性能和稳态性能 得到定性和定量的结论 可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响 并提出改进系统的方法 具有明确的物理意义 它可以通过实验的方法 借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性 建立数学模型作为分析与设计系统的依据 这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利 频率分析法使得控制系统的分析十分方便 直观 并且可以拓展应用到某些非线性系统中 近来 频率法还发展到可以应用到多输入量多输出量系统 称为多变量频域控制理论 本章重点介绍频率特性的基本概念 幅相频率特性与对数频率特性的绘制方法 奈奎斯特稳定判据 控制系统的相对稳定性 利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法 第一节频率特性的基本概念 一 频率特性的定义 频率响应是时间响应的特例 是控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应 即一个稳定的线性定常系统 在正弦信号的作用下 稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号 且输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数 如图所示一阶RC网络 ui t 与uo t 分别为输入与输出信号 其传递函数为 频率特性的概念我们已经很熟悉 这里简单回顾一下 其中T RC 为电路的时间常数 单位为s 一般的 幅频特性 相频特性 频率特性为系统数学模型的一种表示方式 因此 频率特性可定义为 线性定常系统 或元件 在零初始条件下 当输入信号的频率 在0 的范围内连续变化时 系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性 幅频特性描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大 A 1 还是衰减 A 1 频率特性可以反映出系统对不同频率的输入信号的跟踪能力 只与系统的结构与参数有关 是线性定常系统的固有特性 而相频特性描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前 0 还是滞后 0 系统的频率特性包含幅频特性与相频特性两方面 并且强调频率 是一个变量 二 频率特性的解析求法 幅频特性 相频特性 三 频率特性的实验求法 测量并记录相应的输入输出幅值比与相角差 根据所得数据绘制出幅值比与相角差随 的变化曲线 并据此求出元件或系统的幅频特性A 与相频特性 的表达式 便可求出完整的频率特性表达式 向待求元件或系统输入一个频率可变的正弦信号r t Rsin t 在0 的范围内不断改变 的取值 并测量与每一个 值对应的系统的稳态输出Css t A Rsin t 四 频率特性的数学意义 频率特性是描述系统固有特性的数学模型 与微分方程 传递函数之间可以相互转换 如图所示 以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质 并从不同的角度揭示出系统的内在规律 是经典控制理论中最常用的数学模型 五 频率特性的几何表示 1 极坐标表示法 幅频特性 相频特性 当 是一个特定的值时 可以在复平面上用一个向量去表示G j 向量的长度为A 向量与正实轴之间的夹角为 并规定逆时针方向为正 即相角超前 规定顺时针方向为负 即相角滞后 2 直角坐标表示法 另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分 即G j Re Im Re 称为实频特性 Im 称为虚频特性 由复变函数理论可知 并且A 与Re 为 的偶函数 与Im 是 的奇函数 以上函数都是 的函数 可以用曲线表示它们随频率变化的规律 使用曲线表示系统的频率特性 具有直观 简便的优点 应用广泛 六 常用频率特性曲线 频率特性是输出量与输入量的幅值比和相位差随频率变化的规律 在实际应用中 为直观地看出幅值比与相位差随频率变化的情况 是将幅频特性与相频特性在相应的坐标系中绘成曲线 并从这些曲线的某些特点来判断系统的稳定性 快速性和其它品质以便对系统进行分析与综合 系统 或环节 的频率响应曲线的表示方法很多 其本质都是一样的 只是表示的形式不同而已 频率特性曲线通常采用以下三种表示形式 1 幅相频率特性曲线 奈氏曲线 图形常用名为奈奎斯特图或奈氏图 坐标系为极坐标 奈氏图反映A 与 随 变化的规律 2 对数频率特性曲线 包括 对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线 图形常用名为对数坐标图或波德图 坐标系为半对数坐标 波德图反映L 20lgA 与 随lg 变化的规律 3 对数幅相频率特性曲线 图形常用名尼柯尔斯图或对数幅相图 坐标系为对数幅相坐标 尼柯尔斯图反映L 20lgA 随 的变化规律 主要用于求取闭环频率特性 第二节频率特性及其绘制 绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合 取极点为直角坐标的原点 极坐标轴为直角坐标的实轴 一 幅相频率特性曲线 奈氏图 基本概念 对于某一特定频率 i下的G j i 总可以用复平面上的一个向量与之对应 该向量的长度为A i 与正实轴的夹角为 i 系统的频率特性表达式为G j A ej 由于A 和 是频率的函数 当 在0 的范围内连续变化时 向量的幅值与相角均随之连续变化 不同 下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的幅相频率特性曲线 奈氏曲线 如图所示 在绘制奈氏图时 常把 作为参变量 标在曲线旁边 并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹 以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律 当系统或元件的传递函数已知时 可以采用解析的方法先求取系统的频率特性 再求出系统幅频特性 相频特性或者实频特性 虚频特性的表达式 再逐点计算描出奈氏曲线 具体步骤如下 系统的幅频特性与实频特性是 的偶函数 而相频特性与虚频特性是 的奇函数 即G j 与G j 互为共轭 因此 假定 可为负数 当 在 0的范围内连续变化时 相应的奈氏图曲线G j 必然与G j 对称于实轴 取负数虽然没有实际的物理意义 但是具有鲜明的数学意义 主要用于控制系统的奈氏稳定判别中 1 求系统或元件的传递函数G s 2 用j 代替s 求出频率特性G j 3 求出幅频特性A 与相频特性 的表达式 也可求出实频特性与相频特性 帮助判断G j 所在的象限 4 在0 的范围内选取不同的 根据A 与 表达式计算出对应值 在坐标图上描出对应的向量G j 将所有G j 的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线 例 求系统幅相图 幅频特性 的偶函数 相频特性是 的奇函数 在 0的范围内连续变化时 相应的奈氏图曲线G j 必然与G j 对称于实轴 一般只画0 即可 二 对数频率特性曲线 伯特图 基本概念 1 对数频率特性曲线基本概念对数频率特性曲线是频率法中应用最广泛的曲线 常称为波德 Bode 图 分为对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线 波德图是绘制在以10为底的半对数坐标系中的 它的特点是横坐标采用对数刻度 因此刻度不是线性均匀的 而纵坐标则仍采用均匀的线性刻度 对数频率特性的横坐标如图所示 图中横坐标采用对数比例尺 或称对数标度 横坐标即频率坐标是按 的对数值1g 进行线性分度的 如 1 lg1 0 2 lg2 0 301 3 lg3 0 477 4 lg4 0 602 5 lg5 0 699 6 lg6 0 778 7 lg7 0 845 8 lg8 0 903 9 lg9 0 954 10 lg10 1 标注角频率的真值 以方便读数 每变化十倍 横坐标1g 就增加一个单位长度 记为decade或简写dec 这个单位长度代表十倍频率的距离 故称之为 十倍频 或 十倍频程 由于横坐标按照 的对数来分度 对于 是不均匀的 但对1g 却是均匀的线性分度 由于0频无法表示 横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的 若横轴上有两点 1与 2 则该两点的距离不是 2 1 而是lg 2 lg 1 如2与20 10与100之间的距离均为一个单位长度 即一个十倍频程 对数幅频特性曲线的纵坐标是将A 取常用对数 并乘上20倍 变成对数幅值L 单位为dB 分贝 由于直接标注L 的数值 纵坐标是均匀的普通比例尺 A 每变大十倍 L 增加20dB 至于对数相频特性 其横坐标与幅频特性的横坐标相同 不是均匀的线性刻度 其纵坐标直接表示相角位移 单位为 度 采用普通比例尺 对数频率特性曲线坐标系如图所示 在绘制函数关系时 相当于lg 为自变量 对数频率特性曲线反映L 20lgA 与 随lg 变化的规律 从而间接反映A 与 随 变化的规律 如惯性环节 的对数幅频特性曲线如图所示 并分别绘制出精确曲线与渐近线 波德图采用半对数坐标具有如下优点 1 缩小了比例尺 使横坐标的低频段大大展宽 而高频段压缩 能够展示更宽的频率范围 便于分析和设计系统 幅频特性采用分贝表示幅值后 纵坐标高段也相对缩小 幅频特性曲线斜率下降 范围更广 图示更清楚 2 大大简化绘制系统频率特性的工作 当系统由许多环节串联构成时 开环频率特性为G j G1 j G2 j Gn j A ej 式中A A1 An 1 n 在极坐标中绘制幅相频率特性 要花较多时间 而在绘制对数幅频特性时 有L 20lgA 20lgA1 20lgAn L1 L2 Ln 则复杂的乘除运算变成了简单的加减运算 这样 如果先绘出各环节的对数幅频特性 然后进行加减 就能得到串联各环节所组成系统的对数频率特性 作图大为简化 3 容易看出各环节的单独作用 便于对系统的分析设计 4 可以用分段的直线 渐近线 来代替典型环节的准确的对数幅频特性 而且稍加修正就可得到精确的曲线 5 可根据实测数据绘制出波德图 再求出开环传递函数 便于采用物理实验的方法求取系统或元件的数学模型 一 比例环节 幅频特性A K K相频特性 0 比例环节的传递函数为G s K 用j 替换s 可求得比例环节的频率特性表达式为G j K 比例环节的奈氏图如图所示 可以看出 比例环节的幅频特性 相频特性均与频率 无关 所以当 由0变到 G j 始终为实轴上一点 说明比例环节可以完全 真实地复现任何频率的输入信号 幅值上有放大或衰减作用 0 表示输出与输入同相位 既不超前也不滞后 第三节典型环节的频率特性 1 奈氏图 2 波特图 比例环节的频率特性表达式为G j K幅频特性A K 则比例环节的对数幅频特性为L 20lg G j 20lgK rads s 在对数频率特性上表现为平行于横轴的一条直线 若K 100 则L 20lg100 40分贝 如图所示 当K 1时 该平行线位于0dB线之上 当0 K 1时 该平行线位于0dB线之下 当K 1时 该平行线与0dB线重合 比例环节的相频特性仍为 0 与 无关 为相频特性图的横轴 如图所示 K的变化只影响对数幅频特性曲线的升降 不改变其形状与对数相频特性 二 积分环节 积分环节的传递函数为 积分环节的频率特性为 幅频特性为A 1 1 与角频率 成反比 相频特性为 90 积分环节的幅相频率特性如图所示 在0 的范围内 幅频特性与负虚轴重合 积分环节的奈氏图表明积分环节是低通滤波器 放大低频信号 抑制高频信号 输入频率越低 对信号的放大作用越强 并且有相位滞后作用 输出滞后输入的相位恒为90 1 奈氏图 2 波特图 幅频特性为A 1 其对数幅频特性为L 20lgA 20lg 1 20lg 绘出对数幅频特性曲线上的几个点 当 0 1时 L 0 1 20dB 当 1时 L 1 0dB 当 10时 L 10 20dB 频率每增加10倍 幅频特性下降20dB 故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为 20dB dec的斜线 并且在 1这一点穿过0dB线 实际上由于lg 相当于自变量 从对数幅频特性的表达式可以直接看出 L 跟随lg 变化 二者之间的函数关系是均匀线性的 斜率为 20dB dec 积分环节的对数相频特性为 90 它与频率无关 在0 的频率范围内 为平行于横轴的一条直线 当积分环节的比例系数为K时 即频率特性为 则对数幅频特性为L 20lgA 20lg K 20lgK 20lg 相当于整体斜线高度上升20lgK K的变化只影响对数幅频特性曲线的升降 不改变原有形状与对数相频特性 此时L 1 20lgK 对数频率特性曲线在 K这一点穿过0dB线 理想微分环节的传递函数为G s s频率特性为G j j 故幅频特性为A 与 成正比 相频特性为 90 理想微分环节的奈氏图如图所示 在0 的范围内 其奈氏图与正虚轴重合 可见 理想微分环节是高通滤波器 输入频率越高 对信号的放大作用越强 并且有相位超前作用 输出超前输入的相位恒为90 说明输出对输入有提前性 预见性作用 三 微分环节 1 奈氏图 2 波特图 幅频特性为A 对数幅频特性为L 20lgA 20lg 它在 1处穿过零分贝线 如图所示 若K值变化将使对数幅频特性曲线上升 K 1 或下降 0 K 1 理想微分环节的相频特性为 90 在0 的范围内 它是平行于横轴的一条直线 积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较 只相差正负号 二者以 轴为基准 互为镜象 二者的相频特性互以 轴为镜象 L 跟随lg 变化 斜率为20dB dec 频率每增加10倍 幅频特性上升20dB 理想微分环节的对数幅频特性为一条斜率为 20dB 十倍频的直线 四 惯性环节 相频特性 arctgT 惯性环节的传递函数为 频率特性为 可以判断出实频特性恒 0 而虚频特性恒 0 由此可见惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限 幅频特性A 当 从0变到 时 可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图 例如可以绘出三个点 1 奈氏图 根据这些数据 可以绘出幅相频率特性 这是一个位于第四象限的半圆 圆心为 1 2 0 直径为1 若惯性环节的比例系数变为K 则幅频特性成比例扩大K倍 而相频特性保持不变 即奈氏图仍为一个半圆 但圆心为 K 2 0 直径为K 由惯性环节的奈氏图可知 惯性环节为低通滤波器 且输出滞后于输入 相位滞后范围为0 90 2 波特图 对数幅频特性为 在时间常数T已知时 可以在 从0变化到 的范围内 逐点求出L 值 从而绘制出精确的对数幅频特性曲线 但十分费时 在工程中 一般采用渐近线近似的方法 这已经满足大多数情况下的要求 可以分段讨论如下 1 低频段 故在频率很低时 对数幅频特性可以近似用零分贝线表示 这称为低频渐近线 在T 1 或 1 T 的区段 可以近似地认为T 0 从而有 在T 1 或 1 T 的区段 可以近似地认为 它与低频渐近线的交点为 T 1 T 高频渐近线和低频渐近线的交点频率 T 1 T称为转折频率 转折频率是绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数 2 高频段 L 为因变量 lg 为自变量 因此对数频率特性曲线是一条斜线 斜率为 20dB dec 当频率变化10倍频时 L 变化 20dB 如图 这称为高频渐近线 为简化对数频率特性曲线的绘制 常常使用渐近对数幅频特性曲线 特别是在初步设计阶段 同时 如需由渐近对数幅频特性曲线获取精确曲线 只须分别在低于或高于转折频率的一个十倍频程范围内对渐近对数幅频特性曲线进行修正 渐近特性和准确特性相比 存在误差 越靠近转折频率 误差越大 如在转折频率这一点 误差最大 精确值为在转折频率处 精确值应为用渐近线绘制的对数幅值减去3dB 对数相频特性为 arctanT 选择以下几个点 惯性环节的相位与频率呈反正切函数关系 所以 对数相频特性曲线将对应于 1 T及 45 这一点对称 如图所示 可以清楚地看出在整个频率范围内 呈滞后持续增加的趋势 极限为 90 当惯性环节的时间常数T改变时 其转折频率1 T将在Bode图的横轴上向左或向右移动 与此同时 对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动 但它们的形状保持不变 五 一阶微分环节 一阶微分环节的传递函数为G s s 1 为环节的时间常数 一阶微分环节的实频特性恒为1 而虚频特性与输入频率 成正比 频率特性为 幅频特性为与输入频率 成正比 相频特性为 arctg 当 从0变到 时 可以根据幅频特性与相频特性表达式描点绘制奈氏图 可以绘出三个点 1 奈氏图 一阶微分环节的典型实例是控制工程中常用的比例微分控制器 PD控制器 PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能 但存在放大高频干扰信号的问题 根据这些数据绘出幅相频率特性 是平行于正虚轴向上无穷延伸的直线 由一阶微分环节的奈氏图可知 一阶微分环节具有放大高频信号的作用 输入频率 越大 放大倍数越大 且输出超前于输入 相位超前范围为0 90 输出对输入有提前性 预见性作用 2 波特图 一阶微分环节的频率特性为 其幅频特性为 对数幅频特性为 对数相频特性为 arctg 按照与惯性环节相似的作图方法 可以得到所示对数频率特性 2 高频段在T 1 或 1 T 的区段 可以近似地认为高频渐近线是一条斜线 斜率为20dB dec 当频率变化10倍频时 L 变化20dB 转折频率为 T 1 T 1 低频段在T 1 或 1 T 的区段 对数幅频特性可以近似用零分贝线表示 为低频渐近线 可知 一阶微分环节的对数幅频特性和相频特性与惯性环节的相应特性互以横轴为镜像 精确曲线的修正方法也与惯性环节相同 但需要注意到修正值的符号相反 如转折频率处 T对应的精确值是L T 0 3 3dB 六 二阶振荡环节 0 1 二阶振荡环节的传递函数为 振荡环节的频率特性为 可以判断出虚频特性恒 0 故曲线必位于第三与第四象限 振荡环节的幅频特性为 相频特性为 不同频率 时的幅值和相角 1 奈氏图 振荡环节之所以叫振荡环节是因为在处产生谐振 由奈氏图可知 振荡环节具有相位滞后的作用 输出滞后于输入的范围为0 180 同时 的取值对曲线形状的影响较大 1 0 0 707当 增大时 幅频特性A 并不是单调减小 而是先增大 达到一个最大值后再减小直至衰减为0 奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率 P 所对应的向量长度为谐振峰值MP A P A P A 0 谐振表明系统对频率 P下的正弦信号的放大作用最强 可见随 的减小 谐振峰值MP增大 谐振频率 P也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率 n 谐振峰值MP越大 表明系统的阻尼比 越小 系统的相对稳定性就越差 单位阶跃响应的最大超调量 也越大 当 0时 P n MP 即振荡环节处于等幅振荡状态 2 0 707幅频特性A 随 的增大而单调减小 如图 1所对应曲线 此刻环节有低通滤波作用 当 1时 振荡环节有两个相异负实数极点 若 足够大 一个极点靠近原点 另一个极点远离虚轴 对瞬态响应影响很小 奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为1 2 0 奈氏图近似于半圆 即振荡环节近似于惯性环节 2 波特图 振荡环节的幅频特性为 对数幅频特性为 1 低频段 n时 L 20lg1 0dB 低频渐近线与0dB线重合 r n为低频渐近线与高频渐近线交点处的横坐标 称为转折频率 也就是环节的无阻尼自然振荡频率 n 振荡环节对数幅频特性渐近线见图 2 高频段 n时 并考虑到 0 1 有 高频段是一条斜率为 40dB dec的斜线 称为高频渐近线 在 r n附近 用渐近线得到的对数幅频特性存在较大误差 近似值为L n 20lg1 0准确值为L n 20lg 1 2 只在 0 5时 二者相等 在 不同时 精确曲线如图所示 当 0 707时 可以明显地看出振荡环节出现了谐振 而且 越小 谐振峰值Mp越大 谐振角频率 p越接近于转折频率 n 无阻尼自然振荡频率 n 由上表可见 当0 4 0 7时 误差小于3分贝 这时可以不对渐近线进行修正 但当 0 7 误差很大 必须对渐近线进行修正 在转折频率附近的修正曲线见图 振荡环节的对数相频特性为 可知 当 0时 0 n时 90 时 180 与惯性环节相似 振荡环节的对数相频特性曲线将对应于 n及 90 这一点斜对称 振荡环节的对数相频特性既是 的函数 又是 的函数 随阻尼比 不同 对数相频特性在转折频率附近的变化速度也不同 越小 相频特性在转折频率附近的变化速度越大 而在远离转折频率处的变化速度越小 七 延迟环节 幅频特性为A 1相频特性为 单位为弧度 rad 延迟环节又称时滞环节 传递函数为G s e s 为延迟时间 频率特性为G j e j 时 即输出相位滞后输入为无穷大 当 从0连续变化至 时 奈氏曲线沿原点作半径为1的无穷次旋转 越大 转动速度越大 故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心 半径为1的圆 如图所示 即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号 但输出滞后于输入 而且输入信号频率越高 延迟环节的输出滞后就越大 1 奈氏图 在低频区 频率特性表达式根据泰勒公式展开为 当 很小时 有 即在低频区 延迟环节的频率特性近似于惯性环节 从奈氏图也可见 二者的曲线在低频区基本重合 可见随 的增大 幅频特性A 单调减小 而相位滞后单调增加 相频特性 从0 一直变化到负无穷大 故该系统的奈氏图是螺旋状曲线 绕原点顺时针旋转 次 最后终止于原点 与实轴 虚轴分别有无数个交点 如图所示 延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性 但会使相频特性的最大滞后为无穷大 如某系统传递函数是惯性环节与延迟环节相结合 传递函数为 单位为度 2 波特图 频率特性为G j e j 对数幅频特性为L 20lgA 0dB 幅频特性为A 1 对数幅频特性L 为一条与横轴重合的直线 如图所示 相频特性为 单位为弧度 rad 考虑到波德图是以lg 为自变量 所以有 因此 是呈指数规律下降的曲线 随 增加而滞后无限增加 延迟环节的对数相频特性示于图 相关相位见表 可见 延迟时间 越大 在较低频率 处所引起的相位滞后也越大 从后面的分析可以得出 延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利 第四节开环系统频率特性 系统的频率特性有两种 由反馈点是否断开分为闭环频率特性 j 与开环频率特性G j 分别对应于系统的闭环传递函数 s 与开环传递函数G s 由于系统的开环传递函数较易获取 并与系统的元件一一对应 在控制系统的频率分析法中 分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性 系统的开环频率特性为 对于由多个典型环节组合而成的系统 其频率特性应该满足下面的规律 控制系统是由典型环节组成的 则系统频率特性的绘制与典型环节的频率特性的绘制方法是基本相同的 可根据复变函数的性质求出系统开环频率特性的幅频特性A 与相频特性 的表达式 或由分母有理化求出实频特性与虚频特性 再求出系统的频率特性 一 幅相频率特性 1 把开环系统传递函数写成含有零 极点因子相乘积的形式 2 分别计算传递函数中每个因子的幅频特性和相频特性 3 各因子的幅频特性相乘得开环系统得幅频特性 各因子得相频特性代数相加得开环系统的相频特性 4 根据3 所得的数据画系统幅相频率特性 1 幅相频率特性作图法 解把开环传递函数写成含有零极点因子相乘积的形式 即 系统频率特性为 因此 开环系统的幅频特性和相频特性分别为 参照书上 较繁 2 幅相频率特性的起点和终点 开环系统频率特性为 当系统开环传递函数为多个典型环节组合时 其开环奈氏图的绘制与根轨迹的绘制类似 具有一定的规律 可以先根据开环传递函数的某些特征绘制出近似曲线 再利用A 与 等的表达式描点 在曲线的重要部分修正 1 低频段 0 低频段频率特性表达式为 根据向量相乘是幅值相乘 相位相加的原则 求出低频段幅频特性与相频特性表达式分别为 可见低频段的形状 幅值与相位 均与系统的型别v与开环传递系数K有关 1 0型系统 v 0 A 0 K 0 0 低频特性为实轴上的一点 K 0 2 型系统 v 1 A 0 0 90 3 型系统 v 2 A 0 0 180 2 高频段 不失一般性 假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点 一般m n 故A 0 高频段终止于坐标原点 而最终相位为 n m 90 由n m确定特性以什么角度进入坐标原点 n m 1 则 90 即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点 n m 2 则 180 即幅相特性沿负实轴进入坐标原点 n m 3 则 270 即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点 3 奈氏图与实轴 虚轴的交点将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部 1 曲线与实轴的交点处的频率由虚部为0求出Im G j I 0求出交点处的 再代回频率特性表达式求出交点的坐标 2 曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0求出Re G j R 0求出交点处的 再代回频率特性表达式求出交点的坐标 4 幅相略图作图法 1 找到幅相曲线起点 0 和终点 2 找到幅相曲线与实 虚轴交点3 找到幅相曲线变化范围 象限 单调性 例 起点 A 0 K 0 0 终点 A 0 2 90 180 单个惯性环节单调的由0 90 两个惯性环节级联由0 180 III IV象限 例 起点 A 0 终点 A 0 相角变化 与实轴交点 常见系统的开环传递函数与开环概略奈氏图 二 对数频率特性 若开环系统为由n个典型环节相串连构成的单回路系统 则其开环频率特性可写成 L 20lgA 20lgA1 20lgAn L1 L2 Ln 由于系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成 而直线叠加就是斜率相加 所以L 的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线 1 基本原则 2 基本规律 1 低频渐近线 及其延长线 的确定 G j 的低频段表达式为 低频渐近线表达式 低频段为一条斜率为 20vdB dec的斜线 同时 低频渐近线 及其延长线 上在 1时 有L 1 20lgK 并有 可见低频段的对数幅频特性与相频特性均与积分环节的个数v有关 2 转折频率及转折后斜率变化量的确定 低频段只与积分环节的个数v及开环传递系数K有关 而其他典型环节的影响是在各自的转折频率处使L 的斜率发生相应的变化 在一阶微分环节G s s 1 的转折频率1 处 斜率 20dB dec 3 最终斜率与最终相位滞后与n m的关系 对数频率特性的高频渐近线表达式为 高频段为一条斜率为 20 n m dB dec的斜线 并有 n m 90 说明高频段的对数幅频特性与相频特性均与 n m 有关 当 时 由于n m 所以高频段的近似表达式为 3 绘制步骤 利用以下规律 可以从低频到高频 将L 整条曲线一次画出 步骤如下 3 设最低转折频率为 1 先画出 1低频部分渐近线 由积分环节个数v与开环传递系数K决定 找到横坐标为 1 纵坐标为20lgK的点 过该点作斜率为 20dB dec的斜线 1 开环传递函数写成标准的时间常数表达式 确定各典型环节的转折频率 2 选定Bode图坐标系所需频率范围 一般最低频率为系统最低转折频率的1 10左右 而最高频率为最高转折频率的10倍左右 确定坐标比例尺 由小到大标注各转折频率 在半对数坐标尺上标出横轴及纵轴刻度 4 由低频向高频延伸 每到一个转折频率 斜率根据具体环节作相应的改变 最终斜率为 20 n m dB dec 惯性环节的转折频率1 T处 斜率 20dB dec 一阶微分环节的转折频率1 T处 斜率 20dB dec 二阶振荡环节的转折频率 n处 斜率 40dB dec 5 如有必要 可对转折点的渐近线进行修正 以得到精确的对数幅频特性 其方法与典型环节的修正方法相同 通常只需修正各转折频率处以及转折频率的二倍频和1 2倍频处的幅值即可 6 在对数相频特性图上 分别画出各典型环节的对数相频特性曲线 惯性环节 比例微分环节 振荡环节和二阶微分环节 将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加 便可得到系统的对数相频特性曲线 也可求出 的表达式 逐点描绘 低频时有 最终相位为 n m 90 7 若系统串联有延迟环节 不影响系统的开环对数幅频特性 只影响系统的对数相频特性 则可以求出相频特性的表达式 直接描点绘制对数相频特性曲线 例3 设某系统的开环频率特性如下 绘制开环波德图 系统由放大 比例微分 积分 两个惯性环节和一个二阶振荡环节组成 1 画低频段 在 1处 起始段的高度为 由系统的开环频率特性知k 10 v 1 起始段的斜率为 20dB dec 例1 书上p130例5 2 例2 书上p132例5 3 2 各环节的转折频率由小到大 经过各个转折频率斜率变化 惯性环节 一阶微分 惯性环节 振荡环节 L 由5段折线构成 而且在 2与 3之间穿过0dB线 曲线