（浙江专用）高考数学第八章立体几何与空间向量5第5讲直线、平面垂直的判定及其性质教学案.docx

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质1直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面l3.空间角(1)直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，PAO就是斜线AP与平面所成的角线面角的范围：(2)二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱两个半平面叫做二面角的面如图中二面角，可记作：二面角l或二面角PABQ二面角的平面角如图，过二面角l的棱l上一点O在两个半平面内分别作BOl，AOl，则AOB就叫做二面角l的平面角二面角的范围设二面角的平面角为，则0，当时，二面角叫做直二面角疑误辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线a，b，c，若ab，bc，则ac.()(2)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.()(3)设m，n是两条不同的直线，是一个平面，若mn，m，则n.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修2P73练习T1改编)下列命题中错误的是_(填序号)如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面如果平面平面，平面平面，l，那么l平面如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面解析：对于，若平面平面，则平面内的直线可能不垂直于平面，即与平面的关系还可以是斜交、平行或在平面内，其他选项均是正确的答案：2(必修2P67练习T2改编)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在RtPOA，RtPOB和RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.因为PCPA，PBPC，PAPBP，所以PC平面PAB，又AB平面PAB，所以PCAB，因为ABPO，POPCP，所以AB平面PGC，又CG平面PGC，所以ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心答案：(1)外(2)垂易错纠偏(1)忽略线面垂直的条件致误；(2)忽视平面到空间的变化致误1“直线a与平面内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面垂直”的_条件解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件答案：必要不充分2已知直线a，b，c，若ab，bc，则a与c的位置关系为_解析：若a，b，c在同一个平面内，由题设条件可得ac；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行，相交，异面都有可能答案：平行，相交或异面线面垂直的判定与性质 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：CDAE；PD平面ABE.(2)(2020嘉兴调研)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，BC2，CBA，ABEF为直角梯形，BEAF，BAF，BE2，AF3，平面ABCD平面ABEF.求证：AC平面ABEF；求三棱锥DAEF的体积【解】(1)证明：在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD，因为ACCD，且PAACA，所以CD平面PAC，而AE平面PAC，所以CDAE.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.因为E是PC的中点，所以AEPC.由知AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD.而PD平面PCD，所以AEPD.因为PA底面ABCD，所以PAAB.又因为ABAD且PAADA，所以AB平面PAD，而PD平面PAD，所以ABPD.又因为ABAEA，所以PD平面ABE.(2)证明：在ABC中，AB1，CBA，BC2，所以AC2BA2BC22BABCcosCBA3，所以AC2BA2BC2，所以ABAC.又因为平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，AC平面ABCD，所以AC平面ABEF.连接CF.因为CDAB，所以CD平面ABEF，所以点D到平面ABEF的距离等于点C到平面ABEF的距离，又AC，所以VDAEFVCAEF.判定线面垂直的四种方法提醒证明线面垂直问题一般常见两种题型；推理证明型；计算证明型(即利用夹角、边等计算后判断垂直关系) S是RtABC所在平面外一点，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，所以DEBC，所以DEAB，因为SASB，所以SAB为等腰三角形，所以SEAB.又SEDEE，所以AB平面SDE.又SD平面SDE，所以ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，所以SDAC.又ACABA，所以SD平面ABC.(2)由于ABBC，则BDAC，由(1)可知，SD平面ABC，又BD平面ABC，所以SDBD，又SDACD，所以BD平面SAC.面面垂直的判定与性质 (2020浙江省名校协作体高三联考)如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且AC.证明：平面ABEF平面BCDE.【证明】在正六边形ABCDEF中，连接AC，BE，交点为G，易知ACBE，且AGCG，在多面体中，由AC，知AG2CG2AC2，故AGGC，又GCBEG，GC，BE平面BCDE，故AG平面BCDE，又AG平面ABEF，所以平面ABEF平面BCDE.(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形ABCD为正方形，O为AC与BD 的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1; (2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C，又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD，点E，M分别为AD和OD的中点，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM，又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.证明空间平行、垂直，求空间角的综合问题(高频考点)证明空间平行、垂直与求空间角是浙江省高考必考题型，本题型可直接证明求解，也可利用空间向量法证明求解主要命题角度有：(1)空间位置关系的证明及求线面角；(2)空间位置关系的证明及求二面角角度一空间位置关系的证明及求线面角 (2019高考浙江卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值【解】(1)证明：如图，连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，ABC90，故BCA1F.所以BC平面A1EF.因此EFBC.(2)取BC的中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形连接A1G交EF于O，由(1)得BC平面EGFA1，则平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)不妨设AC4，则在RtA1EG中，A1E2，EG.由于O为A1G的中点，故EOOG，所以cosEOG.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.角度二空间位置关系的证明及求二面角 (2020绍兴诸暨高考模拟)如图，四棱锥PABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD2，AB4，BD2.(1)求证：PABD；(2)求二面角DBCP的余弦值【解】(1)证明：在ABD中，因为AB2AD2BD2，所以ADDB，由平面PAD平面ABCD，所以BD平面PAD，所以DBPA.(2)二面角DBCP的余弦值即二面角ABCP的余弦值，作POAD于O，则PO平面ABCD.过O作OEBC于E，连接PE，则PEO为二面角ABCP的平面角又PEO中，PO，OEDB2，故PE，cosPEO，所以二面角DBCP的余弦值为.(1)平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化(2)求空间角的三个步骤一作：根据定义作平行线或垂线，用作图法作出要求的角二证：证明所作的角就是要求的角三求：把空间角问题转化为(三角形)平面问题，解三角形，求出该角，注意角的范围，判断所求角是此角还是它的补角 1(2018高考浙江卷)已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)设SE与BC所成的角为1，SE与平面ABCD所成的角为2，二面角SABC的平面角为3，则()A123 B321C132 D231解析：选D.由题意知四棱锥SABCD为正四棱锥，如图，连接BD，记ACBDO，连接SO，则SO平面ABCD，取AB的中点M，连接SM，OM，OE，易得ABSM，则2SEO，3SMO，易知32.因为OMBC，BCAB，SMAB，所以3也为OM与平面SAB所成的角，即BC与平面SAB所成的角，再根据最小角定理知，31，所以231，故选D.2.(2020金华十校高考模拟)如图，ABBEBC2AD2，且ABBE，DAB60，ADBC，BEAD，(1)求证：平面ADE平面BDE；(2)求直线AD与平面DCE所成角的正弦值解：(1)证明：因为AB2AD，DAB60，所以ADDB，又BEAD，且BDBEB，所以AD平面BDE，又AD平面ADE，所以平面ADE平面BDE.(2)因为BEAD，ABBE，所以BE平面ABCD，所以点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长为2，设AD与平面DCE所成角为，点A到平面DCE的距离为d，由VADCEVEADC得dSCDE|BE|SACD，可解得d，而AD1，则sin ，故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为.核心素养系列17逻辑推理平面图形折叠问题的解题技巧一、将平面图形折叠成立体图形如图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有_对【解析】平面图形的折叠应注意折前折后各元素相对位置的变化画出图形即可判断，相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH，共3对【答案】3画折叠图形一般以某个面为基础，依次将其余各面翻折还原，当然，画图之前要对翻折后形成的立体图形有所认识，这是解答此类问题的关键 二、折叠中的“变”与“不变”如图，在等腰直角三角形ABC中，A90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)证明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值【解】(1)证明：在题图中，易得OC3，AC3，AD2.连接OD，OE，在OCD中，由余弦定理可得OD.由翻折不变性可知AD2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD，同理可证AOOE，又ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)过O作OHCD交CD的延长线于H，连接AH，因为AO平面BCDE，所以AHCD，所以AHO为二面角ACDB的平面角结合题图可知，H为AC的中点，故OH，从而AH，所以cosAHO，所以二面角ACDB的平面角的余弦值为.折叠问题的关键有二：画好两个图折叠前的平面图和折叠后的立体图；分析好两个关系折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变一般地，在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的分别位于两个半平面内但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱 三、立体图形的表面展开图的应用在一个底面直径是5 cm，高为2 cm的圆柱形玻璃杯子的上沿B处有一只苍蝇，而恰好在相对的底沿A处有一只蜘蛛，蜘蛛要想用最快的速度捕捉到这只苍蝇，蜘蛛所走的最短的路程是_【解析】利用侧面展开图，如图，蜘蛛所走的最短的路程是线段AB的长，AC2 cm，BC2 cm，则AB cm，即蜘蛛所走的最短的路程是 cm.【答案】 cm求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题：通常把几何体的侧面展开，转化为平面图形中的距离问题 基础题组练1在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC解析：选C.由正方体的性质，得A1B1BC1，B1CBC1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1，故选C.2.如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1D BAA1CA1D1 DA1C1解析：选D.由题易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，所以A1C1B1O.3(2020温州中学高三模考)如图，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BCDC平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDED平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE解析：选C.因为ABCB，且E是AC的中点，所以BEAC，同理，DEAC，由于DEBEE，于是AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.故选C.4(2020浙江省名校协作体高三联考)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B.C. D.解析：选A.如图所示，取A1C1的中点D，连接AD，B1D，则可知B1D平面ACC1A1，所以DAB1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角，不妨设正三棱柱的棱长为2，所以在RtAB1D中，sinDAB1，故选A.5(2020浙江省高中学科基础测试)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAAD，ADBC，ABBC2，PA3，PA底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设m，则“0m2”是“三棱锥CABE的体积不小于1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B.过E点作EHAD，H为垂足，则EH平面ABCD.因为VCABEVEABC，所以三棱锥CABE的体积为EH.若三棱锥CABE的体积不小于1，则EH，又PA3，所以m1，故选B.6(2019高考浙江卷)设三棱锥VABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)记直线PB与直线AC所成的角为，直线PB与平面ABC所成的角为，二面角PACB的平面角为，则()A， B，C， D，解析：选B.由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等，因为点P是棱VA上的点(不含端点)，所以直线PB与平面ABC所成的角小于直线VB与平面ABC所成的角，而直线VB与平面ABC所成的角小于二面角PACB的平面角，所以.故选B.7.如图，在ABC中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面ABC，PC4，M是AB上的一个动点，则PM的最小值为_解析：作CHAB于H，连接PH.因为PC平面ABC，所以PHAB，PH为PM的最小值，等于2.答案：28.如图所示，在四面体ABCD中，AB，BC，CD两两垂直，且BCCD1.直线BD与平面ACD所成的角为30，则线段AB的长度为_解析：如图，过点B作BHAC，垂足为点H，连接DH.因为CDAB，CDBC，所以平面ACD平面ABC，所以BH平面ACD.所以BDH为直线BD与平面ACD所成的角所以BDH30，在RtBDH中，BD，所以BH.又因为在RtBHC中，BC1，所以BCH45.所以在RtABC中，ABBC1.答案：19(2020台州市书生中学月考)如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD，ADCD，PDADDC2AB，则异面直线PC与AB所成角的大小为_；直线PB与平面PDC所成角的正弦值为_解析：因为ABCD，所以PCD即为异面直线PC与AB所成的角，显然三角形PDC为等腰直角三角形，所以PCD.设AB1，则可计算得，PB3，而点B到平面PDC的距离d等于AD的长为2，所以直线PB与平面PDC所成角的正弦值为.答案：10(2020浙江名校新高考联盟联考)如图，已知正四面体DABC，P为线段AB上的动点(端点除外)，则二面角DPCB的平面角的余弦值的取值范围是_解析：当点P从A运动到B，二面角DPCB的平面角逐渐增大，二面角DPCB的平面角最小趋近于二面角DACB的平面角，最大趋近于二面角DBCA的平面角的补角，故余弦值的取值范围是.答案：11.如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点(1)求证：平面PAC平面PBC；(2)若PAAC，D为PC的中点求证：PBAD.证明：(1)设O所在的平面为，由已知条件PA，BC在内，所以PABC.因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径，所以BCA是直角，即BCAC.又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线，所以BC平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以平面PAC平面PBC.(2)因为PAAC，D是PC的中点，所以ADPC.由(1)知平面PAC平面PBC，且平面PAC平面PBCPC.因为AD平面PAC.所以AD平面PBC.又PB平面PBC，所以PBAD.12(2020浙江名校协作体高三质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，ADBC，ABBCCD1，DA2，DP平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点(1)求证：PD平面OCM；(2)若AP与平面PBD所成的角为60，求线段PB的长解：(1)证明：设BD交OC于点N，连接MN，OB，因为O为AD的中点，AD2，所以OAOD1BC.又因为ADBC，所以四边形OBCD为平行四边形，所以N为BD的中点，因为M为PB的中点，所以MNPD.又因为MN平面OCM，PD平面OCM，所以PD平面OCM.(2)由四边形OBCD为平行四边形，知OBCD1，所以AOB为等边三角形，所以A60，所以BD，即AB2BD2AD2，即ABBD.因为DP平面ABP，所以ABPD.又因为BDPDD，所以AB平面BDP，所以APB为AP与平面PBD所成的角，即APB60，所以PB.综合题组练1.如图，梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出下列四个结论：DFBC；BDFC；平面BDF平面BCF；平面DCF平面BCF，则上述结论可能正确的是()A BC D解析：选B.对于，因为BCAD，AD与DF相交但不垂直，所以BC与DF不垂直，则不成立；对于，设点D在平面BCF上的射影为点P，当BPCF时就有BDFC，而ADBCAB234可使条件满足，所以正确；对于，当点D在平面BCF上的射影P落在BF上时，DP平面BDF，从而平面BDF平面BCF，所以正确；对于，因为点D在平面BCF上的射影不可能在FC上，所以不成立2(2020绍兴诸暨高考模拟)已知三棱锥ABCD的所有棱长都相等，若AB与平面所成角等于，则平面ACD与平面所成角的正弦值的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A.因为三棱锥ABCD的所有棱长都相等，所以三棱锥ABCD为正四面体，如图：设正四面体的棱长为2，取CD中点P，连接AP，BP，则BAP为AB与平面ADC所成角APBP，可得cosBAP，sinBAP.设BAP.当CD与平行且AB在平面ACD上面时，平面ACD与平面所成角的正弦值最小，为sinsincos cossin ；当CD与平行且AB在平面ACD下面时，平面ACD与平面所成角的正弦值最大，为sinsincos cossin ，所以平面ACD与平面所成角的正弦值的取值范围是.故选A.3(2020杭州市高三期末)在ABC中，ABC，边BC在平面内，顶点A在平面外，直线AB与平面所成角为.若平面ABC与平面所成的二面角为，则sin _解析：过A作AO，垂足是O，过O作ODBC，交BC于点D，连接AD，则ADBC，所以ADO是平面ABC与平面所成的二面角，即ADO，ABO是直线AB与平面所成的角，即ABO，设AO，所以AD2，在RtADB中，ABD，所以AB，所以sin .答案：4(2020浙江“七彩阳光”新高考联盟联考)已知直角三角形ABC的两条直角边AC2，BC3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角ACPB，此时二面角PACB的正切值为，则翻折后AB的长为_解析