2.2 函数的连续性 (1-24)_第1页
2.2 函数的连续性 (1-24)_第2页
2.2 函数的连续性 (1-24)_第3页
2.2 函数的连续性 (1-24)_第4页
2.2 函数的连续性 (1-24)_第5页
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2 2函数的连续性 10函数连续的概念 图 1 4 在x0处曲线出现间断 图 5 曲线在x0处连续 图形 5 的特征 其中即 定义 f x 在x0处连续的语言描述 设在某邻域内有定义 如果对任 f x 在x0处连续的三要素 2 存在 设为A 3 f x 在x0处左连续 f x 在x0处右连续 f x 在 a b 内连续 f x 在 a b 上连续 定理 20连续函数的运算性质 定理 连续函数的四则运算性质 连续函数经四则运算后 在其定义域上连续 基本初等函数的连续性 1 基本三角函数在定义域上连续 由 可知 sinx cosx在其定义域上连续 再根据连续函数的四则运算性质知 tanx cotx secx cscx在其定义域上连续 所以 基本三角函数在定义域上连续 证明 对任意的x0 R 证明 对任意的x0 0 利用结论 4 幂函数f x x 0 在其定义域上连续 证明 对任意的x0 0 定理 反函数的连续性 证明略 5 反三角函数在其定义域上连续 从而有以下结论 基本初等函数在定义域上是连续的 定理 复合函数的极限 证明 对任意的因为y f u 在u0处连续 从而得 定理证毕 推论 定理一切初等函数在其定义区间内都是连续的 例如 30函数的间断点及其分类 f x 在x0处连续的三要素 2 存在 设为A 3 1 f x 在某邻域内有定义 间断点的分类 1 第一类间断点 2 第二类间断点 第一类间断点 第二类间断点 说明 所以 F x 在x0处连续 由于此时有 例讨论下列函数的连续性 解 1 当x 0时 当x 0时 f x 无定义 可知x 0是间断点 由于 所以 x 0是可去间断点 当x 0时 f x 无定义 可知x 0是间断点 由于 所以 x 0是函数的第二类间断点 3 当x 0时 因为 所以 x 0是函数的跳跃间断点 40闭区间上连续函数的性质 定理 基本原理 定理 最值定理 证明 由基本原理知 f a b m M 又因对任意x a b 有 m f x M 所以 f x 在处取得最小值 在处取得最大值 违反闭区间条件反例 违反连续性条件反例 定理 有界定理 若f x C a b 则f x 在 a b 上有界 证明 由基本原理知 对任意x a b 有 m f x M 所以f x 在 a b 上有界 注意 定理中的两个重要条件 闭区间 连续性 一般不可减弱 否则结论未必成立 定理 介值定理 证明 如果f a f b c 则可取 下设f a f b 不妨设f a f b 则对 注意 此定理的条件一般不可减弱 反例 几何意义 任意f a c f b 定理 零值定理 证明 因为f a 与f b 异号 则 f a 0 f b 或f b 0 f a 取c 0 利用介值定理知 存在使 几何意义 例 证明 方
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