线面-面面平行的性质习题课.ppt

线面 面面平行的性质习题课 1 一条直线与一个平面平行 则过这条直线的与此平面的交线与该直线平行 这个定理叫做直线与平面平行的 用符号表示为 2 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的平行 这个定理叫做平面与平面平行的 用符号表示为 任一平面 性质定理 交线 性质定理 a b a b a a b a b 学点一用线面平行的性质定理证线线平行 若一直线和两个相交平面都平行 则这条直线和两平面的交线平行 分析 条件中给出了线面平行 由性质定理 应转化为线线平行 解析 已知 a a b 求证 a b 证明 如图所示 过a作平面 设 m 过a作平面 设 n a a m a m 同理a n m n m n m 又 m b m b 又 a m a b 图2 3 2 评析 1 如果已知直线与平面平行 在利用直线与平面平行的性质定理时 常作过此直线与已知平面相交的辅助平面 完成线面平行向线线平行的转化 再由线线平行向线面平行转化 这种互相转化的思想方法的应用 在立体几何中十分常见 2 本题是直线与平面平行的判定定理和性质定理的综合应用 3 在寻求线线平行时 初中阶段学过的平行线的判定要充分利用 如中位线的性质 等比例截割定理 平行四边形的性质等 如图2 3 3所示 已知 CD EF AB AB 求证 EF 证明 AB AB 又 AB CD AB CD 同理 学点二直线与平面平行的判定及性质定理的应用 如图所示 线段 所在直线是异面直线 分别是线段 的中点 分析 利用 线 线 线 面 的转化 1 求证 共面并且所在平面平行于直线 和 2 设 分别是 和 上任意一点 求证 被平面 平分 证明 1 分别是 的中点 CD FG CD EH FG 因此 共面 CD EH CD 平面 平面 平面 同理 平面 2 设 平面 连接 设 平面 平面 CQ 平面 平面 CQ MN 是 ABC的中位线 是 的中点 则 是 的中点 即 被平面 平分 评析 三点所确定的辅助平面是解决本题的核心 有了面 就有了连接 与面 的桥梁 线面平行的性质才能得以应用 如图2 3 5所示 已知正方形 与正方形 不共面 求证 平面 证明 如图所示 连接 并延长交 于 正方形 与正方形 的边长相等 又 则有 在正方形 中 BC 由 可得 MN EG 又 平面 平面 故 平面 学点三面面平行的性质定理 已知 是夹在两个平行平面 之间的线段 分别为 的中点 求证 平面 分析 分 是否共面两种情况 证明 若 在同一平面内 则平面 与 的交线为 AC BD 又 为 的中点 又 平面 MN 平面 平面 若 异面 如图2 3 6所示 过 作 交 于 取 中点 连接 AE CD AE 确定平面 则平面 与 的交线为 又 为 的中点 ED 平面 PN 平面 平面 同理可证 平面 又 PN MP P 平面 平面 又 平面 平面 评析 分类讨论常用于位置关系不确定的条件 2 本题是平面几何中梯形中位线在空间的推广 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 点N在BD上 点M在B1C上 且CM ND 求证 MN 平面AA1B1B 证明 过M N分别作直线ME BC 交BB1于E NF AD 交AB于F 连接EF 则有 又AD BC CM DN 故NFME 故四边形MNFE是平行四边形 于是MN EF 又EF 平面AA1B1B MN 平面AA1B1B 故MN 平面AA1B1B 学点四线面平行的判定与性质定理的综合题 三个平面两两相交 有三条交线 如果其中有两条交线平行 那么它们也和第三条交线平行 分析 考查线面平行的判定和性质定理 解析 已知 a b c 且a b 求证 a b c 证明 a b b a a 又a c a c a b c 评析 本题出现三条直线和三个平面及其相互关系 关系量较多 不容易作图分析 从条件入手 可联想到常见的几何体模型 如以三棱柱为载体 问题就变得容易了 如图2 3 7所示 正三棱柱ABC A1B1C1中 D是BC的中点 试判断A1B与平面ADC1的位置关系 并证明你的结论 直线A1B 平面ADC1 取B1C1的中点D1 连接A1D1 BD1 则A1D1 AD D1B C1D AD 平面A1D1B C1D 平面A1D1B 又 AD C1D D 平面ADC1 平面A1D1B A1B 平面A1D1B A1B 平面ADC1 学点四平行的综合问题 设 是单位正方体 的面 面A1B1C1D1的中心 证明 平面AA1B1B 分析 学完了空间中的平行关系 要证明直线和平面平行的途径主要有两种 一是可以由线线平行来证 即在平面内找一条直线和已知直线平行 二是通过面面平行的性质来证明 证明 证法一 如图所示 分别取 A1B1的中点 连接 分别是面 面A1B1C1D1的中点 AD MP AD NQ A1D1 且 四边形 为平行四边形 MN 面AA1B1B AA1B1B面 面AA1B1B 证法二 如图所示 连接 在 AB1D1中 显然 分别是 D1 的中点 PQ 且 PQ 平面 平面 平面 证法三 如图所示 取 的中点 分别连接 由题知 D1 PE AA1 A1B1 又 EQ E PE 面 面 面 面 面 又 PQ 面 面AA1B1B 评析 本题在证明线面平行时提供了三种证法 证法一通过平行四边形的对边平行得到 线线平行 从而证得 线面平行 证法二通过三角形的中位线与底边平行得到 线线平行 从而证得 线面平行 证法三是通过构造两个平行平面 然后运用面面平行的性质来证 即先由 线线平行 证得 面面平行 再由 面面平行 得到 线面平行 本题充分体现了 线线平行 线面平行 面面平行 之间的转化 已知三棱锥 B C 是 PBC PCA PAB的重心 1 求证 面 面 2 求S A B C S ABC 证明 设 是 的中点 连接 则C 分别在 上 在 PMN中 MN AC 且 平面 同理 A B 平面 又 A B A 平面 平面 同理A B AB BC A B C ABC S A B C S ABC 1 9 2 如何理解两个平面平行的性质定理 平面平行的性质是根据面面平行 线面平行 线线平行的定义直接给出的 判定直线与直线平行 进而判定直线与平面平行和平面与平面平行 或者反过来由后者判定前者 是立体几何最基本又最常见的一类问题 证明线面平行往往转化为证明面面平行 必须注意 已知两个平面平行 虽然一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面 但是分别在这两个平面内的两条直线不一定平行 它们可能是平行直线 也可能是异面直线 但不可能是相交直线 否则导致这两个平面就有公共点 1 线面平行的性质定理应和线面平行的判定定理对照着记忆 一个是由线面平行得到其他什么结论 另一个是由什么条件得到线面平行 两者经常结合使用 线线平行 线面平行 线线平行 体现了数学中的转化思想 也体现了立体几何中的 降维 与 升维 的思想方