构造函数解决导数问题

精品资料模型总结导数与函数的单调性1、关系式为“加”型（ 1 ）若f (x)f ( x)0 ，则构造 ex f( x)ex f( x)f ( x)（ 2 ）若xf (x)f ( x)0 ，则构造 xf (x)xf ( x)f (x)（ 3 ）若xf (x)nf ( x)0 ，则构造 xn f(x)xn f(x)nx n1 f ( x)xn 1 xf(x)nf (x)(4) 若f ( x)g( x)f (x) g ( x)0 ，则构造f( x )g ( x )f ( x )g ( x )f ( x )g ( x )2、关系式为“减”型（ 1 ）若f (x)f ( x)0 ，f ( x)xxf ( x)ef ( x)ef(x)f (x)构造 x ex 2x(e )e（ 2 ）若xf (x)f (x)0 ，f ( x)构造 xf (x)2f (x)xx（ 3 ）若xf (x)nf ( x)0 ，nn 1f ( x)xf (x)nxf ( x)xf (x)nf (x)则构造 nn 2n 1x( x )x（备注：本类型仅作了解）(4) 若 fx gxfx g x0，则构造f ( x )g ( x )f( x ) g( x )g (f (x )2x ) g( x )口诀：1.加减形式积商定2.系数不同幂来补3.符号讨论不能忘教学过程一、真题体验真题体验 (2015 年全国新课标卷二理科数学第12 题）设函数 f (x) 是奇函数f ( x)( xr)的导函数，f (1)0 ，当 x 0 时， xf( x)f ( x)0 ，则使得函数 f ( x)0 成立的 x 的取值范围是a. (,1)(0,1)b (1,0)(1,)c (,1)(1,0)d (0,1)(1,)真题体验 （2017 年淮北市第一次模拟理科数学第12 题）已知定义在（ 0，+）的函数f（ x），其导函数为f（x），满足： f（ x） 0 且总成立，则下列不等式成立的是（）a e2e+3 f（e）e23f（）be2e+3 f（） e23f（e ）c e2e+3 f（） e2 3f（e）de2e+3 f（ e） e23 f（ ）二、考点分析通过这两题及最近的模拟题我们发现：解决这类单调性问题需要借助构造新函数，结合函数的导数与函数单调性之间的关系来解决， 那么怎样合理的构造新函数就是问题的关键，今天我们一起系统的通过“两大类型及它们蕴含的八大小类型”来探讨一下如何构造新函数 解决这类问题。三、关系式为“加”型关系式为“加”型：若 f (x)f ( x)0 (0 、0 ，下同 )，则构造 ex f( x)ex f( x)f ( x)例 1、设 fx 是定义在r 上的可导函数，且满足fxfx，对于任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（）a. faea f0b. faea f0c. faf0f0ad. faaee试题分析：构造函数g ( x)ex f( x) ，则g (x)ex f(x)ex f (x)0 ，g (x) 在 r内单调递减，所以g (a)g(0) ，即：ea f(a)f (0)，faf0.ea关系式为“加”型：若 xf(x)f ( x)0，则构造 f ( x) xf ( x)f ( x)xx2例 2、已知函数yf ( x) 是定义在数集r 上的奇函数，且当x(,0) 时 ，xf ( x)f (x) 成立，若 a3 f (3) , b(lg 3)f (lg 3) , c(log 21) f 4(log 21 ) ,则4a, b, c 的大小关系是（）a.cabb.cbac.abcd.acb试题分析：因为x(,0) 时 ， xf( x)f (x) ，所以当 x(,0) 时，xf ( x)f (x)0 ，又因为函数yf ( x) 是定义在 r 上的奇函数，所以当x(,0) 时 ， xf(x)f ( x)0 ，构造函数g( x)xf (x) ，则g ( x)xf ( x)f (x)0, x(,0)，所以g(x) 在(,0) 上是减函数，又g(x)g(x) ，所以g( x) 是 r 上的偶函数，所以g( x) 在 (0,) 上是增函数，因23lg 30 ，所以有cab， 选 a.g (2)g (3)g(lg 3) ，而g (2)g(2)g (log 2 1 )4，所以关系式为“加”型：若 f (x)g(x)f(x)g(x)0，则构造f ( x)g ( x)f ( x)g ( x)f ( x)g ( x )例 3、设f (x)、g( x) 是r 上的可导函数，f ( x) g(x)f ( x) g ( x)0 ， g(3)0 ，求不等式f (x)g( x)0 的解集变式1 ：设f (x)、g ( x) 分别是定义在r 上的奇函数、偶函数，当x0 时，f (x)g( x)f (x) g( x)0 ，g(3)0 ，求不等式f ( x) g( x)0 的解集.关系式为“加”型：若 f (x)g(x)f (x)g(x)0，则构造xn f (x)xn f(x)nxn1 f(x)xn 1xf(x)nf(x)例 4、（2016 年合肥市第二次模拟理科数学第12 题）定义在 r 上的偶函数 （fx）的导函数为f（x），若对任意的实数x，都有 2f（x）+xf （ x） 2 恒成立，则使x2f（x）f（1） x2 1 成立的实数x 的取值范围为（）ax|x1b（，1）（1， +）c（1，1）d（1，0） （0，1）解：当 x 0 时，由 2f（x）+xf （ x）20 可知： 2xf （x）x2f （x）2x 0设： g（x）=x2 f（ x）x2 则 g（x）=2xf （x）+x2 f（ x）2x 0，恒成立：g（x）在（ 0，+）单调递减，由 x2f（ x）f（ 1） x21x2f（x）x2 f（1）1即 g（x）g（1），即 x 1；当 x0 时，函数是偶函数，同理得：x1。综上可知：实数x 的取值范围为（，1）（ 1，+），故选： b四、关系式为“减”型关系式为“减”型：若 f (x)f (x)0，f ( x)f (x)exf (x)exf (x)f (x)x则构造 ex 2x(e )e例 5、若定义在 r 上的函数 f(x) 的导函数为f (x) ，且满足f ( x)f ( x) ，则f (2011)与 f (2009) e2 的大小关系为（）.a、 f(2011) f (2009) ed、不能确定f ( x)f (x)f ( x)试题分析：构造函数g ( x)x，则 g ( x) ex，因为 fe( x)f ( x) ，所以 g (x)0 ；即函数g( x) 在r 上为增函数，则f (2011) e2011f (2009)e2009，即f (2011)f ( 2009)e2 .关系式为“减”型：若 xf( x )f( x )0 ，f ( x) xf (x)f (x)则构造例 6、若函数xx2f ( x) 在r 上可导，且满足f ( x)xf ( x)，则()a. 2 f (1)f (2)b. 2 f (1)f (2)c. 2 f (1)f (2)d. f(1)f (2)试题分析：设g( x)f ( x) x， 则 g( x)xf ( x) x2f ( x) ，f ( x)xf (x)， g( x)0 ， 即 g （ x） 在（ 0 ， + ）上 单调 递增 ，g (1)g (2), 即f (1)1f (2)22 f (1)f ( 2) ， 故 选： a关系式为“减”型：若 fx gxfx g x0 ，f ( x )f( x ) g( x )f ( x ) g( x )则构造g ( x )2g ( x )例 7、已知函数f ( x ),g ( x )(g ( x)0) 分别是定义在r 上的奇函数和偶函数， 当x0 时， f( x)g ( x)f ( x) g( x) ，且 f (3)0,f ( x)0 的解g (x)集为（）a（ ， 3）（3， +）b（ 3，0）（0， 3） c（ 3， 0）（3， +）d（ ， 3）（0， 3）试题分析：由题意f ( x)是奇函数，当x0 时，f ( x) g ( x)f ( x) g( x) 时，g(x)f ( x)f ( x) g(x)f ( x)g( x)0 ，则f (x)在,0上为减函数， 在0,上g ( x)g 2 ( x)g( x)也为减函数，又有f (3)0 ，则有f (3)0, f (3)0 ，可知f ( x)0 的解集为3,0(3,) .五、小结1、关系式为“加”型g(3)g (3)g ( x)（ 1 ）若f (x)f ( x)0 ，则构造：（ 2 ）若xf (x)f ( x)0 ，则构造：（ 3 ）若xf (x)nf ( x)0 ，则构造：(4) 若f ( x)g( x)f (x) g ( x)0 ，则构造：2、关系式为“减”型（ 1 ）若f (x)f ( x)0 ，构造：（ 2 ）若xf (x)f (x)0 ，构造：（ 3 ）若xf (x)nf ( x)0 ，nn 1f ( x)xf (x)nxf ( x)xf (x)nf (x)则构造 nn 2n 1x( x )x（备注：本类型仅作了解）(4) 若 fx gxfx g x0 ，则构造：口诀：1.加减形式积商定2.系数不同幂来补3. 符号讨论不能忘3、思考：我们构造的加减模型是根据导数的运算法则的加减乘除来分类构造的，大家想一想，可否把上面八类按结构来分类： 按结构分类：（1 ）若f (x)f (x)0(0 、0 ，下同 ) 或f ( x)f ( x)0 ，f ( x)f ( x)exf ( x)exf (x)f ( x)则构造 exf ( x)ex f(x)f ( x)x或e(ex )2ex(2) 若 xf( x)f ( x)0或xf ( x)f (x)0，则构造 f ( x) xf ( x)2f ( x) xf (x)xf ( x)f (x)xx或（3 ）若xf ( x)nf ( x)0或 xf( x)nf (x)0 ，则构造 xn f(x)xn f( x)nxn1 f ( x)xn 1 xf( x)nf ( x)nn 1或 f ( x) xf ( x)nxf (x)xf ( x)nf ( x)nn 2n 1x(x )x(4) 若f (x) g( x)f (x) g (x)0 或fx gxfx gx 0则构造f ( x)g ( x)f ( x)g ( x)f ( x)g ( x)f ( x )或g ( x )f( x ) g( x ) gf ( x )2x ) g( x )六、拓展提高)拓展提高 1、定义在 (0, 上的函数2f (x) ， f( x) 是它的导函数，且恒有f ( x)f ( x)tan x 成立，则（）3 f () 2 f ()f (1) f ()436sin x643 f () f ()f ( x) cosx63f ( x) sin x试题分析f (x)f (x)tan xf ( x