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两类信号 模拟信号 数字信号 在时间上和幅值上均连续的信号称为模拟信号 在时间上和幅值上均离散的信号称为数字信号 处理模拟信号的电路称为模拟电路 第1章数字逻辑基础 处理数字信号的电路称为数字电路 图1温度和时间的关系图 用模拟量表示 图2温度和时间的关系图 用抽样值表示 图3温度和时间的关系图 用数字量表示 所谓 数制 指进位计数制 即用进位的方法来计数 数制包括计数符号 数码 和进位规则两个方面 常用数制有十进制 二进制 十六进制 八进制等 1 1数制与数制转换 基数 进位制的基数 就是在该进位制中可能用到的数码个数 位权 位的权数 在某一进位制的数中 每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数 这个固定的数就是这一位的权数 权数是一个幂 幂 乘方运算的结果 n自乘m次 叫n的m次幂 如 103 计数符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9基数 10 2 进位规则 逢十进一 例 1987 45 1 103 9 102 8 101 7 100 4 10 1 5 10 2 1 1 1十进制 位权 式中 ai为基数10的i次幂的系数 范围0 9 n为 N 10的整数位个数 m为 N 10的小数位个数 下标10为10进制的进位基数 10i为ai所在位的权 3 十进制数按权展开式 或多项式表达法 前例的1987 45中 n 4 m 2展开后 1987 45 1 103 9 102 8 101 7 100 4 10 1 5 10 2 1 计数符号 0 1 2 进位规则 逢二进一 3 二进制数按权展开式 1 1 2 二进制 例 101 11 2 1 22 0 21 1 20 1 2 1 1 2 2 2位二进制例子00011011 1 数字装置简单可靠 2 二进制数运算规则简单 3 数字电路既可以进行算术运算 也可以进行逻辑运算 例 加法运算0 0 01 0 0 1 11 1 10乘法运算0 0 00 1 1 0 01 1 1 数字电路中采用二进制的原因 十六进制数计数符号 0 1 9 A B C D E F十六进制数进位规则 逢十六进一 按权展开式 1 1 3 十六进制和八进制 例 6D 4B 16 6 161 D 160 4 16 1 B 16 2 6 161 13 160 4 16 1 11 16 2 八进制数计数符号 0 1 6 7八进制数进位规则 逢八进一 按权展开式 例 八进制 63 45 8 6 81 3 80 4 8 1 5 8 2 数据的表示 可以用数据后加一个特定的字母来表示它所采用的进制 字母D表示数据为十进制 可省略 567 17D 十进制的567 17 字母B表示数据为二进制 110 11B 二进制的110 11 字母O表示数据为八进制 245O 八进制的245 字母H表示数据为十六进制 234 5BH 十六进制的234 5B 几种进制数的对照表 1 二进制数转换为十进制数 按权展开法 例1 11 625 1 1 4 二进制数与十进制数之间的转换 8 2 1 0 5 0 125 例2 将2进制 101101 01 2转换为等值的十进制数 解 101101 01 32 8 4 1 0 25 45 25 10 常用2的幂对应的10进制数 25 23 22 20 2 2 例 2 十进制数转换为二进制数 提取2的幂法 对2的幂值熟悉 45 5 10 32 8 4 1 0 5 1 25 0 24 1 23 1 22 0 21 1 20 1 2 1 101101 1 2 方法 基数连除 连乘法 将整数部分和小数部分分别进行转换 整数部分 基数连除取余小数部分 基数连乘取整 合并 将 45 375 D转换成二进制 整数部分 基数连除 取余数自下而上 小数部分 基数连乘 取整数自上而下 22 1 K0 11 0 K1 5 1 K2 2 1 K3 1 0 K4 0 1 K5 0 375 2整数 0 750 0 K 1 1 500 1 K 2 0 500 1 000 1 K 3 所以 45 375 D 101101 011 B 几种进制数之间的对应关系 在计算机中 数据存储的最小单位为比特 bit 1比特为1个二进制位 字节 B Byte 1个字节为8个二进制位 28 除字节外 还有千字节 KB Kilobyte 兆字节 MB Megabyte 吉字节 GB Gigabyte 太字节 TB Terabyte 它们的换算关系是 1B 8bits1KB 1024B 210B1MB 1024KB 220B 1048576B1GB 1024MB 230B 1048576KB 1073741824B1TB 1024GB 240B 常用的数据存储单位 用四位二进制代码来表示一位十进制数码 这样的代码称为二 十进制码 或BCD码 四位二进制有16种不同的组合 24 可以在这16种代码中任选10种表示十进制数的10个不同符号 选择方法很多 选择方法不同 就能得到不同的编码形式 二 十进制码 BCD码 BinaryCodedDecimalcodes 常见的BCD码有8421码 5421码 2421码 余3码等 1 2几种简单的编码 每位上的数字代表该位的权值 常用BCD码 8421多3 1 有权BCD码 每位数码都有确定的位权的码 例如 8421码 5421码 2421码 如 5421码1011代表5 0 2 1 82421码1100代表2 4 0 0 6 注意 5421BCD码和2421BCD码不唯一 2421码中的24 42也可表示6 1100和0110 在表中 8421BCD码和代表0 9的二进制数一一对应 例 5421码中的51 42都可组成6 1001和0110 54215421 24212421 5421BCD码的前5个码 0 4 和8421BCD码相同 后5个码在前5个码的基础上加1000构成 这样的码 前5个码和后5个码一一对应相同 仅高位不同 2421BCD码的前5个码和8421BCD码相同 后5个码以中心对称取反 这样的码称为自反代码 例 4 01005 1011 2 00107 1101 3 00116 1100 1 00018 1110 0 00009 1111 例如 余3码 余3码的编码规律为 在8421BCD码上加0011 例6的余3码为 0110 0011 1001 2 无权BCD码 每位数码无确定的位权 格雷码为无权码 特点为 相邻两个代码之间仅有一位不同 其余各位均相同 具有这种特点的代码称为循环码 格雷码是循环码 2 格雷码 Gray码 设四位二进制码为B3B2B1B0 格雷码为R3R2R1R0 则 格雷码和四位二进制码之间的关系 每增加1位时只有相邻1位数字改变 原代码的基础上增加一个码位使代码中 含有的1的个数均为奇数 称为奇校验 含有的1的个数均为偶数 称为偶校验 通过检查代码中含有1的奇偶性来判别代码的合法性 具有检错能力的代码 3 奇偶校验码 美国信息交换的标准代码 AmericanStandardCodeforInformationInterchange 简称ASCII码 字符数字码能表示计算机键盘上看到的各种符号和功能 4 字符数字码 西文字符的编码 如 数字0 9用ASCII编码表示为30H 39H H表示十六进制形式 30H转化成二进制为0110000 这就是计算机内数字0的ASCII码表示 如 大写英文字母A Z的ASCII编码为41H 5AH 部分ASCII码表 ASC 码表 2进制 1 3 1二进制加法 0 0 01 0 0 1 11 1 101 1 1 11 1 3算术运算 原码表示法X 0101011 X 原 00101011X 0101011 X 原 10101011 反码表示法 逐位取反 X 0101011 X 原 00101011 X 反 00101011X 0101011 X 原 10101011 X 反 11010100 补码表示法 逐位取反加1 X 0101011 X 原 00101011 X 补 00101011X 0101011 X 原 10101011 X 补 11010101 1 3 2有符号数的表示方法 2010 2011 表示二进制数的方法有三种 即原码 反码和补码 补码表示规则 最高位为符号位 0为正 1为负 正数的补码和其原码相同 负数的补码将原码值逐位取反后在最低位加1 用补码系统表示有符号数 示例1 1 1 7 7 0001111101111001 0001100101111111 原码 补码 结论 一个负数的补码数值加其原码的数值等于该数码对应的无符号数的模 基数 示例2 补码的用处 减法改成加法 减去一个数就等于加上它的补码 它实现了用加法来完成减法运算 从而节省了减法器的硬件 例 9 39 13 9 3 9 13 16 模16 6 1001 9 1101 3 10110 模16 9 13 9 3 16 模16 4 1001 9 0011 13 1100 求补得0100 表的例子 第一种情况 两个正数相加 第二种情况 正数与一个比它小的负数相加 1 3 3补码系统中的加法 第三种情况 正数与比它大的负数相加 第四种情况 两个负数相加 取反加一 0101 取反加一 1101 思考 1 补码与原码的关系什么 提示 互补 2 为什么用补码作加法可以代替做减法 提示 模运算的原因 研究数字电路的基础为逻辑代数 由英国数学家GeorgeBoole在1847年提出的 逻辑代数也称布尔代数 在逻辑代数中 变量常用字母A B C Y Z a b c x y z表示 变量的取值只能是 0 或 1 逻辑代数中只有三种基本逻辑运算 与 或 非 1 4逻辑代数中的逻辑运算 2009 1 与逻辑运算 定义 只有决定一事件的全部条件都具备时 这件事才成立 如果有一个或一个以上条件不具备 则这件事就不成立 这样的因果关系称为 与 逻辑关系 与逻辑电路 1 4 1基本逻辑运算 真值表 表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格 列出命题公式真假值的表 通常以1表示真 0表示假 命题公式的取值由组成命题公式的命题变元的取值和命题联结词决定 命题联结词的真值表给出了真假值的算法 实例 若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量 0 表示 将开关合上和灯亮的状态用逻辑量 1 表示 则上述状态表用与逻辑真值表表示为 与门的逻辑功能概括 1 有 0 出 0 2 全 1 出 1 与 逻辑的表示 定义 在决定一事件的各种条件中 只要有一个或一个以上条件具备时 这件事就成立 只有所有的条件都不具备时 这件事才不成立 这样的因果关系称为 或 逻辑关系 或逻辑电路 2 或逻辑运算 或门的逻辑功能概括为 1 有 1 出 1 2 全 0 出 0 或 逻辑的表示 非逻辑电路 3 非逻辑运算 定义 假定事件F成立与否同条件A的具备与否有关 若A具备 则F不成立 若A不具备 则F成立 F和A之间的这种因果关系称为 非 逻辑关系 与非逻辑将与逻辑和非逻辑组合而成 1 4 2复合逻辑运算 2 或非逻辑 将或逻辑和非逻辑组合而成 与或非逻辑函数式 3 与或非逻辑 由与 或 非三种逻辑组合而成 异或逻辑的功能为 1 相同得 0 2 相异得 1 4 异或逻辑 011011000 001110011 110001101 100100110 5 同或逻辑 同或逻辑 相同得 1 相异得 0 表1 15 门电路的输入 输出为二值信号 用 0 和 1 表示 这里的 0 1 一般用两个不同电平值来表示 若用高电平VH表示逻辑 1 用低电平VL表示逻辑 0 则称为正逻辑约定 简称正逻辑 若用高电平VH表示逻辑 0 用低电平VL表示逻辑 1 则称为负逻辑约定 简称负逻辑 1 4 3正逻辑与负逻辑 1 0 1 0 对一个特定的逻辑门 当采用不同的逻辑表示时 其门的名称也就不同 上表中 a 是用输入 输出电平列出的真值表 b 是用正逻辑表示的真值表 它构成与非门逻辑 c 是用负逻辑表示的真值表 它构成或非门逻辑 正逻辑 VH 1 VL 0 负逻辑 VH 0 VL 1 正负逻辑的相互转换 从上表可以看出 从正逻辑转化到负逻辑就是在一个门电路的输入和输出端将逻辑1变为逻辑0 将逻辑0变为逻辑1 这种转化的结果使所有的与运算变为或运算 或运算变为与运算 即正逻辑的与 或 与非及或非 在负逻辑的约定场合 可分别用作或 与 或非及与非 反之亦然 同样异或与同或也是如此 1 5 1逻辑函数的相等 因此 如两个函数的真值表相等 则这两个函数一定相等 设有两个逻辑 F1 f1 A1 A2 An F2 f2 A1 A2 An 1 5逻辑代数的基本定律和规则 如果对于A1 A2 An的任何一组取值 共2n组 F1和F2的值均相等 则称函数F1和F2相等 自等律A 1 A A 0 A 重迭律A A A A A A 交换律A B B A A B B A 结合律A BC AB C A B C A B C 分配律A B C AB AC A BC A B A C 0 1律A 0 0 A 1 1 1 5 2基本定律 分配律 推导 A B A C AA AB AC BC A A B C BC A 1 B C BC A BC A B C AB AC A BC A B A C 反演律 反演律也称德 摩根定理 是一个非常有用的定理 奥古斯都 德 摩根首先发现了在命题逻辑中存在如下关系 非 P且Q 非P 或 非Q 非 P或Q 非P 且 非Q 德 摩根的发现影响了乔治 布尔从事的逻辑问题代数解法的研究 两个函数的真值表相等 则这两个函数相等 1 5 3 逻辑代数的三条规则 1 代入规则任何一个含有变量x的等式 如果将所有出现x的位置 都用一个逻辑函数式F代替 则等式仍然成立 由此可以证明 反演定律对n变量仍然成立 例 反演定律 2 反演规则 设F为任意逻辑表达式 若将F中所有运算符 常量及变量作如下变换 由F求反函数需注意 1 保持原式运算的优先次序 2 原式中的不属于单变量上的非号不变 则所得新的逻辑表达式即为F的对偶式 记为F 3 对偶规则 对偶是相互的 F和F 互为对偶式 求对偶式注意 1 保持原式运算的优先次序 2 原式中的长短 非 号不变 3 单变量的对偶式为自己 对偶规则 若有两个逻辑表达式F和G相等 则各自的对偶式F 和G 也相等 使用对偶规则可使得某些表达式的证明更加方便 已知A B C AB AC A BC A B A C 例 1 消去律 证明 2 吸收律1 A AB A 证明 A AB A 1 B A 1 A A A B A 1 5 4逻辑代数的常用公式 证明 3 吸收律2 4 包含律 证明 注 根据逻辑函数相等的性质 所有的函数相等证明都可以用真值表来验证 反推 对奇数个变量而言 有A1 A2 An A1 A2 An 5 关于异或和同或运算 例 例 A 0 A 利用异或门可实现数字信号的极性控制 同或功能由异或门实现 异或和同或的其他性质 A A 0 A B C A B C A B C AB AC A 1 A A A 1 A B C A B C A B C A B A C 逻辑代数与普通代数的区别 借助逻辑代数的基本定律 三个规则和常用公式 对复杂的逻辑表达式推导 变换和化简是逻辑设计的重要工作 其中必须注意逻辑代数与普通代数的区别 不存在指数 系数 减法和除法 等式两边的相同项不能随便消去 例如 A A A不能得到A A 2A系数 A A A不能得到A A A2指数 A A B A不能得到A B 1消项 1 6 1常用的逻辑函数式 1 6逻辑函数的标准形式 展开 1 吸收 分配 包含 反演 1 反演 2 反演 4 上述五种类型的逻辑函数式是可以相互转换的 1 6 2函数的 与 或 式和 或 与 式 与 或 式 指一个函数表达式中包含若干个与 项 这些 与 项的 或 表示这个函数 或 与 式 指一个函数表达式中包含若干个 或 项 这些 或 项的 与 表示这个函数 1最小项 1 最小项特点 最小项是一种特殊的乘积项 与 项 n个变量逻辑函数的每个最小项 一定是包含n个因子的乘积项 如 n 2 变量为A和B 在各个最小项中 每个变量必须以原变量或反变量形式作为因子出现一次 而且仅出现一次 1 6 3最小项和最大项 例有A B两变量的最小项共有四项 22 AB 例有A B C三变量的最小项共有八项 23 2 最小项编号 任一个最小项用mi表示 m表示最小项 下标i为使该最小项为1的变量取值所对应的等效十进制数 表1 18三变量最小项编号表 表1 19三变量最小项真值表 从上表可以看出 每个最小项只有一组变量取值能使其值为1 而其他各组取值该最小项皆为0 由这种 与 函数真值表中1的个数最少 而得名 最小项 变量任取一组值 仅有一个最小项为1 其他最小项为0 n变量的全体最小项 共有2n个 之和恒为1 n个变量任意两个不同的最小项相与 结果恒为0 3 最小项的性质 m0m1m3m4m5m6m7 两最小项相邻 相邻最小项相 或 可以合并成一项 并可以消去一个变量因子 相邻的概念 两最小项如仅有一个变量因子不同 其他变量均相同 则称这两个最小项相邻 相邻最小项相 或 的情况 2最大项 2011 1 最大项特点 最大项是一种特殊的和项 或 项 n个变量构成的每个最大项 一定是包含n个因子的 或 项 如 A B两个变量的最大项包含A B 在各个最大项中 每个变量必须以原变量或反变量形式作为因子出现一次 而且仅出现一次 例有A B两变量的最大项共有四项 例有A B C三变量的最大项共有八项 23 n个变量最多可以构成2n个最大项 任一个最大项用Mi表示 M表示最大项 下标i为使该最大项为0的变量取值所对应的等效十进制数 2 最大项编号 表1 20三变量最大项编号表 表1 21三变量最大项真值表 由上表每个最大项只有对应的1组变量取值能使其值为0 正因为这种 或 函数真值表中1的个数最多 所以得名 最大项 变量任取一组值 仅有一个最大项为0 其它最大项为1 n变量的全体最大项之积为0 即 不同的最大项相或 结果为1 3 最大项的性质 两相邻的最大项相 与 可以合并成一项 等于相同因子之和 并可消去一个变量因子 相邻的概念 两最大项如仅有一个变量因子不同 其他变量均相同 则称这两个最大项相邻 相邻最大项相 与 的情况 分配率 A B A C A BC 编号下标相同的最小项和最大项互为反函数 即 3最小项和最大项的关系 最小项之和式为 与或 式 例 m 2 4 6 2 4 6 1逻辑函数的标准与或式 1 6 4标准与或式和标准或与式 2 4 6 任一逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式 而且是唯一的 m 1 3 6 7 m6 m7 m1 m3 逻辑函数的最大项之积的形式为 或与 式 例 M 0 2 4 0 2 4 任一逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式 而且是唯一的 2逻辑函数的标准或与式 M 1 4 5 6 举例 不是标准或与式 6 1 5 4 若F mi 例 F A B C 1 3 4 6 7 0 2 5 3标准与或式和标准或与式的关系 根据最小项的性质 当mi 1时 其它最小项都是0 或非 非与 真值表与逻辑表达式都是表示逻辑函数的方法 1 7 1由逻辑函数式列真值表 由逻辑函数式列真值表可采用三种方法 以例说明 例 试列出下列逻辑函数式的真值表 F A B C AB BC 1 7逻辑函数式与真值表 将A B C三变量的所有取值的组合 共八种 分别代入函数式 逐一算出函数值 填入真值表中 方法二 先将函数式F表示为最小项之和的形式 m 3 6 7 F A B C AB BC 方法一 7 6 3 最后根据最小项的性质 在真值表中对应ABC取值为011 110 111处填 1 其它位置填 0 真值表 根据函数式F的含义 直接填表 函数F AB BC表示的含义为 1 当A和B同时为 1 即AB 1 时 F 1 2 当B和C同时为 1 即BC 1 时 F 1 3 当不满足上面两种情况时 F 0 方法三 方法三是一种较好的方法 要熟练掌握 真值表 例 根据最小项的性质 用观察法 可直接从真值表写出函数的最小项之和表达式 例 已知函数F的真值表如下 求逻辑函数表达式 1 7 2由真值表写出逻辑函数式 解 由真值表可见 当ABC取011 101 110 111时 F为 1 所以 F由4个最小项组成 F A B C m 3 5 6 7 真值表 化简的意义 节省元器件 降低电路成本 提高电路可靠性 减少连线 制作方便 最简与或表达式的标准 1 所得与或表达式中 乘积项 与项 数目最少 2 每个乘积项中所含的变量数最少 1 8逻辑函数的化简 针对某一逻辑式 反复运用逻辑代数公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子 使函数式符合最简标准 化简中常用方法 1 8 1公式化简法 A B C A B C 在化简中注意代入规则的使用 1 并项法 异或 同或 书上解法 相邻最小项合并 利用公式A AB A 2 吸收法 3 消项法 4 消因子法 AB C 5 配项法 1 8 2卡诺图化简法 该方法是将逻辑函数用一种称为 卡诺图 的图形来表示 然后在卡诺图上进行函数化简的方法 卡诺图是一种包含一些小方块的几何图形 图中每个小方块称为一个单元 每个单元对应一个最小项 两个相邻的最小项在卡诺图中也必须是相邻的 卡诺图中相邻的含义 几何相邻性 即几何位置上相邻 也就是左右紧挨着或者上下相接 对称相邻性 即图形中对称位置的单元是相邻的 1卡诺图的构成 特点 任何两组相邻 只有1位变量取值不同 即符合循环码排列规则 如BC的取值00 01 11 10 00 例三变量卡诺图 对称相邻 m0与m2m4与m6 左右相邻 上下相邻 对称相邻 二变量 四变量卡诺图 五变量卡诺图 用卡诺图表示逻辑函数 只是把各组变量值所对应的逻辑函数F的值 填在对应的小方格中 其实卡诺图是真值表的另一种画法 2逻辑函数的卡诺图表示法 3在卡诺图上合并最小项的规则 当卡诺图中有最小项相邻时 即 有标1的方格相邻 可利用最小项相邻的性质 对最小项合并 规则为 1 卡诺图上任何两个标1的方格相邻 可以合为1项 并可消去1个 取值相反的 变量 例 三变量卡诺图 消去1个变量 化简结果 F AC BC 取值 011111101 消去取值相反的变量 消去C变量 例 四变量卡诺图 消去1个变量 消去C变量 2 卡诺图上任何四个标1方格相邻 可合并为一项 并可消去2个变量 四个标1方格相邻的特点 同在一行或一列 同在一个田字格中 同在一行或一列 同在一个田字格中 例 四变量卡诺图 消去2个变量 消去CD 消去AB 横看消去C 纵看消去A 思考题 F F BC 例 消去三个变量 3 卡诺图上任何八个标1方格相邻 可以并为一项 并可消去3个变量 思考题 综上所述 在n个变量的卡诺图中 只有2的i次方个相邻的标1方格 必须排列成方形格或矩形格的形状 才能圈在一起 合并为一项 该项保留了原来各项中n i个相同的变量 消去i个不同变量 如 n 4 i 3 4个变量 如 ABCD 2i 23 8 则 保留1个相同值变量 消去3个不同值变量 4用卡诺图化简逻辑函数 化为最简与或式 项数最少 意味着卡诺图中圈数最少 每项中的变量数最少 意味着卡诺图中的圈尽可能大 F A BC 最简 非最简 例 将F A B C m 3 4 5 6 7 化为最简与或式 反演律 例将F A B C D m 0 1 3 7 8 10 13 化为最简与或式 解 1 由表达式填卡诺图 2 圈出孤立的标1方格 m13 化简步骤 结合举例说明 3 找出只被一个最大的圈所覆盖的标1方格 并圈出覆盖该标1方格的最大圈 4 将剩余的相邻标1方格 圈成尽可能少 而且尽可能大的圈 m3m7 m8m10 m0m1 m13 5 将各个对应的乘积项相加 写出最简与或式 例 11 1 得到两种化简结果 也都是最简的 一种特殊情况 化简中注意的问题 1 每一个标1的方格必须至少被圈一次 2 每个圈中包含的相邻小方格数 必须为2的整数次幂 3 为了得到尽可能大的圈 圈与圈之间可以重叠 例 m0m2m8m10 m0m2m4m6 m13m15 m1m5m13m9 蓝色的圈为多余的 例如 4 若某个圈中的所有标1方格 已经完全被其它圈所覆盖 则该圈为多余的 即每个圈中至少应有1个标1方格未被其他圈覆盖 证明 BD是多余的 用卡诺图求反函数的最简与或式 方法 在卡诺图中合并标0方格 可得到反函数的最简与或式 例 常利用该方法来求