泛函分析知识点

泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设x 是非空集合，若存在一个映射d： x x r，使得x,y,zx, 下列距离公理成立：（1）非负性： d(x,y) 0， d(x,y)=0x=y;（2） 对称性： d(x,y)=d(y,x);（3） 三角不等式：d(x,y) d(x,z)+d(z,y);则称 d(x,y)为 x 与 y 的距离， x 为以 d 为距离的距离空间，记作（x ，d） 2.几类空间例1离散的度量空间例2序列空间s例3有界函数空间b(a)例4可测函数空m(x)例5ca,b空间 即连续函数空间例6l2第二节度量空间中的极限，稠密集，可分空间1. 开球定义设（ x,d）为度量空间，d 是距离，定义u(x 0,) x x | d(x, x 0) n 时，必有dxn , xm，则称xn是 x 中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（x,d ）中每个柯西点列都在（x,d ）中收敛，那么称（x,d ）是完备的度量空间.【注意】（ 1） q 不是完备集n（ 2） r 完备（ 3） cauchy列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy 列.（ 4） ca,b完备2. 定理完备度量空间x 的子空间m 是完备空间的充要条件为m 是 x 中的闭子空间.第五节度量空间的完备化1. 定义设（ x,d）,(x , d )是两个度量空间，如果存在x 到 x 上的保距映射t，即dtx,tydx, y，则称（x,d）和( 同构映射。x , d )等距同构，此时 t 称为 x 到x 上等距2. 定理 1（度量空间的完备化定理）设 x= （x,d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间x = (x , d )，使 x 与x 的某个稠密子空间w 等距同构， 并且x 在等距同构意义下是唯一的，即若(x , d )也是一完备度量空间， 且 x 与 x 的某个稠密子空间等距同构，则 (x , d )与(x , d )等距同构。3. 定理 1 设 x=（x,d）是度量空间， 那么存在唯一的完备度量空间x = (x , d )，使 x 为 x 的稠密子空间。第六节压缩映射原理及其应用1. 定义设 x 是度量空间， t 是 x 到 x 中的映射，如果存在一个数， 01,111 ，pqflpa,b, glqa,b 那 么 f(t)g(t)在a,b上 l 可积,并且bftgtdtfapg q3 引理 2(minkowski 不等式 ) 设 p1,f,g lpa,b,那么 f+g lpa,b,并且成立不等式f+gp fp + gpp4.定理 1 当 p1 时,lpa,b按(6)中范数 f成为赋范线性空间 . 5.定理 2lp a,b(p1)是 banach空间.6. 定理 3 设 x 是 n 维赋范线性空间 ,e1,e2,en是 x 的一组基 ,则存在常数 m 和m ,使得对一切nxkekk 1成立12n2mxkk 1mx .7. 推论 1 设在有限维线性空间上定义了两个范数x和 x1 ,那么必存在常数m和m ,使得m x x 1 m x .8. 定义 2 设 (r1, x 1 )和(r2 , x 2 )是两个赋范线性空间.如果存在从r1 到 r2 上的线性映射和正数 c1 ,c2,使得对一切x r1,成立c1 x 2 x 1 c2 x 2则称 (r1 , x 1)和(r2, x 2 )这两个赋范空间是拓扑同构的.8.推论2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构 .(二)有界线性算子和连续线性泛函第一节有界线性算子和连续线性泛函定义 1 设 x 和 y 是两个同为实 (或复 )的线性空间 ,d 是 x 的线性子空间,t 为 d 到 y 中的映射,如果对任何x,y d,及数,有t(x+y)= tx+ ty,(1)t( x)= tx,(2)则称 t 为 d 到 y 中的线性算子 ,其中 d 称为 t 的定义域 ,记为 d(t),td称为 t 的值域 ,记为r(t),当 t 取值于实 (或复)数域时 ,就称 t 为实(或复)线性泛函 .定义 2 设 x 和 y 是两个赋范线性空间,t 是 x 的线性子空间d(t) 到 y 中的线性算子,如果存在常数 c,使对所有x d(t), 有 tx cx ,(3)则称 t 是 d(t) 到 y 中的有界线性算子, 当 d(t)= x时,称 t 为 x 到 y 中的有界线性算子,简称为有界算子 .对于不满足条件(3)的算子 ,称为无界算子.本书主要讨论有界算子.定理 1 设 t 是赋范线性空间x 到赋范线性空间y 中的线性算子,则 t 为有界算子的充要条件为 t 是 x 上连续算子 .定理 2 设 x 是赋范线性空间,f 是 x 上线性泛函 ,那么 f 是 x 上连续泛函的充要条件为f 的零空间 n(f) 是 x 中的闭子空间定义 3t 为赋范线性空间x 的子空间d(t) 到赋范线性空间 y 中的线性算子 ,称txtsup(4)x 0x为算子 t 在 d(t) 上的范数 .x d t引理 1 设 t 是 d(t) 上有界线性算子,那么tsuptxsuptx（ 6）x d tx d tx 1x 1. 有界线性算子和连续线性泛函的例子例 6 赋范线性空间x 上的相似算子tx= x 是有界线性算子,且 t =| |, 特别 i x =1, o =0.第二节有界线性算子空间和共轭空间. 有界线性算子全体所成空间定理 1 当 y 是 banach空间时 ,b(xy)也是 banach空间. 共轭空间定义 1 设 x 是赋范线性空间 ,令 x表示 x 上连续线性泛函全体所成的空间,称为x 的共轭空间 .定理 2 任何赋范线性空间的共轭空间是banach空间.定义 2 设 x 和 y 是两个赋范线性空间 ,t 是 x 到 y 中的线性算子 ,