现代数值分析

研硕 16化工数值方法及matlab应用试题班级姓名成绩1. （15分）数值计算方法的主要研究对象有哪些？其常用基本算法主要包括哪三个方面？举例说明matlab在解决化工数值计算问题方面有什么样实用价值？答：（ 1）数值计算方法的主要研究对象为非线性方程求根，插值法、曲线拟合、数值积分、常微分方程（组） 、初值问题求解、线性和非线性方程组求解。（2） ）基本算法包括离散化方法：用差商代替导数、差分代替微分等，将连续的数学问题转化为离散问题。 逼近方法： 用简单函数的值近似代替求解困难或形式未知的复杂函数的值。 迭代法： 用一个固定公式反复计算，对较为粗糙的根的近似值进行加工直到满足精度要求的方法。（3） ）matlab 在解决化工数值计算问题的实用价值有：数值计算和符号计算功能；图形功能； matlab 语言；功能性和学科性工具箱。2. （10 分）数值计算中的“曲线拟合”，一般有哪些方法？请至少指出四种，并简述各自的基本特点。答：（ 1）拉格朗日插值：，优点在于不要求数据点事等间隔的，缺点是数据点不易过多，当数据比较多时，差值函数有偏离原函数的风险；（2） ）牛顿插值法：它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”精品资料的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。（3） ）牛顿迭代法：牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛， 而且该法还可以用来求方程的重根、复根， 此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。（4） ）区间二分法：优点：算法简单，容易理解，且总是收敛的。缺点：收敛速度太慢，浪费时间，二分法不能求复根跟偶数重根。（5） ）最小二乘法：通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。3. （15 分）在 298k下，化学反应2of 2=o2 +2f2的平衡常数为 0.410 atm ， 如在 298k下将 of 2 通入容器，当 t=0时为 1 atm ，问最后总压是多少？取计算精度为 10-3 。解：首先写出求解问题的数学方程式。假设气体是理想气体，由反应的化学计量式可知，2of2o22 f2设氧的分压为p ，平衡时有 12 pp2 p 。平衡时，有4 p3212 p0.410整理得4 p 31.640 p 21.64 p0.4100函数关系为fp4 p31.640 p 21.64 p0.4100非线性方程求根问题，如何确定求解区间a, b ？由计算得f0.20.1156, f0.30.0424因此，有根区间为0.2,0.3，用求单根的二分法计算，求解得氧气分压。编写二分法的matlab程序： bisect.mfunction xstar,index,it=bisect(fun,a,b,ep)%fun 为需要求根的函数；%a,b 为初始区间的端点；%ep 为精度，缺省值为1e-5% 当(b-a)/2ep时，算法终止；%xstar为当迭代成功时，输出方程的根,% 当迭代失败时，输出两端点的函数值；%index为指标变量，%index=1时，表明迭代成功，%index=0时，表明初始区间不是有根区间；%it 为迭代次数.if nargin0xstar=fa,fb;index=0;it=0;returnendk=0;while abs(b-a)/2=epx=(a+b)/2;fx=feval(fun,x);if fx*fa0b=x;fb=fx;elsea=x;fa=fx;endk=k+1;endxstar=(a+b)/2;index=1;it=k;编写本题的求根函数，函数名为fun1.m. function f=fun1(x)f=4*x3-1.640*x2+1.64*x-0.410;调用二分法函数bisect.m求方程的根：xstar,index,it=bisect(fun1,0.2,0.3,0.0005)得到方程的根：xstar =0.2746index =1it =7p0.2746最后总压为p3 p12 p1.2746atm4.（10 分）下表给出 11 月 8 日某个城市郊区在5 个小时中的测量温度。请用matlab对表中的数据构造一个拉格朗日插值多项式，并估计在下午3：15 分时的温度值。然后在同一坐标系中画出表中的数据和上述得到的多项式曲线。运行结果表明二分法迭代成功，即达到精度要求，共迭代计算7 次。下午时间123456华氏温度解：66.56665646362.4编程程序如下：命令运行结果如下：下午 3：15 分时的温度值近似取3：25 的温度值， 64.7484 华氏度。5. （20 分）在下列反应器中发生a 向 b 的转化反应，由于转化率不高，需经精馏以获得规定纯度的b，而精馏塔中的残余物再返回反应器继续反应。这是典型的化工过程。现已知原料为纯a，其流量为 fa0 100kmol/h ，a 向 b 的转化率为 a=50% ，a 和 b 的循环比分别为 ra=r b=0.5 。试用 matlab 求恰定方程组的方法求 1、2、3 处 a、b 各自的物流量。01反应器a b2精馏塔3答：令 a 为 1 号， b 为 2 号， 由反应器 a 和 b 的平衡得：由精馏塔 a 和 b 的平衡得：由 a 和 b 的循环比得：现已知原料为纯a，其流量为 fa0 100kmol/h ，a 向 b 的转化率为 a=50% ，a和 b 的循环比分别为ra=rb=0.5 ，带入且建立线性方程组得精品资料为了便于计算令x1 =f 11 ，x 2=f 21， x 3=f 12 ， x4=f 22， x 5=f 13 和 x 6=f 23x1 + x3 =100x1 x2 =25x3 x4 =25x2 x4=0这是一个线性方程组转化为矩阵形式为1010x11001-100x225001-1x325010-1x40matlab 编程程序如下：精品资料即 f11=f21=50 kmol/h ，f12= f 22=25 kmol/h ，f13= f23 =25 kmol/h6.（ 30 分）热力学实验测得如下关于氧气的压缩因子数据：p,atm020406080100120z10.986540.974200.962970.952860.943870.93599请用 matlab对 z-p 进行拟合并作出相应的拟合曲线，再用组合辛普生法求其逸度系数。逸度系数的定义如下（注意： 在实际物理概念上有： p=0 时=1）。lnp z1 dp0p答：对z-p的数据点，