矩形的性质和判定

初中数学矩形的性质和判定编稿老师巩建兵一校黄楠二校杨雪审核宋树庆-可编辑修改 -【考点精讲】概念性质矩形判定方法对称性：轴对称图形 对角线相等且互相平分四个角都是直角定义有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形【典例精析】例题 1 如图，在 abc 中， ab 6， ac 8， bc 10 ，p 为边 bc 上一动点（且点 p 不与点 b 、c 重合）， pe ab 于点 e ， pf ac 于点 f， m 为 ef 中点。设 am 的长为 x，试求 x 的最小值。思路导航：根据勾股定理的逆定理求出abc 是直角三角形， 得出四边形aepf 是矩形，1所以 am 21ef 2ap ，在 rt abc 中利用 ap 求出 x 的最小值。答案： 解：连接ap ，ab 6 ， ac 8， bc 10 ，ab 2 ac 2 36 64 100 ，bc 2 100 ，ab 2ac 2 bc 2，bac 90 ，peab，pf ac ，aep afp bac 90 ，11四边形 aepf 是矩形， ap ef ，bac 90 ， m 为 ef 中点，am efap ，当2211ap bc 时， ap 值最小，此时sbac 268 2 10ap ， ap 4.8，即 x 的最小值为2.4 。点评： 本题考查了垂线段最短，三角形面积， 勾股定理的逆定理，矩形的判定等的应用， 关键是求出ap 的最小值和得出am 与 ap 的数量关系。例题 2请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：如图 1，已知abc 中， ab ac ， cd ab ，垂足是d， p 是 bc 边上任意一点，pe ab ， pf ac ，垂足分别是e 、f。求证： pe pf cd 。证明思路：如图2，过点 p 作 pg ab 交 cd 于点 g，则四边形pgde 为矩形， pe gd ；又可证 pgc cfp ，则 pf cg ；所以 pe pf dg gc dc 。如图 3 ，若 p 是 bc 延长线上任意一点，其他条件不变，则pe 、pf 与 cd 有何关系？ 请你写出结论并完成证明过程。思路导航： 采用与题目相同的思路，过点c 作 cg pe ，利用矩形的性质和全等三角形的性质确定pe 、pf、 cd 之间的关系。答案： 结论： pe pf cd 。证明：过点 c 作 cg pe 于点 g，pe ab ，cd ab ，cde deg egc 90 。四边形 cged 为矩形。 cd ge ， gc ab 。gcp b。ab ac ，b acb 。fcp acb b gcp 。在pfc和pgc中，f cgp 90 ，fcp gcp ，cp cp ，pfc pgc （ aas ）。pf pg 。pe pf pe pg ge cd 。点评： 本题通过构造矩形和三角形全等，利用矩形和全等三角形的判定和性质求解。解答这类阅读理解问题，读懂题目提供的解题思路是解题关键。例题 3如图，已知 abc 中， ab ac ，bad cad ， f 为 ba 延长线上的一点，ae 平分fac ，de ab 交 ae 于点 e。（ 1）求证： ae bc ；（ 2）求证：四边形aecd 是矩形；（ 3）bc 6 cm， s aecd 12 cm 2 ，求 ab 的长。思路导航： （ 1）先根据已知条件求出 ad bc ，再根据 ae 平分fac ，得出ead 90 ，从而证出 ae bc ；（ 2）先判定四边形 aecd 是平行四边形，再根据 adc 90，证出四边形 aecd 是矩形；（ 3 ）由 bc 6cm，得出 cd 3 cm，再根据 s aecd 12 cm 2 ， 得出 ad 4，利用勾股定理求出 ac 的长即可。答案： （ 1 ）证明： ab ac ，bad cad ，ad bc ，adb 90 ，ae 平分fac ，fae eac cad bad 180 ，eac cad ead 90 ，ae bc ；（ 2）证明： de ab ，ae bc ，四边形 abde 是平行四边形， ae bd ，bd cd ，ae cd ，四边形 aecd 是平行四边形， adc 90，四边形 aecd是矩形；（ 3）解：bc 6cm ，cd 3 cm，s aecd 12 cm 2 ，ad 4，ab ac 32 42 5 ，ab 的长是 5cm 。点评： 此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，用到的知识点是平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等，这类问题一般要综合利用各种有关性质，是中考命题的热点。【总结提升】1. 关于矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形。对角线相等且互相平分的四边形是矩形。说明：长方形和正方形都是矩形。2. 关于矩形的性质：矩形的 4 个内角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分；矩形既是轴对称图形， 也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。矩形具 有平行四边形的所有性质。3. 矩形的对角线把自身分成若干个直角三角形和等腰三角形，因此很多矩形问题都可以转化成直角三角形或等腰三角形的问题加以解决。直角三角形的重要性质主要有：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形两锐角互余；勾股定理；直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半。（答题时间： 20 分钟）一、选择题1. 下列关于矩形的说法，正确的是（a. 对角线相等的四边形是矩形b. 对角线互相平分的四边形是矩形c. 矩形的对角线互相垂直且平分d. 矩形的对角线相等且互相平分）*2.如图，在 abc 中， ab 8 ， bc 6， ac 10 ， d 为边 ac 上一动点， de ab 于点e ， df bc 于点 f，则 ef 的最小值为（）a. 2.4b. 3c. 4.8d. 5*3.abc 中， ab ac 5， bc 6 ，点 d 是 bc 上的一点，那么点d 到 ab 与 ac 的距离的和为（）a. 5b. 6c. 424d.5二、填空题4.如图，在 abc 中， ab ac ， ad bc ，垂足为ab 的长为 。d， e 是 ac 的中点。若de 5，则*5.如图所示， abc 中， ac 的垂直平分线分别交ac 、ab 于点 d 、f， be df 交 df的延长线于点e，已知a 30，bc 2，af bf，则四边形bcde的面积是 。三、解答题*6.已知：如图所示，d 是abc 中 ab 边上的中点， ace 和bcf 分别是以ac 、bc为斜边的等腰直角三角形，连接de 、df 。求证： de df 。ecfadb*7.如图， o 为abc 内一点，把ab 、ob、oc 、ac 的中点 d、e 、f、g 依次连接形成四边形defg 。（ 1）四边形 defg是什么四边形，请说明理由；（ 2）若四边形defg是矩形，点o 所在位置应满足什么条件？说明理由。1. d解析：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形。2. c解析：如图，连接bd 。在abc 中， ab 8 ， bc 6 ， ac 10 ，ab 2 bc 2ac 2，即abc 90 。又de ab 于点 e ，df bc 于点 f，四边形 edfb 是矩形，ef 11bd 。bd 的最小值为直角三角形abc 斜边上的高， 的最小值为4.8 ，故选 c。ac bd ab ac ，bd 4.8 ，ef 223. d解析：作 abc 的高 cq ，ah ，过 c 作 cz de ，交 ed 的延长线于点z，ab ac 5 ，bc 6， ah bc ，bh ch 3，根据勾股定理得：ah 4，根据三角形的面积1124公式得：bc ?ah ab ?cq ，即： 64 5cq ，解得： cq 22，cq ab ， de ab ， cz5de ，cqe qez z 90 ，四边形 qezc是矩形， cq ze 。再证明 zcd 24fcd ，得 df dz ，de df cq 。5aqefbchdz4. 10解析：在abc 中， ad bc ，垂足为 d ，adc 是直角三角形； e 是 ac 的中1点。de 2 ac （直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半）；又de 5 ，ab ac ， ab 10 。5. 23解析： af bf ，即 f 为 ab 的中点， 又 de 垂直平分ac ，即 d 为 ac 的中点，1df 为三角形abc 的中位线， de bc ， df 2 bc ，又adf 90，c adf 90，1又 be de ，e 90，四边形 bcde 为矩形， bc 2 ，df bc 1 ，在 rt adf 中，2a 30，df 1 ，ad 3 ，cd ad 3 ，则矩形 bcde 的面积 s cd ?bc 23 。6. 证明：分别取ac 、bc 中点 m、n ，连接 md 、nd ，再连接 em 、fn ，d 为 ab 中点，aec 90 ，bfc 90 ，em dn 1ac ，fn md 21bc ，dn cm 且 dn cm ，2四边形 mdnc 为平行四边形，cmd cnd 。emc fnc 90，emc cmdfnc cnd ，即emd fnd ，emd dnf （ sas ）。de df 。ecfmnadb7. （ 1）四边形defg 是平行四边形。理由如下：d、g 分别是 ab 、ac 的中点， dg是abc 的中位线； dg bc ，且 dg 11bc ；同理可证： ef bc ，且 ef bc ；dg ef ，22且