经典求极限方法

求极限的各种方法1. 约去零因子求极限-可编辑修改 -例 1：求极限lim x14x1x1【说明】 x1表明x与1无限接近，但 x1 ，所以 x1这一零因子可以约去。【解】lim ( x1)( x21)( x1)lim ( x1)( x21)6 =4x1x1x12. 分子分母同除求极限例 2：求极限x 3x 2lim3x3 x1【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】limxx3x 23x3111133limxx1x3【注】 (1) 一般分子分母同除x 的最高次方；n(2)liman xxn1m1an 1 x0mna0mnmxbxmbm 1b0anmnbn3. 分子(母)有理化求极限例 3：求极限lim (x23xx21)【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim (x 23xx 21)lim(x32xx21)(x23x 23x21x 21)limx2x 230x 21例 4：求极限lim1tan x1sin x【解】limx031tan xx31sin xlimtan xsin xx0x3x0 x1tan x1sin xlim1limtan xsin x1 limtan xsin x1x01tan x1sin x x0x32 x0x 34【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子 是解题的关键4. 应用两个重要极限求极限两个重要极限是limsin x1 和 lim (11 ) xlim (11 ) nlim (11x) xe ，第x0xxxnnx0一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例 5：求极限xlimx1xx11【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出，再凑数部分。，最后凑指xxxx12x 11212222【解】limxx1lim1xx1limx1x 11e2x1例 6：(1)lim1x1；(2) 已知limxx2a8 ，求a 。xx 2xxa5. 用等价无穷小量代换求极限【说明】(1) 常见等价无穷小有：当 x0时, x sin x tan x arcsin x arctan x ln(1x) ex1,1cosx 1 x2 , 1axb21 abx ；(2) 等价无穷小量代换 ,只能代换极限式中的 因式；(3) 此方法在各种求极限的方法中应作为首选 。例 7：求极限limx ln(1x)x0 1cosxx ln(1x)x x【解】lim1cosxlim 12 .x0x02x例 8：求极限 lim2sin xxxsin x0tan3 xxsin xxcos x112x12【解】 lim3lim3lim2lim2x0tanxx0xx03xx03x66. 用罗必塔法则求极限例 9：求极限limln cos 2 xln(12sin 2 x)x0x【说明】或0型的极限 ,可通过罗必塔法则来求。02sin 2xsin 2 x【解】 limln cos 2 xln(12sin 2 x)limcos2x1sin 2 xx0xx02 xlimsin 2 x213x02 xcos 2x1sin 2 x【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解例 10： 设函数 f(x) 连续，且f (0)0 ，求极限x( xlim0t) f(t )dt.x0xx0f ( xt )dt【解】 由于xf (x0x t ut )dt0f (u)(xdu)xf (u)du ,于是0xxx( xt ) f(t) dtxf (t )dttf (t )dtlim0lim00x0xx0f (xx0t )dtxxf (u)du0= limxf (t )dt0xf ( x)xf (x)= limxf (t )dt0x0x0f (u)duxf ( x)x0x0f (u)duxf ( x)= limxf (t )dt0xf (0)1=.x0xf0(u) duxf ( x)f (0)f (0)27. 用对数恒等式求limf ( x) g ( x) 极限例 11： 极限lim 1ln(12x) xx022ln 1ln( 1x )lim2 ln 1ln(1x )x0lim2 ln( 1 x)【解】lim 1ln(1x) x = lim e x= ex 0 xexe 2.x0x0【注】对于 1型未定式limf ( x) g ( x) 的极限，也可用公式limf ( x) g ( x) (1) = elim(f ( x)1)g ( x)因为limf (x) g ( x )elim g (x) ln( f ( x )elim g ( x) ln( 1f ( x) 1)elim(f ( x )1) g ( x)例 12： 求极限limx12cos x31.x0 x3【解 1 】 原式limx ln 2 cosxe33ln1 lim2 cos x 32x0xx0x1（sin x）limln（2cos x）ln 3lim2cosxx01 limx2x02x1sin x12 x02cosxx2 cosx62cos x【解 2 】 原式limx lne33ln21lim3x0x（1x0xcosx1ln2lim3）limcos x112x0xx03 x68. 利用 taylor 公式求极限a xax2例 13求极限lim2,( a0 ) .x0xx【 解】aex ln a1x ln a2xln 2 a( x 2 ) ,22a x1x ln axln 2 a 2( x2 ) ;a xa x2x 2 ln 2 a( x2 ).xxlim aa2limx 2 ln 2 a( x 2 )ln 2 a .x0x2x0x2例 14求极限lim1 ( 1cot x) .x0 xx【解】lim1 ( 1cotx)lim1 sinxx cos xx0 xxx0 xx sin xx3x2x(x3 )x1(x2 )lim3!2!x0( 11 ) x3x3( x3 )lim2!3!1x0x33 .9. 数列极限转化成函数极限求解例 15 ：极限limn2nsin 1nn【说明】这是 1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限， 可通过 7 提供的方法结合罗必塔法则求解。【解】考虑辅助极限limx 2x sin 1limx 2 xsin 1 1exlim1e y21 sin y 11ye 6xxxy0所以，limnn21nsin 1e 6n10 n 项和数列极限问题n 项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.例 16 ：极限limn1n 2121n 2221n 2n 2【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f (x)看成0,1 定积分。lim 1f1f2nnnnn1ff ( x) dxn0【解】 原式lim 1nn101211n1dx 1x21122121nnn1 ln21221例 17 ：极限limn1n 211n 221n 2n【说明】(1) 该题遇上一题类似， 但是不能凑成lim 1f1f2nnnnfn的n形式，因而用 两边夹法则求解；(2) 两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。【解】limn1n 211n 221n 2nn因为n 2n1n 211n 221n2nnn 21又limn所以limnnn 2n12n1nlim1nn 211122n2nn12 单调有界数列的极限问题例 18 ：设数列xn满足 0x1, xn 1sinxn (n1,2,)（）证明limnxn 存在，并求该极限；（）计算 limn1x2xn 1n .xn【分析 】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在 .【详解】（）因为0x1，则 0x2sin x11.可推得0xn 1sin xn1, n1,2,，则数列xn有界 .于是xn1sin xn1 ，（因当 x0时，sinxx）， 则有xx，可见数列x单xnxnn 1nn调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limnxn 存在.n设 lim xnl ， 在 xn1sinxn 两边令 n，得lsinl ，解得 l0 ，即 ilmnxn 0.211