【精品】导数放缩必备题型

上次发贴介绍了下2014 年课标 1 卷的放缩做法，发现很多人不太懂放缩，而且吧里似乎没有专门讲解放缩的贴子。鉴于本人是河北人，研究过一些导数里较难的题，比如数列不等式，所以斗胆在此发表一些自 己的心得，希望大家能获益。数学老手，贴吧新手，发帖有什么不好的地方请轻喷。此贴思路是这样的，先介绍放缩的思想、应用及注意事项，然后简单提下数列中的放缩，再重点介绍函数与导数中的放缩，拓展一些知识，附上一些例题。从最简单的例子开始比如我们要证明e ，我们知道 3， 3 e。我们可以把要证的不等式e 左边的 缩小为 3,3 比 e 大是对的， 比 e 大就得证。同理也可把右边的e 放大为 3 。上面的例子太过简单，真到复杂的情况，可能你似懂非懂的了解了放缩但还是应用不上，真的理解还是要靠题目。直接来到高大上的题，搞清了就理解放缩了。第一问略过（等号左边的取对数易证，等号右边把帖子看完就知道多好证了）第二问说思路，首先这个式子太过庞大，有指数有三角，而且不管怎么变形求导，都无法消除其中一种， 所以常规法是很难做甚至是不可做的。再看第一问有放缩的提示，所以考虑放缩。如果 1-x g（ x）这时求得a-3 ，那么这个范围内f（ x） g （ x）的，或者说这个范围就是一个充分条件，我们只须论证其必要性。也就是证a 3 时 f（ x） g（x ）不成立，即g（ x） f（ x ），这时再把f（ x）放大为1/ （ 1+x ）与 g（ x）比较，在a 3 时，作差求导得出g（x） f（ x），所以 a-3 为充要条件。详答不放，重要的是思路，计算过程现在都可以不算，只要把这个思路倒腾清楚，放缩思想基本就有了， 而且不局限在证明不等式了。-可编辑修改 -注意事项 :第一：放缩要注意尺度，比如证 e，你要是想到了 2，然后想用2 e 来证明，那当然不行，你放缩的尺度太大了，复杂题中，有时这尺度不容易把握。第二：看清楚不等号及放缩方向，有时你做着做着就蒙了，就看不清了。比如你要证 e，你想到了e 2，一看 2，以为自己证出来了，其实呢，你已经晕了。这个例子你看着滑稽，自己做难题时这种情况而正常。第三：注意有放有留，在数列中常用，我们通常把数列的第一项或者前两项不进行放缩，只放缩后面的，借此来控制放缩的尺度（因为有时前面的项放缩会尺度过大）。更高端的， 我们可以把数列的后面的拿出n项来，只对后面的n 项放缩，而不放缩前面的（因为有时后面的放缩会尺度过大）。第三条中更更高端的，我们可以借项。比如数列an=n ，其前 n 项和本应为1+2+3+4+n我们可以写为1+2+3+4+n+ 【（ n+1 ） +（n+2 ） +2n】 -【（ n+1 ）+（ n+2 ） +2n 】，就是加上n 项再减去 n 项，然后对减去的n 项或加上的n 项进行放缩（之所以要放缩减去的那些项，是因为有时候不等号方向和你已知的放缩式子可能不合适，但如果放缩减号后的那些项可以解决这个问题）现在来介绍下数列中的放缩，河北数列难度小，所以我了解的不如导数多，只举三个例子吧。第一，脑筋急转弯型放缩，平凡之中暗藏坑爹，此类题题号靠前，难度不大，却可以很坑爹。例：求证 1/ （n+1 ） +1/（ n+2 ） +1/(n+3)+.1/(n+n) 1难吗，有没有发现左边 n 个式子每一项都比 1/n 小，那 n 个合起来当然比 1 小了，这不这么显然吗？如果你考试时做不出来，请拿出小学生考你脑筋急转弯你答不出来的心态来。第二条较常用（导数中有道数列不等式也要用它，在此只举一例） 这类放缩就是朝裂项相消方向靠拢。很显然的， 我们有 1/n(n+1) 1/n2 1/n(n-1)（原谅我不会把平方打成角标）。当然我们有更加强版的1/n2 1/(n+1)(n-1)。如此只要有平方倒数，我们可以考虑用这些不等式将其放缩为能裂项相消求和的式子，举个，而是否用加强版的放缩，要看题里的条件，用那个式子更美观，加强版不见得是好的。例如 an=1/n2 ，求证 sn 2，我们可以将a1 保留（显然放缩之中a1 没有定义），从 a2 开始放缩为1/n(n-1) ，熟悉的裂项求和求出，后面部分的和是小于1 的。用加强版一定也可以，但是那个计算起来要稍微麻烦些， 没必要。第三是一个指数型的放缩，具体题目我忘了，是个老题，没必要过分纠缠，做法很多，我只取我自己独创的做法，觉得还是比较好的，至少比老师讲的简单些。an=3n-2n，求 sn 小于什么还是大于什么我忘了，反正显然是要放缩，这个尺度不好把握，我是这么来把握的。an=(3/2)n-1*2n，然后令二分之三的指数n=1,2,3等某个定值，再等比求和。因为二分之三是比一要大的，其指数函数是递增的，把n 限制为某个值，他一定变小了，控制n 的值就一定程度控制了放缩尺度。-为什么能想到这呢，其实你对题有研究的精神，有兴趣，没事多想想，就肯定能有灵感，能超越老师的思路，这个谁都可以有。首先，我来提一个高大上的东西，就是高数里面的泰勒公式，这个只是背景，了解就行，感兴趣的可以找 百科或者高数书。就是从某个点x0 处，我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，如果这个点是0，就是形式比较简单的麦克劳林级数。简而言之，它的功能就是把坑爹的超越式近似表示为幂函数。然后给出高中阶段常用的放缩的不等式，推荐背过，题里一般会提示，若无提示，用这些也有可能让题目简单。ex x+1x-1 lnx 1-1/x1+x 1+x/2 （根号不会打，平方下就知道这式子怎么来的了。）1-x2/2 cosx 1-x2/4 （在-到 上）对实数 x-1 ，在 n 1 时，有(1+x)n 1+nx成立；在0n1 时，有 (1+x)n 1+nx 成立（伯努利不等式）重点研究前两个，十道导数题八道与它有关，其中两道就要用它们，另外两道用它们会简化题目。很容易发现ex x+1，这是取的麦克劳林级数的前两项。我们对该式两边取以自然对数，得到x ln（ x+1 ），用 x-1 替换 x 就得， lnx x-1 。在这个式子中，用1/x 替换x就可以得到-lnx （1/x）-1即lnx 1-1/x。-可编辑修改 -从图像中也可以看出x+1 和 x-1 正好是切线，这样凭这个图像很容易就记住了这两个不等式当然将指数对数稍作平移，切线都变为x 看着似乎更有趣，两个图像有公切线，然而切点是不同的第三道 2014 课标 1，我知道可以不用放缩，但此帖就是在讲放缩。求证 1，显然ex-1/x是 1 的，但它的系数为2，你要是直接弄成2就错了， f（ x）是大于的，证这个大于1，两边都有1 可消掉，成了证明大于 0，那就好多了，都除以ex-1,就成了证它0，求导求最小值，恰好是0， 等号不同时取，所以是大于。第四，我忘了原题了，原题要复杂，我只编个简单点的说明下这个灵活的思想吧。跟我思路来。求证： x2+(lnx)2 1/2 。xlnx+1 ，所以只须证（lnx+1 ） 2+(lnx)2 1/2 ，令 t=lnx+1 ，（换元成2 次函数），则转化为证2t2-2t+1 1/2 。二次函数求最小值，就是1/2其实就是告诉大家，一定一定要很灵活，我们的思路都是转化为幂函数，这个题，却将幂转化为对数（受不等号方向的限制） ，然后又通过大家熟知的换元法转化为简单的二次函数。接下来讲下一类数列不等式简单证法。看题。求证1+1/2+1/3+1/4+1/n ln（ n+1 ），这种题，数学归纳法是可以的，但步骤未免有些繁琐， 我们有简化的证法。把这个不等式看作关于n 的式子，复制一个n-1 的式子1+1/2+1/3+1/4+1/ （n-1 ） ln（ n）用上式减下式，得1/n ln（ 1+1/n ）（上面的不等式可证明，令 x=1/n ）1/n ln （1+1/n ）分别求和就可证出上面的式子。所以遇见数列不等式，先复制n-1 的式子，如果不等号两边都是某数列的前n 项和，这样就可以找到两个数列的通项，由通项的大小就可以证明前n 项和的大小。2014 石家庄质检二，第一问不用说，看着也很眼熟吧，a1 自己算。第二问，这个不等式首先也不可能作差，需要一定的变形。说下思路，首先应该把（3n） n 除到左边来，观察这个式子肯定是某个以e 为公比的等比数列前n 项和（很多题都是等比，因为等比后面的次数挂上n的可以忽略）考虑不等式ex x+1 ，令 x= 什么可以有等比呢？观察除过去后的左边，通项（ 3i-2 ） /3nn