“三线合一”证题【精】精心总结

等腰三角形巧用“ 三线合一” 证题“ 三线合一” 是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。一. 直接应用“ 三线合一”例 1.已知，如图1 ， ad 是的角平分线， de 、df 分别是和的高。求证： ad 垂直平分ef分析：从本题的条件和图形特征看，欲证ad 垂直平分ef ，因为有，所以只要证为等腰三角形即可证明：又ad 垂直平分ef例 2.如图 2 ，中， ab ac ， ad 为 bc 边上的高， ad 的中点为m，cm 的延长线交 ab 于点 k，求证：精品资料分析：可考虑作de/ck交 ab 于 e ，因为 m 是 ad 的中点，所以k 是 ae 的中点， 只要证 e 是 bk 的中点，问题可得到解决。由于有，所以就想到用“三线合一” 。证明：过点d 作 de/ck交 bk 于 点 e二. 先连线，再用“三线合一”例 3.如图 3 ，在中，d 是 bc 的中点， p 为 bc 上任一点，作，垂足分别为e、f求证：（ 1） de df ；（ 2）分析：（1）欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察 de 为或的一边， df 为或的边，但它们都没有全等的可能。由于d 为等腰直角三角形的底边bc上的中点，于是我们想到连结ad一试，这时容易发现或问题得证。（ 2）欲证，只要证，即可但由（ 1 ）已证出又，故问题解决证明：连结ad 。d 是 bc 的中点，da 平分，四边形 peaf 是矩形又又（ 2） 又 即三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一”例 4.如图 4 ，已知四边形abcd 中，m、n 分别为 ab 、cd 的中点，求证：分析：由于mn 与 cd 同在中，又 n 为 cd 的中点，于是就想到证为等 腰 三 角 形 ， 由 于md 、 mc为、斜 边ab上 的 中 线 ， 因 此，所以，问题容易解决。证明：连结dm 、 cm， m 是 ab 的中点是等腰三角形又n 是 cd 的中点，例 5.如图 5 ，中，bc 、cf 分别平分和，于 e ， 于 f，求证： ef/bc分析：由 be 平分、容易想到： 延长 ae 交 bc 于 m ，可得等腰， e 为 am 的中点；同理可得等腰， f 是 an 的中点，故ef 为的中位线，命 题就能得证。证明：延长ae 、af 分别交 bc 于 m、n，为等腰三角形即，同理为的中位线一、证明角相等【 例1 】 已 知 ： 如 图1 ， 在a b c中 ， abac ， bdad 于d 求 证 ：ba c2dbc a【分析 】作出等腰abc 的顶角平分线将顶角分为相等的1 2两部分，根据“ 三线合一” 的性质证得dbc 等于其中任一部d分即可bec图 1【证明】作bac的平分线ae，则有1122ba c abac ，12 ， aebc （ 三 线 合 一 ） 2c90 又 bdad ， dbcc90 2d b c b a c2d b c【点拨 】添加辅助线，利用等腰三角形的“三线合一” 性质，巧妙地构造了两个具有同一锐角的直角三角形，将已知条件与待证结论有机地联系在一起，从而容易获得问题的解决二、 证明线段相等【例 2 】（ 2009 汕头）如图 2，abc 是等边三角形，d 点是 ac 的中点，延长bc到 e ，使 cecd ，过点 d 作 dmbe ，垂直为m求证： bmem【 分 析 】 在b de 中 ， dmbe 如 果 能 证 得adbde ，由“ 三线合一” 就可得出bmem d【证明 】abc是等边三角形， d 是的 ac 中点，abcacb60 ，bd 平分abc（三线bmce图 2合一）dbc30 又 cecd ，ecde 又acbecde ，e1acb30 dbce302dbde 又 dmbe ， bmem （三线合一）【点拨 】能利用“ 三线合一” 证明线段相等的问题，也可以用全等三角形来解决，但利用“ 三线合一” 证明要比用全等三角形证明简便得多因此，我们在解决这类问题时， 要纠正总是依据三角形全等的思维定势，应该优先选用“三线合一” 来解决三、 证明直线垂直【例 3 】（ 2009 义乌）如图 3 ，在正 abc 中， adbc 于点 d ，以 ad 为一边向右作正 ade 请判断ac 、de 的位置关系，并给出证明【 分 析 】 在 正 abc中 ， 由 “ 三 线 合 一 ” 知acad30 而 ade也 是 正 三 角 形 ， 于 是 有efaedaecad603030， 这 样 就 得faf 是正 ade 的角平分线， 再由“ 三线合一”得 acde bdc图 3【 证 明 】 在 正 abc中 ， adbc ， cad30（三线合一）在正 ade 中，faedaecad603030 ， af 是平分线acde （三线合一）dae 的【点拨 】当题设中同时具备下列两个条件时，就可以利用“三线合一” 来证明两条直线相互垂直：（ 1）有一个等腰三角形；（ 2）两条直线中有一条是这个等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线所在的直线例1.等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为= 。图 1分析：如图1， ab=ac ，bd ac 于 d ，作底边bc 上的高 ae ，e 为垂足，则可知eac=eab，