线性代数与解析几何-第四章-N维向量.ppt

线性代数与空间解析几何 第十五讲 哈工大数学系代数与几何教研室 王宝玲 第四章n维向量 1 2007 10 n维向量的概念及线性运算向量组的线性关系 向量组的极大无关组与秩向量空间欧式空间 2 本章的主要内容 4 1 1n维向量的定义 4 1n维向量的概念及其线性运算 定义数域F内的n个数a1 a2 an组成的有序数组称为数域F上的n维向量 记作 或 其中ai称为向量的第i个分量 行向量 列向量 复向量 实向量 Rn实向量全体 除非特别声明 我们只在实数域上讨论实向量 3 矩阵 有3个行向量 有4个列向量 例1 零向量 记作 4 5 向量可以看作是特殊的矩阵 从下面关于向量的相等以及向量的线性运算 加法和数乘运算 可以看出向量的线性运算与矩阵相应运算的一致性 定义 设有两个n维向量 和一个实数k R 则定义 4 1 2n维向量的线性运算 6 交换律 结合律 分配律 分配律 7 8 本节研究的重点是向量之间的线性关系 由若干个向量组成的向量组是主要研究对象 为此 需要引进由一组向量来产生新的向量概念 在几何空间中 若给定两个不共线向量 如何表示与它们共面的全体向量 9 4 2线性相关与线性无关 线性相关与线性无关的定义线性相关性的一种刻画线性相关的判定矩阵判别法 本节的主要内容 定义 4 2 1线性相关与线性无关 则称 是 1 2 m的一个线性组合 也称 可由 1 2 m线性表示 k1 k2 km称为表示系数或组合系数 对于n维向量 1 2 m 若存在 一组数k1 k2 km 使得 k1 1 k2 2 km m 1 线性组合 线性表示 10 设 试将向量 用向量 与 线性表示 解 由观察可知 即 例2 11 又设 按向量相等即有 即 零向量可被任意一组向量线性表示 例3 如 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 12 n维向量组 为n维基本单位向量组 且表示系数为的n个分量 称向量组 例4 解因 13 定义设有n维向量组 存在不全为零的数k1 k2 km使得 则称向量组线性相关 否则称这个向量组线性无关 2 线性相关 线性无关 若 14 线性无关 仅当k1 k2 km 0时 才有 线性无关 若 则k1 k2 km必然全为零 线性无关 一组不全为0的数k1 k2 km 15 注 使 是R3中三个向量 由于 2 2 1 因而有 系数2 1 0不全为零 由上述定义可知 1 2 3线性相关 例5 16 例6 说明基本单位向量组是线性无关的 解 设有一组数k1 k2 kn 使 故 线性无关 不妨设ki 0 于是 定理4 1 4 2 2线性相关性的一种刻画 18 即 i可由 1 i 1 i 1 m线性表示 如果 那么 所以向量组 1 2 m线性相关 19 20 1 线性相关 2 线性相关 共线 3 线性相关 共面 中线性相关的 几何解释 线性无关 对应分量成比例 不妨设 4 2 3线性相关性的判定 向量组与矩阵的关系 行向量 行矩阵 列向量 列矩阵 则 构成矩阵 21 当m 1时 向量组只有1个向量 线性无关 线性相关 当m 2时 向量组有2个向量 对应分量成比例 22 对于n维向量组 对应分量不成比例 23 即A为列满秩 矩阵An m的列向量组 矩阵An m的行向量组线性无关 即A为行满秩 当A为n阶方阵时 线性无关 矩阵判别法 24 证 阵 25 这与 线性无关矛盾 可以证明 Q可逆 26 设 令 是r s维向量 如果 线性无关 则 线性无关 线性相关 则 线性相关 推论1 无关组接长后仍无关 相关组截短后仍相关 27 证 构造两个齐次线性方程组 1 2 由于 2 的前r个方程就是 1 的所有方程 那么 2 的解必是 1 的解 即 2 的解 1 的解 28 反之 若 1 2 m线性相关时 方程组 2 有非零解 所以 1 也有非零解 则 当 1 2 m线性无关时 方程组 1 只有零解 所以方程组 2 也仅有零解 则 1 2 m线性无关 1 2 m线性相关 29 设为n维向量 若m n 则线性相关 向量个数 分量个数 推论2 例7 证 判别R3中向量组 例8 解 1 2 3线性无关 30 1 1 3 1 T 2 1 2 2 T 3 1 1 3 T 的线性相关性 故 31 预习4 3 4 4 32 单个向量组成的向量组 1 若 0 则线性相关 2 若 0 则线性无关 两个向量组成的向量组 1 若对应分量成比例 则线性相关 2 若对应分量不成比例 则线性无关 复习线性相关性的判定理论 33 增加 减少 个数不改变相 无 关性 5 6 复习线性相关性的判定理论 增加 减少 维数不改变无 相 关性 34 7 向量组 1 2 m线性相关性 x1 1 x2 2 xm m 0有非零解 齐次线性方程组AX 0有非零解其中A 1 2 m X x1 x2 xm T 8 设有n个n维向量 1 2 n 1 2 n线性相关 1 2 n 0 1 2 n线性无关 1 2 n 0 9 Rn中 n 1个向量一定线性相关 10 矩阵判别法 35 4 3向量组的秩 极大线性无关组与秩2 向量组的等价3 向量组的秩与矩阵的秩的关系 本节的主要内容 36 4 3 1向量组的极大无关组与秩 定义1 设S是n维向量构成的向量组 在S中选取r个向量 如果满足 1 线性无关 2 任取S 总有线性相关 则称向量组为向量组S的一个 极大线性无关组 简称极大无关组 数r称为该向量组的秩 记为 r 1 2 s r或秩 1 2 s r 37 设有向量组 1 1 1 1 T 2 2 1 0 T 3 3 2 1 T 求向量组的秩和极大无关组 因 1 2线性无关 且 例1 所以 1 2为极大无关组 可知 1 3和 2 3也都是极大无关组 故秩 1 2 3 2 3 1 2 解 38 定理4 2设n维向量 1 2 m线性无关 而 1 2 m 线性相关 则 可由 1 2 m线性表示 且表法唯一 证由 1 2 m 线性相关 存在不全为零的数k1 k2 km l使得 下面证明只有l 0 反证法 线性表示唯一性定理 39 如果l 0 则有k1 k2 km不全为零 使 于是 1 2 m线性相关 与已知矛盾 从而l 0 故有 即 可由 1 2 m线性表示 下面来证明表示的唯一性 40 假若 有两种表示法 设 两式相减 得 由 1 2 m线性无关 得 可由 1 2 m唯一线性表示 故 41 设有两个n维向量组 若 I 中每个向量都可由 II 线性表示 则称向量组 I 可由向量组 II 线性表示 若向量组 I 和 II 可以互相线性表示 则称向量组 I 与 II 等价 定义2 4 3 2向量组的等价 n维向量组 向量组 II 可由向量组 I 线性表示 存在数 使得 即 定义 存在r s矩阵K 使得Bn s An r 43 极大无关组与原向量组的关系 极大无关组之间的关系 这都要用到两个向量组之间的关系 向量组极大无关组的几个问题 向量组与它的极大无关组等价 证 设 I 极大无关组 不妨设 II 性质1 的秩为r 是 I 的一个 44 即 II 可由 I 线性表示 故 I 与 II 等价 j显然可由 1 2 r线性表示 如果 j r 1 m 向量组 1 2 r j一定 线性相关 所以 j j r 1 m 可以由 1 2 r线性表示 I 可由 II 线性表示 45 证设 I II 是向量组S的两个极大无关组 由性质1知 I 与S等价 II 与S等价 由传递性 I 与 II 等价 向量组的任意两个极大无关组等价 性质2 设有n维向量组 若 I 线性无关 且 I 可由 II 线性表示 则r s 定理4 3 46 证 因为向量组 I 可由 II 线性表示 故有 线性无关 由矩阵判别法知 故r s I II 47 推论2 若 I II 都线性无关 且 I 与 II 等价 则r s 向量组的 两个极大无关组所含向量个数相等 推论3 若 I 可由 II 线性表示 则 秩 I 秩 II 如果向量组 I 可由 II 线性表示 且r s 则 I 线性相关 推论1 48 证设r I r r II s A1 B1分别是 I II 的极大无关组 显然A1 B1含向量个数分别是r s 因为A1可由 I 线性表示 I 可由 II 线性表示 而 II 可由B1线性表示 所以A1可由B1线性表示 由定理4 3有r s 等价的向量组等秩 49 设 若向量组 1 2 3线性无关 证明向量组 1 2 3也线性无关 证由已知可以解得用 1 2 3来表示 1 2 3的表达式 故两向量组等价 等秩 r 1 2 3 3 r 1 2 3 3 1 2 3线性无关 例2 50 4 3 3向量组的秩与矩阵的秩的关系 定理4 4 r An m A的列向量组的秩 分析 记r A r 往证的秩为r 即 只要证的极大无关组含r个向量 证 记Dr对应的r列为 是r维线性无关向量的接长 仍线性无关 是线性相关的 下证 51 j不在i1 i2 ir中 j在i1 i2 ir中 线性相关 r 1列对应的子矩阵记为A1 因为 是一个极大无关组 故 由 又有A的行秩 52 设AB 0 若A的列向量组线性无关 则B 0 若B的行向量组线性无关 则A 0 若B 0 则A的列向量组线性相关 若A 0 则B的行向量组线性相关 分析设B B1 B2 Bm AB 0 ABi 0 A的列向量组线性无关 AX 0只有零解 Bi 0 i 1 m B 0 其余情况可以类似得到 例3 53 可将 秩等 极大无关组的位置对应相同 表示系数对应相同 当时 n维列向量组S 则向量组与 初等变换法 极大无关组和秩的求法 54 求矩阵A列向量组的一个极大无关组和秩 并把其余列向量用所求出的极大无关组线性表示 解通过初等行变换把A化为行最简形 例4 55 为一个极大无关组 重要结论 设线性无关 且 r K r K列满秩 特别地 当s r时 线性无关 K 0 K可逆 线性相关 K 0 K不可逆 r K r K非列满秩 例5 57 证 故线性无关 58 预习4 4 4 5 59 4 4向量空间 1 向量空间的概念 2 基 维数与坐标 3 坐标变换 本节主要内容 60 1 定义数域F上的n维向量构成的非空集合V 且对向量的线性运算封闭 即 4 4 1n维向量空间的概念 加法封闭 数乘封闭 如 0 V 都是向量空间 则称V为数域F上的向量空间 是向量空间 不是向量空间 例1 61 V1 V2是同一数域F上的向量空间 若V1 V2 则称V1是V2的子空间 如 0 和R3都是R3的子空间 例2 不是R3的子空间 2 子空间 是R3的子空间 是R3的子空间 62 由向量空间的封闭性知 除 0 空间外都含有无穷多个向量 所以有必要研究向量空间的结构 1 定义设V是向量空间 称V的极大无关组为V的基 V的基所含向量的个数为V的维数 若V的维数为r 则称V为r维向量空间 记作dimV r 规定 dim 0 0 4 4 2向量空间的基 维数与坐标 63 本书只讨论有限维向量空间 2 有限维向量空间 0维与r维的向量空间 设e1 e2 en是n维向量空间Rn的一组基 例3 64 称x1 x2 xr为 在基下的坐标 3 坐标 由基线性表示 且表法唯一 65 1 称为由生成的向量空间 4 向量空间的构成 dim V 的极大无关组是V的基 2 等价向量组生成的向量空间相同 V可看成由其基生成的向量空间 3 若向量空间V的基为 则 等价的线性无关组 4 若是V的基 是与其 则也是V的基 66 5 对应 设 这个基下的坐标 例4 67 解由 是的一个基 则 知 68 4 4 3过渡矩阵 坐标变换 问题 同一个向量在不同基下的坐标有什么关系 或者说基改变影响坐标如何改变 这就是基变换与坐标变换的问题 69 及是V的两个基 且 即 称为基变换公式 1 基变换公式 70 称可逆阵 为由基 的过渡矩阵 到基 2 过渡矩阵 为了得到n维向量空间V中一个向量在不同基下坐标之间的关系 先证明下面定理 71 3 坐标变换公式 X x1 x2 xn T和Y y1 y2 yn T 定理4 5 设向量空间V的基 如果向量 在两组基下的坐标分别是 则有坐标变换公式 72 证 73 比较两式右端 可以得到 由P可逆 得 X PY或Y P 1X 74 方法 初等变换法 求不同基之间的过渡矩阵 75 方法 方法1 解方程组法 方法2 初等变换法 求n维列向量 在基下的坐标 求向量在指定基下的坐标 方法3 利用基变换与坐标变换的关系 则X PY或Y P 1X 76 例5 在中有两个基 求 1 由基到的过渡矩阵 解法1 1 77 解法2 78 2 79 预习4 5 80 1 欧氏空间的概念2 规范正交基Schmidt正交化正交矩阵 4 5欧氏空间 本节主要内容 81 空间的推广 几何空间R3n维实向量空间Rn 度量性质的推广 R3中 长度 夹角 内积Rn中 内积 长度 夹角 引言 82 在实向量空间Rn中 设 注可以定义各种内积 从而构造各种不同的欧氏空间 它们的度量标准也不同 欧几里得Euclid 向量空间Rn称为欧氏空间 称 为向量 与 的内积 a a2 an T b1 b2 bn T T a1b1 a2b2 anbn T 4 5 1内积的概念 1 内积 83 且满足下列运算规律对 Rn k l R 1 2 3 k k 4 0 且 0 0 5 k l k l 2 长度 设 运算律 84 要推广几何空间中向量夹角的概念 必须先证明下面著名的不等式 Cauchy Schwarz不等式 2 1 即 其中等号成立当且仅当 与 线性相关 在中向量的内积满足 引理4 1 85 证1 若 线性无关 则对任意实数k都有k 0 那么 k k k k 作为k的二次函数 其函数值恒正 故其判别式必小于零 故 即 2 2 86 2 若 线性相关 如果 中有一个为0 显然式等号成立 因此不妨设 k 那么 k k2 2 k k 定理得证 87 非负性 三角不等式 证 定理4 6 88 4 正交 当 0时 称 与 正交 记为 规定 Rn 必有0 称 为 与 的夹角 因为零向量与任何向量的内积为零 3 夹角 89 4 5 2规范正交基 自然基的推广 1 正交向量组 两两正交的非零实向量构成的向量组称为正交向量组 正交向量组有一个非常重要的性质 90 证设 2 m是正交向量组 若k1 k2 2 km m 0两边同 i作内积 k1 km m i 0即k1 i k2 2 i km m i 0当i j时 i j 有ki i i 0又 i 0 则 i i 从而ki i 1 2 m故 2 m线性无关 2 正交向量组线性无关 线性无关不一定正交 如 1 0 1 1 91 3 规范正交基 4 规范正交基的判别若 1 2 n Rn是规范正交基 n维欧氏空间Rn中 由n个两两正交的非零向量构成的向量组称为正交基 由单位向量构成的正交基称为规范正交基 92 例1 1 Rn的自然基就是规范正交基 2 下列两组基都是R2的规范正交基 93 设 1 2 n Rn是规范正交基 Rn 求向量 在这组基下的坐标X x1 x2 xn T 解设 x x2 2 xn n用 i与作内积 有 i x x2 2 xn n i xi i i xi故 在这组基下的坐标的第i个分量为xi i i 1 2 n 例2 94 i j k是R3的一个规范正交基 规范正交基不唯一 在Rn中任一个规范正交基下计算内积 可以像在自然基下一样计算 设是n维欧氏空间Rn中一组规范正交基 95 问题 如何把V的一组基 2 n改造成与之等价的规范正交基 2 n 先以R2的一组基 2改造出一组规范正交基为例子揭示Schmidt正