圆中常见的辅助线

.圆中常见辅助线的做法一遇到弦时（解决有关弦的问题时）1. 常常添加弦心距， 或作垂直于弦的半径 （或直径） 或再连结过弦的端点的半径。作用：利用垂径定理；利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形， 根据勾股定理求有关量。例：如图，在以 o 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d 二点.求证：ac = bd证明 :过 o 作 oe ab 于 eo为圆心， oe ab;,.ae = bece = deac = bdoaced b练习： 如图， ab为 o的弦， p 是 ab上的一点， ab = 10cm ， pa = 4cm. 求 o的半径 .obpa2. 有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.例：如图，已知 ab是 o的直径，m、n分别是 ao、bo的中点，cm ab,dn ab,求证： acbd证明：（一）连结oc、od m、n分别是 ao、 bo的中点 om = 121ao 、on =bo2 oa = ob om = on cmoa、 dnob、oc = od rt com rt don coa = dob acbd（二）连结ac、 oc、od、bd m、n分别是 ao、 bo的中点 ac = ocbd = od oc = odac = bd acbd3. 有弦中点时常连弦心距cdabm on例：如图，已知m、n 分别是 o 的弦 ab、cd的中点 ,ab = cd ，求证： amn = cnm证明：连结om、on o为圆心， m、n 分别是弦ab、cd的中点 om abon cd ab = cd om = onac omn = onmo amn = 90 omnmno cnm = 90 onmobd amn = cnm4. 证明弦相等或已知弦相等时常作弦心距.例：如图，已知o1 与 o2 为等圆， p 为 o1、o2 的中点，过p 的直线分别交o1、 o2 于 a、 c、d、b. 求证： ac = bd证明：过o1 作 o1m ab 于 m,过 o2 作 o2nab于 n，则 o1m o2n o1mo1 po2 no2 p o1p = o 2p o1m = o2nac = bd二. 有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法：连结过弧中点的半径连结等弧所对的弦连结等弧所对的圆心角amco2o1pdnb例：如图，已知d、e 分别为半径oa、ob的中点， c为弧 ab的中点，求证：cd = ce证明：连结oc c 为弧 ab的中点 abbc aoc = boc d、e 分别为 oa、ob的中点，且ao = boo od = oe =又 oc = oc1 1deao =bo2 2abc odc oec cd = ce三. 有直径时常作直径所对的圆周角，再利用直径所对的圆周角为直角证题.例：如图， ab为 o的直径， ac为弦， p 为 ac延长线上一点，且ac= pc,pb的延长线交 o于 d，求证： ac = dc证明：连结ad ab 为 o的直径o adp = 90 ac = pc1dboacp ac = cd =ap2例（ 2005 年自贡市）如图2， p 是 o 的弦cb 延长线上一点，点a在 o 上，且bapc 。求证： pa 是 o 的切线。证明： 作 o 的直径 ad ，连 bd ，则cd,abd90即dbad90cbad90cpabbadpab90即 apadpa 为 o 的切线。四遇到 90 度的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。o练习：如图，在rt abc中， bca= 90, 以 bc为直径的 o交 ab于 e， d为 ac中点，连结 bd交 o于 f. 求证： bccfbeef五. 有等弧时常作辅助线有以下几种：作等弧所对的弦作等弧所对的圆心角作等弧所对的圆周角练习： 1. 如图， o的直径 ab垂直于弦cd，交点为 e，f 为 dc延长线上一点，连结af交 o于 m.求证： amd = fmc(提示：连结bm)2. 如图， abc内接于 o， d、e 在 bc边上，且bd = ce， 1 = 2，求证： ab = ac（提示如图）famc12oaoe b dbdec fg1题图2题图六. 有弦中点时，常构造三角形中位线.例：已知，如图，在o中， ab cd， oe bc于 e，求证： oe = 1 ad2证明：作直径cf，连结 df、bf cf 为 o的直径 cd fda又 cd ab ab dfcdo adbfef ad = bf oe bc o 为圆心bco = fo ce = be oe = 1 bf2 oe = 1 ad2七. 圆上有四点时，常构造圆内接四边形.例：如图， abc内接于 o，直线 ad平分 fac，交 o于 e，交 bc的延长线于d，求证：ab ac = ad ae证明：连结be 1 = 3 3 = 2 2 = 1e四边形acbe为圆内接四边形 acd = e abe adco3a12fbcd aeacabad ab ac = ad ae八. 两圆相交时，常连结两圆的公共弦例：如图， o1 与 o2 相交于 a、b，过 a 的直线分别交 交 o1、 o2 于 e、f. 求证： ce df证明：连结ab四边形为圆内接四边形 abf = co1、 o2 于 c、d，过 b 的直线分别ad同理可证：abe = d abf abe = 180ocoo1o2ebf c d = 180 ce df九. 在证明直线和圆相切时，常有以下两种引辅助线方法：当已知直线经过圆上的一点，那么连结这点和圆心，得到辅助半径，再证明所作半径与这条直线垂直即可.如果不知直线与圆是否有交点时，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长度等于半径的长即可.例 1：如图， p 为 o外一点，以op为直径作圆交o于 a、b 两点，连结pa、 pb.求证： pa、 pb为 o的切线证明：连结oaapo po为直径o pao = 90 oa pa oa为 o的半径b pa为 o的切线同理： pb也为 o的切线例 2：如图，同心圆o，大圆的弦ab = cd，且 ab是小圆的切线，切点为e，求证： cd是小圆的切线证明：连结oe，过 o作 of cd于 f oe为半径， ab为小圆的切线 oeab ofcd, ab = cd of = oe cd为小圆的切线dfcoaeb练习：如图，等腰abc，以腰 ab 为直径作 o交底边 bc于 p， pe ac于 e,求证： pe是 o的切线aoebpc十. 当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理证题.o例：如图，在rt abc中， c = 90，ac = 12 ， bc = 9 ， d 是 ab 上一点，以bd为直径的 o切 ac于 e，求 ad长.解：连结 oe，则 oe acbc ac oe bc oeaobcab在 rt abc中， ab =ac 2bc21229215 oeabob15oe9ab15oe = ob =458c bd = 2 ob=45e4ad = ab db = 15 45 =15a44答： ad 的长为 15 .4dob练习：如图，o的半径 oa ob，点 p 在 ob的延长线上，连结ap交 o于 d，过 d 作 o的切线 ce交 op于 c，求证： pc = cdpcbdoea十一 遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：角、线段的等量关系；垂直关系；全等、相似三角形。十二遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；内心到三角形三条边的距离相等。在处理内心的问题时， 常需连结顶点与内心， 以便利用内切圆的圆心是三角形内角平分线交点这一性质。十三遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。十四遇到两圆外离时（解决有关两圆的外、内公切线的问题）常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线，或平移连心线。作用：利用切线的性质；利用解直角三角形的有关知识。十五遇到两圆相交时两个相交圆不离公共弦常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。作用：利用连心线的性质、解直角三角形有关知识；利用圆内接四边形的性质；利用两圆公共的圆周的性质；垂径定理。1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。例 1. 如图 1， o1 和 o2 相交于 a 、b 两点，过 a 、b 分别作直线cd 、ef，且 cd/ef ， 与两圆相交于c、d 、e、f。求证： cedf。图 1分析： ce 和 df 分别是 o1 和 o2 的两条弦，难以直接证明它们相等，但通过连结ab ，则可得圆内接四边形abec 和 abfd ，利用圆内接四边形的性质，则易证明。证明：连结ab因为dabe，cabf又dabcab180所以ef180即 ce/df又 cd/ef所以四边形cefd 为平行四边形即 ce df 2.作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的计算问题。例 2. o1 和 o2 相交于 a 、b 两点，两圆的半径分别为62 和 43 ，公共弦长为12。求o1 ao2 的度数。图 2分析：公共弦ab 可位于圆心o1、o2 同侧或异侧，要求o1 ao2 的度数，可利用角的和或差来求解。解：当 ab 位于 o1、o2 异侧时，如图2。连结 o1、 o2，交 ab 于 c，则 o1o2ab 。分别在 rtao1c 和 rtao2 c 中，利用锐角三角函数可求得o1 ac45 ，o2 ac30故o1 ao2o1 aco2 ac75当 ab 位于 o1、o2 同侧时，如图3则o1 ao2o1 aco2 ac图 315综上可知o1 ao275 或 15例 2：已知， o1 与 o2 交于 a 、b ， o1 的弦 ac 切 o2 于 a ，过 b 作直线交两圆于 d 、e。求证： dc ae。分析 : 由口诀“两个相交圆不离公共弦”, 连结 ab,可得 d=cab,由切线知 cab= e,即 d=e 即得证。练习：如图 o1 和 o2 都经过 a 、b 两点。经过点a 的直线 cd 与 o1 交于点 c，与 o 2 交于点 d；经过点b 的直线 ef 于 o1 交于点 e，与 o2 交于点 f。求证： ce df.例、如图 8，在梯形 abcd中，以两腰ad、bc分别为直径的两个圆相交于m、n两点， 过 m、n 的直线与梯形上、下底交于e、f。求证： mn ab。decomo gnafb图分析：因为 mn是公共弦，若作辅助线o1o2，必有 mno1o2 ，再由o1o2 是梯形的中位线，得o1o2/ab ，从而易证mnab。证明连结 o1o2 交 ef于 g =mn o1o2。do1=o1 a，co2=o2b = o1o2 是梯形 abcd的中位线 = o1o2 /ab=efa=ego1=rt = mnab说明，由两圆相交连心线垂直于公共弦想到作连心线。十六遇到两圆相切时两个相切圆不离公切线常常作连心线、公切线。作用：利用连心线性质；弦切角性质；切线性质等。例 3. 如图 4， o1 和 o2 外切于点p，a 是 o1 上的一点，直线ac 切 o2 于 c，交 o1于 b ，直线 ap 交 o2 于 d 。求证 pc 平分bpd 。图 4分析：要证pc 平分bpd ，即证bpcdpc而bpc 的边分布在两个圆中，难以直接证明。若过 p 作两圆的公切线pt，与 ac 交于 t易知bpctpbtpc由弦切角定理，得tpba 又dpc 是apc 的一个外角所以dpcaacp又tpcacp从而有bpcdpc即 pc 平分bpd例 3: 已知 , o1 和 o2 外切于 a, 直线 bc切 o1 于 b, 切 o 2 于 c。求证： ab ac(人教版课本p87 例 4）分析 1：口诀“两个相切圆不离公切线”,过 a 作两圆的公切线,则 1= 2, 3= 4,又1+ 2+3+ 4=180,则 2+ 3=90 即 ab ac。分析 2： 口诀“两圆三圆连心线” ，连结 o1o2、o1b、o2c,则点 a 在 o1o2 上,易知 o1b o2c,显然 1+2=90, 故 ab ac1. 相切两圆常添公切线作辅助线.例 2如图 2, 已知 o1、 o2 外切于点 p， a 是 o1 上一点，直线ac切 o2 于点 c，交o1 一点 b，直线 ap 交 o2 于点 d .(1)求证:pc 平分 bpd;(2) 将“ o1 与 o2 外切于点p”改为“ o1、 o2 内切于点p”，其它条件不变，中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论 ( 武汉市中考题）.证明 : (1) 过 p 点作两圆公切线pq qpc=pcq, qpb=a, cpd= a+qcp，b qca cpd= cpb,即 pc平分 bpdopod(2) 上述结论仍然成立.m图 2 b如图 3, 过点 p 作两圆公切线pm,则 mpb= a.podc bpc= mpc mpb= bcp a= cpa, pc平分 bpd.说明 : 作公切线的“公”字联系了小圆弦切角与大圆弦切角.2、遇到三个圆两两外切时两圆三圆连心线常常作每两个圆的连心线。作用：可利用连心线性质。a图 33. 两圆三圆时常作连心线作为辅助线例 3如图 4, 施工工地水平地面上有三根外径都是1 米的水泥管 , 两两外切堆放在一起,则最高点到地面距离是 ( 辽宁省中考题).解: 连 o1o2、o2o3、o3o1，过 o1 作 ao1 o2o3 交 o1 于 a，交 o2o3 于 b o1、 o2、 o3 是等圆 , o1o2o3 是等边三角形 .说明 : 三圆两两相切时作连心线后注意挑选直角三角形解题.a o1o2b o3图 4十七遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角” 时常常添加辅助圆。作用：以便利用圆的性质。过小圆圆心作大圆半径的垂线有关公切线问题常过小圆的圆心作大圆半径的垂线，构造直角三角形。例 5. 如图 6， o1 与 o2 外切于点o，两外公切线pcd 和 pba 切 o1 、 o2 于点 c、d、b、a ，且其夹角为60 ， ab23 ，求两圆的半径。图 6分析：如图6，连结 o1o2、 o1a 、o2b，过点 o2 作 o2 eo1 a ，构造 rto1o2 e ，下面很容易求出结果。十八相交两圆中至少有一个圆经