大一下学期解析几何考试试卷及答案(西南大学)

;.一、填空题（共7 题， 2 分/ 空，共 20 分）;.1. 四点o (0,0,0) ,a(1,0,0) ,b (0,1,1) ,c (0,0,1)组成的四面体的体积是 .2. 已知向量 a(1,1,1), b(1,2,3) , c(0,0,1) , 则(ab)c = (-2,-1,0) .3. 点(1,0,1) 到直线xy3xz的距离是 66 .0114. 点(1,0,2) 到平面 3xy2 z1的距离是 314 .275. 曲线 c:x2y2zzx10 对 xoy 坐标面的射影柱面是 xxy210 ,对 yoz 坐标面的射影柱面是 ( z1)2y2z0 , 对 xoz 坐标面的射影柱面是 zx10 .6. 曲线 c:x22 y绕 x 轴旋转后产生的曲面方程是 x44( y2z2 ) ，曲线z0c绕 y 轴旋转后产生的曲面方程是 x2z22 y .27. 椭球面 x22yz1 的体积是 .9425二、计算题（共4 题, 第 1 题 10 分, 第 2 题 15 分, 第 3 题 20 分,第 4 题 10 分,共 55 分）1. 过点 p(a, b, c) 作 3 个坐标平面的射影点 , 求过这 3 个射影点的平面方程 . 这里a, b, c 是 3 个非零实数 .解 :设点p( a, b, c) 在平面 z0 上的射影点为m 1 (a,b,0)，在平面 x0 上的射影点为 m 2 (0, a, b) ，在平面y0 上的射影点为m 3 (a,0,c) ，则m 1m 2(a,0, c) ，m1m 3(0,b, c)xaybz于是 m 1 ， m 1m 2， m 1m 3所确定的平面方程是a0c00bc即 bc( xa)ac( yb)abz0 .2. 已知 空间 两 条直 线xyl 1 :0xy0, l 2 :.z10z101(1) 证明l1 和l 2 是 异面 直 线;(2)求l1 和l 2 间的 距离 ;(3)求公 垂线 方程 .证明： (1)v11,1,0l1 的 标准 方程 是xyz1101 ， l 经 过点m 1 (0,0,1) ，方 向 向量l 2 的标准方程是xyz2110， l 2 经过点m 2 (0,0, 2) ，方 向 向量 v21,1,0 ，于是003( m 1m 2 , v1 , v2 )11060 ，所以 l1 和 l 2 是 异面 直 线 。110(2) 由于 v1v2(0,0, 2) ， v1v22l1 和l2 间 的距 离 d(m 1 m 2 , v1,v2 )63v1v22xyz1(3) 公垂 线方 程是1100002xy0， 即。xyz2xy011000023. 求曲线x22 y绕 x 轴旋转产生的曲面方面.z1解：设m 1( x1 , y1, z1 ) 是母线x22 y上任意一点 , 则过m 1 ( x1 , y1, z1 )的纬圆方程是z1x2y2z2x 2y 2z 2111xx10，（1）x 22 y又11，（ 2）z11111由（ 1）（ 2）消去x , y, z 得到 x22 y22 z220 .2224. 已知 单 叶 双曲 面 xyz1 , p( 2,0,0) 为 腰椭 圆上 的点 ,4925(1) 求经 过点 p 两 条直 母线 方程 及其 夹角 ;(2) 求这 两条 直 母 线 所在 的平 面的方 程及 平面与 腰 椭 圆 所 在 平面的 夹角 .w( xz )u (1y )解 ： (1)设 单 叶 双 曲 面 两 直 母 线 方 程 是253与xzyu()w(1)t ( xz)v(1y)253253xzyv()t(1)253把 点 p(2,0,0) 分 别代 入上 面 两 方程 组 ， 求 得 wu, tv代 入直 母线 方程 ，xz1yxz1y得 到 过 点p(2,0,0 )的 两 条 直 母 线253与253 ， 即xz1yxz1y25325315x 15x10y 10y6z3006z300 与15x 15x10y 10y6z3006z300两 直母 线的 方 向向 量可 分别 取v1(0,3,5)和 v2(0,3,5) ，设 两直 母 线的夹 角是， 则有cosv1v28 ，v1 v2178arccos.17x2yz（ 2） 两 直母 线 所 在平 面的方 程是0350 ， 即 x2035显 然平 面与腰 椭圆 所在 的平 面的 夹 角 是 0.四 、 证 明题 ( 共 2 题, 第 一题 10 分 , 第 二题 15 分 , 共 25 分 )231. 求 证 : 曲 线r (t )( 1ttt 2 ,1ttt 2 , 1ttt 2 )在 一 个 球 面 上 , 这 里 的t(,) .证 明: 设r (t)( x, y, z) ， 则有 x2y 2z2y ， 即 x2( y1 ) 2z2124tt 2t 311所以曲线r (t )( 1tt 2 , 1tt 2 , 12 ) 在 球 心 为tt(0,0)2, 半 径 为的 球2面 上。2. 证明 :(1)双 曲抛 物面 的同 族 的 所有 直母 线都 平 行于 同一 平面 :(2)双曲 抛物 面 的同 族的 两条 直母 线异 面.证 明: (1)双 曲抛 物面 的u族直 母线 中任 一条 直母 线都 平行 于 平面xy0 ,abv 族 直母 线 中任 一条 直母 线都 平行 于平 面 xy0 ,ab因 而结 论成 立 .-5分(2)不 妨 取 u 族直 母线 来证 明， 任取 u 族直 母线 中两 条直 母线l1 ：xy2u1ab 和xyl 2 ：xy2u2abxyu1 ()z abu2 ()z ab其 中 u1u2 . 由 于 的 第一 个方 程 表 示 的 平 面 平 行于 的 第一 个 方程表 示的 平面 , 即l1 和l2 在 两个 平行 平面 上, 因 而l1 和l2 不会 相 交.又 由于 直线l1 的 方向 向量 为 v111(,0)( u1 ,u1 ,1)11(,2u1 )ababba