高数公式汇总

高等数学公式(tgx)( ctgx)(secx)(cscx)( ax )sec2 xcsc2 x secx tgxcscx ctgxax ln a(arcsin x)11(arccos x)x211x2(arctgx )1(logax)1x ln a(arcctgx )1x211x2tgxdxln cosxcsecxdxln secxtgxcdx cos2 x dxsinxsec2 xdxtgxcctgxdxln sin xc2cscxdx2ctgxccscxdxdxln cscxctgxcsecx tgxdxsecxca2x21acsc x ctgxdxcscxcarctgdxx2a2 dx1 ln x 2ax1 ln axaa a xxcxa x dxaccshxdxln achxca2x2dx2aaca2x2arcsin xc achxdxdx x2shxca 2ln( xx 2a2 )22i nsinxdxnncosxdxn1i n 200nx2a 2 dxa 22a2x2 dxx 2x2x 2x2a 2ln( xx2a 2 )c2x2a 2 dxx 2a 2ax2a 2x22a 22ln xa 2carcsinxacc导数公式： 基本积分表：精品资料三角函数的有理式积分：sin x2u2 ， cos x1u 22 ，xutg，dx2du21u1u21u一些初等函数：两个重要极限：双曲正弦: shxeelimsin x1xx2exe xx0x1 x双曲余弦双曲正切: chx: thx2shxexe xchxexe xlim (1)xxe2.718281828459045.arshx archxarthxln( xln( x 1 ln 1x21）2x1)x21x三角函数公式：诱导公式：函数sincostgctg角 a- -sin cos -tg -ctg 90 -cos sinctg tg 90 +cos -sin -ctg -tg 180 -sin-cos -tg -ctg 180 +-sin -cos tgctg 270 -cos -sin ctg tg270 +-cos sin-ctg -tg 360 -sin cos -tg -ctg 360 +sincos tgctg sin( cos(tg()sin)cos)tgcos cos tgcos sinsin sinsinsinsinsin2 sin22 cos2cos2sin2ctg (1tg)ctg ctgtgctg1 ctgcos coscos cos2 cos22 sin2cos2sin2和差角公式：和差化积公式：倍角公式：sin 2 cos2ctg 22 sin2 cos2ctg 22ctgcos1112sin 2cos2sin2sin 3 cos3tg33sin 4 cos33tgtg4sin33 cos3tg 22tg21tg13tg 2半角公式：sin2tg21cos 21cos1cos21cos sinsin1coscos2ctg21cos 21cos1cos1cos sinsin1 cos正弦定理：a sin ab sin bc2 rsin c余弦定理： ca 2b22ab cos c反三角函数性质：arcsin xarccos x2arctgxarcctgx2高阶导数公式莱布尼兹（leibniz ）公式：(uv) ( n)nnc ku (nk 0k ) v(k)u ( n) vnu (n1) vn( n2!1) u( n2 )vn(n1) n k!k1) u( nk )v (k)uv (n)中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b)f ( a)f()( ba)柯西中值定理：f (b)f (a)f()f (b)f (a)f ()当f( x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds1y 2 dx, 其中ytg平均曲率：k.: 从m 点到 ms点，切线斜率的倾角变化量；s： mm弧长。m 点的曲率： klimdy.直线： k0;s0sds2 3(1y)半径为a的圆： k1 .a1定积分的近似计算：b矩形法：a bf ( x)ba ( yy nyn 1 )梯形法：af ( x)bban10( y02yn )y1yn 1 0抛物线法： f (x)ba( yyn )2( y2y4yn 2 )4( y1y3yn 1 )a3n定积分应用相关公式：功： wfs水压力： fpa引力： fk m1m2 , k为引力系数r 2函数的平均值： ybb1ba af ( x)dx均方根：1ba af 2 (t )dt空间解析几何和向量代数：空间 2点的距离： dm 1m 2( x2x ) 2( y2y ) 2(z2z ) 2111向量在轴上的投影：pr ju ababcos,是 ab与u轴的夹角。pr ju ( a1a 2 )pr j a1pr ja 2abab cosaxbxa ybyazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角：cosax bx22axaya yby 2azazbz222bxbybzcabijaxaybxbykaz , c bzab sin.例：线速度：vwr .向量的混合积： abc 代表平行六面体的体积(ab ) c。axayazbxbybzcxc yczabccos,为锐角时，平面的方程：1、点法式：a(xx0 )b( yy0 )c(zz0 )0，其中 n a, b,c,m 0 ( x0 , y0 , z0 )2、一般方程： axbyczd03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平面的距离： dax0by0cz0da 2b 2c 2xx0mt空间直线的方程：二次曲面：xx0 my y0nz 0 pt ,其中 s m, n, p; 参数方程： yzy0ntz0pt21、椭球面： xa2x2y 2z2b 2c21y 22、抛物面：2 p2qz（,p, q同号）3、双曲面：2单叶双曲面： x22yz1a22双叶双曲面： xa2b 2c2y2z2b 2c 2（1 马鞍面）全微分： dzz dxxz dy yduu dxu dyu dz z全微分的近似计算：多元复合函数的求导法z：dzxyf x (x, y)xf y ( x, y)yzf u(t), v(t )dzdtzf u( x, y), v( x, y)zuutzzxuzvuxvtzvvx当uu( x, y)，vv(x, y)时，duu dx xu dy ydvv dx xv dy y隐函数的求导公式：隐函数f ( x, y)0，dydxz xffyx ，d 2 y dxz yf2x )fx )dy隐函数f ( x, y, z)0，xfyfyfz(yfydxfx ，fzf ( x, y,u,v)隐函数方程组：g( x, y,u,v)00j(f ,g)(u, v)fu gufv gvfugufvgv多元函数微分法及应用u1(f ,g)v1( f ,g)xj( x, v)xj(u, x)u1(f ,g)v1( f ,g)yj( y, v)yj(u, y)微分法在几何上的应用：x空间曲线y z(t)(t) 在点m(t)(x0, y0, z0)处的切线方程：xx0 (t0 )y y0(t0 )z z0 (t0 )在点 m处的法平面方程：(t 0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t0 )( zz0 )0若空间曲线方程为：f ( x, y, z)g( x, y, z)0,则切向量 t0fyfzfz,gyg zgzfxfxf y,g xgxg y曲面 f ( x, y, z)0上一点m ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量：n fx ( x0 , y0 , z0 ), fy (x0 , y0 , z0 ), fz (x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )fy (x0 , y0 , z0 )( yy0 )fz (x0 , y0 , z0 )( zz0 )03、过此点的法线方程：x x0y y0z z0fx (x0 , y0 , z0 )fy ( x0 , y0 , z0 )fz( x0 , y0 , z0 )方向导数与梯度：函数zf (x, y)在一点p( x, y)沿任一方向l的方向导数为： flf cos xf sin y其中为x轴到方向 l的转角。函数zf (x, y)在一点p( x, y)的梯度： gradf ( x, y)f ifjxy它与方向导数的关系是：fl单位向量。grad f ( x, y)e，其中ecosisinj，为l方向上的f 是gradf ( x, y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：设f x ( x0 , y0 )f y ( x0 , y0 )0，令：f xx ( x0 , y0 )a,f xy ( x0 , y0 )b,f yy (x0 , y0 )cacb 2a0时，a0, (x0 , y0 )为极大值0, (x0 , y0 )为极小值则： acb 20时，无极值acb 20时,不确定重积分及其应用：f (x, y)dxdyf (r cosdd, r sin)rdrd22曲面 zf ( x, y)的面积 a1zzdxyx( x, y) ddxdyy( x, y)d平面薄片的重心：xm xmd,(x, y) ddym ydmd( x, y)d平面薄片的转动惯量：对于x轴i xy2(x, y) d,d对于 y轴i yx2( x, y)dd平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点m (0,0,a ), (a0)的引力： f fx , fy , fz ，其中：fxf( x, y) xd3 ，fyf(x, y) yd3 ，fzfa(x, y) xd3d ( x 2y 2a 2 ) 2d ( x2y 2a 2 ) 2d (x 2y 2a 2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标：yr sin, zzf ( x, y, z) dxdydzf ( r , z)rdrddz,其中：f (r , z)f (r cos, r sin, z)xr sincos球面坐标： yr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r ( , )f ( x, y, z)dxdydzf (r ,2,) rsindrdddd000f (r ,2)rsindr重心： x1 mxdv,1y y dv,mz z dv，其中 mxdv m转动惯量： i x( y2z2 )dv，i y(x 2z2 )dv，i z( x2y 2 )dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t )设f ( x, y)在l上连续，l的参数方程为：y,(t(t ),则：f ( x, y) dslf (t),(t )2 (t)2 (t )dt(x)特殊情况：yt(t)第二类曲线积分（对坐x设l的参数方程为y标的曲线积分）：(t )，则：(t )p( x, y) dxq( x, y)dy p(t ),(t )(t)q(t),(t )(t ) dtl两类曲线积分之间的关系：pdxqdy( pcosqcos)ds，其中和 分别为lll上积分起止点处切向量 的方向角。格林公式： (qdxp)dxdy ypdxlqdy格林公式： (qdxp)dxdy ypdxlqdy当py, qx，即： qxp2时，得到 d的面积： a ydxdyd1xdy 2 lydx平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、g是一个单连通区域；2、p( x, y)，q( x, y)在g内具有一阶连续偏导数 ，且q p。注意奇点，如xy(0,0)，应减去对此奇点的积分，二元函数的全微分求积注意方向相反！：在q xp时， pdx y( x, y)qdy才是二元函数u( x, y)的全微分，其中：u( x, y)p(x, y)dx( x0 , y0 )q(x, y)dy，通常设 x0y00。曲面积分：对面积的曲面积分：f (x, y, z)dsxydxyf x, y, z( x, y)1z2 ( x, y)z2 (x, y)dxdy对坐标的曲面积分：p(x, y, z)dydzq(x, y, z) dzdxr( x, y, z)dxdy，其中：r(x, y, z)dxdydxyr x, y, z(x, y)dxdy，取曲面的上侧时取正 号；p(x, y, z)dydzd yzp x( y, z),y, zdydz，取曲面的前侧时取正 号；q(x, y, z)dzdxd zxq x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右侧时取正 号。两类曲面积分之间的关系： pdydzqdzdxrdxdy( pcosqcosrcos) ds高斯公式：(pqxyr ) dv zpdydzqdzdxrdxdy( p cosq cosr cos) ds高斯公式的物理意义 通量与散度：散度：divpqrxyz,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失.通量：an dsands(p cosq cosr cos)ds，因此，高斯公式又可写成：div advands斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：(rq)dydz(p yzzr)dzdx(q xxp)dxdy ypdxqdyrdz上式左端又可写成：dydzx pdzdxy qdxdyz rcosx pcosy qcosz r空间曲线积分与路径无关的条件： ryq，pzzr，qpxxyijk旋度： rotaxyzpqr向量场a沿有向闭曲线的环流量： pdxqdyrdza t ds常数项级数：等比数列：1qq2qn 11qn等差数列：123n(n1q1)n 2调和级数：111231 是发散的n级数审敛法：1、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判1时，级数收敛别法）：设：lim n nun，则1时，级数发散1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛设：limnu n 1 ，则u n1时，级数发散1时，不确定3、定义法：snu1u2un ; limnsn存在，则收敛；否则发 散。交错级数 u1u2u3u4un(或un 1u1u2u3,un0)的审敛法 莱布尼兹定理：如果交错级数满足lim un n，那么级数收敛且其和 s 0u1 ,其余项rn的绝对值 rnun 1 。绝对收敛与条件收敛：(1)u1u 2un (2) u1u2u3，其中unun为任意实数；如果 (2 )收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果 (2 )发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。调和级数：1 发散，而n(1) nn收敛；级数：1 收敛；n 2p级数：1 n p 时发散p1时收敛幂级数：1xx2x3x nx1时，收敛于11xx对于级数 (3)a21时，发散n0a x1a x2a xn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在r，使x xxr时收敛r时发散 ，其中 r称为收敛半径。r时不定0时， r1求收敛半径的方法：设an 1limnan，其中 a ， ann 1是(3)的系数，则0时， r时， r0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x)f (x )( xf(x )(n )02f( x )0n0x )02!( xx )0n!( xx )0余项： rnf (n 1) ()n 1(n1)!(xx0 ), f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： lim rnn0x00时即为麦克劳林公式：f ( x)f (0)f ( 0) xf(0) x22!f(0) xnn!(n)一些函数展开成幂级数：(1x) m1mxm( m2!1) x 2m(m1)( mn!n1) xn(1x1)3sin xxx 3!x55!(1) n 1x2n 1( 2n1)!(x)欧拉公式：ixcosxeeixcosxi sin x或ixsin xee ix2e ix2三角级数：f (t)a0an sin( ntn 1a0n )2n 1(ancos nxbn sin nx)其中， a0aa0， anan sinn， bnan cosn，tx。正交性：1, sin x,cos x,sin 2 x, cos 2 xsin nx, cos nx任意两个不同项的乘积在,上的积分 0。傅立叶级数：f ( x)a0 2( ann 1cos nxbn sin nx)，周期2an1f ( x) cos nxdx其中(n0,1,2)bfn1( x)sinnxdx( n1,2,3)1113252111222218122211211324211222（相加）62（相减）2462423412正弦级数： an0， bn2 f ( x) sin nxdx0n1,2,3f (x)bn sin nx是奇函数余弦级数： bn0， an2f (x) cos nxdx0n0,1,2a 0f ( x)2an cos nx是偶函数周期为2l 的周期函数的傅立叶级数：f ( x)a02n 1 l1( ancos nxlnxnbn sinlx )，周期2lanfll其中1 lbnfll( x) cosdx ln x(x)sindx l(n0,1,2)( n1,2,3)微分方程的相关概念：一阶微分方程： yf (x, y)或p( x, y)dxq(x, y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g( y)dyf (x)dx的形式，解法：g( y) dyf ( x)dx得： g( y)f (x)c称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方程可以写成 dydxf ( x, y)(x,