直线与平面的平行垂直判定经典例题

一、教学目标1. 巩固直线与平面的平行、垂直判定二、上课内容1、回顾上节课内容2、直线与平面的平行、垂直判定知识点回顾3、经典例题讲解4、课堂练习三、课后作业见课后练习一、上节课知识点回顾1. 平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内精品资料2. 直线与直线的位置关系(1) 位置关系的分类平行共面直线相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形aa? ， b? ，a， a? ，条件a ?ab b结论aba ?ab面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形34.条 ?件a? ， b? ， abp， a， b， a，b， a? 结 aba论二、直线与平面平行、垂直的判定知识点回顾1. 直线与平面垂直(1) 判定直线和平面垂直的方法定义法 利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直 推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直这个平面(2) 直线和平面垂直的性质直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一条直线的两平面平行2. 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角3. 平面与平面垂直(1) 平面与平面垂直的判定方法定义法利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直(2) 平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面4. 二面角的有关概念(1) 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(2) 二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角难点正本疑点清源 1. 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理，即如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面是作点到平面距离的依据，要过平面外一点p 作平面的垂线，通常是先作(找)一个过点 p 并且和 垂直的平面 ，设 l，在 内作直线 a l，则 a.2. 两平面垂直的判定(1) 两个平面所成的二面角是直角；(2)一个平面经过另一平面的垂线 方法与技巧1. 证明线面垂直的方法(1) 线面垂直的定义： a 与 内任何直线都垂直? a ；(2) 判定定理 1：m、n? ，m na lm， ln? l；(3) 判定定理 2： a b，a ? b ；(4) 面面平行的性质： ， a ? a；(5) 面面垂直的性质： ， l， a? ，a l? a.2. 证明线线垂直的方法(1) 定义：两条直线所成的角为90；(2) 平面几何中证明线线垂直的方法；(3) 线面垂直的性质： a， b? ? ab；(4) 线面垂直的性质： a， b ? ab.3. 证明面面垂直的方法(1) 利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2) 判定定理： a? ， a ? .4. 转化思想：垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决失误与防范1. 在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化2. 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可三、经典例题讲解（一）直线与平面垂直的判定与性质例 1：如图所示，在四棱锥p abcd 中， pa底面 abcd，abad， accd， abc60，pa abbc，e 是 pc 的中点证明： (1) cd ae；(2) pd平面 abe.（二）平面与平面垂直的判定与性质例 2：如图，在直三棱柱abca1 b1c 1 中， a1b1 a1c1， d，e 分别是棱 bc，cc1 上的点(点 d 不同于点 c)，且 ad de， f 为b1c1 的中点求证： (1) 平面 ade平面 bcc1b1；(2) 直线 a1 f平面 ade.（三）线面、面面垂直的综合应用例 3：如图所示，在四棱锥p abcd 中 ， 平 面 pad 平 面 abcd， abdc， pad 是等边三角形，已知bd 2ad8， ab2dc 45.(1) 设 m 是 pc 上的一点，求证：平面mbd平面 pad；(2) 求四棱锥 p abcd 的体积（四）线面角、二面角的求法例 4：如图，在四棱锥p abcd 中， pa底面 abcd， abad，ac cd，abc 60 ， paabbc， e 是 pc 的中点(1) 求 pb 和平面 pad 所成的角的大小；(2) 证明 ae平面 pcd；(3) 求二面角 a pdc 的正弦值四、课堂练习选择题：1、如图，四棱锥sabcd 的底面为正方形， sd底面 abcd，则下列结论中不正确的是() aacsbbab平面 scdcsa 与平面 sbd 所成的角等于 sc 与平面 sbd 所成的角dab 与 sc 所成的角等于 dc 与 sa 所成的角2、正方体 abcd a1b1c1d1 中， bb1 与平面 acd 1 所成角的余弦值为()23a.b.3326c.d.333、 已知 l，m 是不同的两条直线， ， 是不重合的两个平面，则下列命题中为真命题的是 ()a. 若 l， ，则 lb. 若 l， ，则 lc. 若 lm， ， m? ，则 ld. 若 l， ，m? ，则 lm4、已知矩形 abcd， ab1，bc2，将abd 沿矩形的对角线bd 所在的直线进行翻折，在翻折过程中()a. 存在某个位置，使得直线ac 与直线 bd 垂直b. 存在某个位置，使得直线ab 与直线 cd 垂直c. 存在某个位置，使得直线ad 与直线 bc 垂直d. 对任意位置，三对直线“ac 与 bd”，“ ab 与 cd” ，“ ad 与 bc”均不垂直填空题：1. 在正四棱锥 p abcd 中， pa3ab， m 是 bc 的中点， g 是pad 的重2心，则在平面 pad 中经过 g 点且与直线 pm 垂直的直线有 条2. 已知 a、b、l 表示三条不同的直线， 、表示三个不同的平面，有下列四个命题：若 a， b，且 ab，则 ；若 a、b 相交，且都在 、外， a， a ，b ，b，则 ；若 ， a， b? ， ab，则 b ；若 a? ，b? ， l a， lb，l? ，则 l .其中正确命题的序号是 解答题：1、(1) 如图所示， 证明命题 “a 是平面 内的一条直线， b 是外的一条直线 (b 不垂直于 )， c 是直线 b 在 上的投影，若 ab，则 ac”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明 )2、如图所示，已知长方体abcd a1 b1c1 d1 的底面 abcd 为正方形， e 为线段 ad1 的中点， f 为线段 bd1 的中点，(1) 求证： ef平面 abcd；ad 的比值为多少时， df(2) 设 m 为线段 c 1c 的中点，当d1d平面 d1mb？并说明理由3、如图，在三棱柱abc a1b1c1 中， aa1 bc， a1 ac 60，a1a acbc1， a1b2.(1) 求证：平面 a1bc平面 acc1a1；(2) 如果 d 为 ab 中点，求证： bc1 平面 a1cd .五、课后练习1、已知三棱锥 s abc 中，底面 abc 为边长等于 2 的等边三角形， sa 垂直于底面 abc，sa 3，那么直线 ab 与平面 sbc 所成角的正弦值为()35a.b.4473c.d.442、已知 p 为abc 所在平面外一点，且pa、pb、pc 两两垂直，则下