数值分析讲稿4

第三章函数逼近与计算 1引言与预备知识 1 问题的提出用插值的方法对函数进行近似 要求所得到的插值多项式经过已知的n 1个插值节点 然而 n比较大时 插值多项式往往是高次的 容易出现振荡现象 龙格现象 虽然在插值节点上没有误差 但在插值节点之外插值误差变得很大 从 整体 上看 插值逼近效果将变得 很差 于是 我们采用函数逼近的方法 函数逼近 求一个简单的函数 比如 低次多项式 不要求通过已知的这n 1个点 而是要求在整体上 尽量好 地逼近原函数 此时 在每个已知点上就会有误差 函数逼近就是从整体上使这些误差尽量的小一些 2 数学描述 对函数类A中给定的函数 要求在另一类较简单的便于计算的函数类B中 求函数使与之差在某种度量意义下最小 函数类A通常是区间上的连续函数 函数类B通常是代数多项式 分式有理函数或三角多项式 区间上的所有实连续函数构成的空间 的 范数定义为 它满足范数的三个性质 1 当且仅当 2 对任意及任意成立 3 对任意成立 一致逼近 均匀逼近 在度量下的函数逼近 平方逼近 均方逼近 在度量下的函数逼近 本章主要研究在这两种度量标准下用代数多项式逼近 3 维尔斯特拉斯定理用一致逼近 首先要解决存在性问题 维尔斯特拉斯 Weierstrass 给出了下面定理 定理1设 则对任何 总存在一个代数多项式 使得在上一致成立 证明 略 伯恩斯坦构造性证明 假定函数的定义区间是 0 1 可通过线性代换 把映射到 伯恩斯坦多项式 给定其中 且 并证明了 这不但证明了定理1 而且给出了的一个逼近多项式 多项式有良好的逼近性质 但它收敛太慢 比三次样条逼近效果差得多 实际中很少被使用 2最佳一致逼近多项式2 1最佳一致逼近多项式的存在性 切比雪夫 Chebyshev 固定n 考虑 即所有次数不超过n的多项式的集合 显然 同时 是上一组线性无关的函数组 是中的一组基 于是 中的元素可表示为其中为任意实数 要在中求逼近 使其误差 称之为最佳一致逼近或切比雪夫逼近问题 为了说明这一概念 先给出以下定义 定义1 称为与在上的偏差 显然的全体组成一个集合 记为 它有下界0 若记集合的下确界为则称之为在上的最小偏差 定义2 假定 若存在则称是在上的最佳一致逼近多项式或最小偏差逼近多项式 简称最佳逼近多项式 注意 定义并未说明最佳逼近多项式是否存但是可以证得下面的存在性定理 定理2 若 则总存在 使证明略 2 2切比雪夫定理 偏差定义3 设 若在上有则称是的偏差点 若 称为 正 偏差点 若 称为 负 偏差点 由于函数在上连续 故 至少存在一个点 使 也就是 说的偏差点总是存在的 下面讨论最佳逼近多项式的偏差点性质 定理3 若是的最佳逼近多项式 则同时存在正负偏差点 证明 因是的最佳逼近多项式 故由于在上总有偏差点存在 用反证法 无妨假定只有正偏差点 没有负偏差点 于是对一切都有因在上连续 故有最小值大于用表示 其中 于是对一切都有 故 即它表示多项式与的偏差小于与是最小偏差的定义矛盾 同样可证明只有负偏差点没有正偏差点也是不成立的 定理得证 下面给出反映最佳逼近多项式特征的切比雪夫定理 定理4 是的最佳逼近多项式当且仅当在上至少有n 2个轮流为 正 负 的偏差点 即有n 2个点 使称这样的点组为切比雪夫交错点组 证明 只证充分性 假定有n 2个点使上式成立 要证明是在上的最佳逼近多项式 用反证法 若存在 在点上的符号与一致 故也在n 2个点上轮流取 号 由连续函数性质 它在内有n 1个零点 但因是不超过n次的多项式 它的零点不超过n 产生矛盾 说明假设不对 故就是所求最佳逼近多项式 充分性得证 必要性证明较繁 思想类似定理3 此处略 定理4说明用逼近的误差曲线是均匀分布的 可得以下推论 推论1 若 则在中存在唯一的最佳逼近多项式 推论2 若 则其最佳逼近多项式就是的一个拉格朗日插值多项式 证明 由定理4可知 在上要么恒为0 要么有n 2个轮流取 正 负 的偏差点 于是存在n 1个点 使 即 从而 以为插值节点的拉格朗日插值多项式就是 2 3最佳一次逼近多项式 定理4给出了最佳逼近多项式的特性 但要求出却相当困难 下面先讨论n 1的情形 假定 且在内不变号 求最佳一次逼近多项式 根据定理4可知至少有3个点 使 得这就得到最佳一次逼近多项式 最佳一致逼近多项式定理4 充分必要条件是至少有n 2个轮流为 正 负 的偏差点 3最佳平方逼近 用均方误差最小作为度量标准 研究函数的逼近多项式 就是最佳平方逼近问题 若存在 使就是在上的最佳平方逼近多项式 由于是关于的二次函数 利用多元函数求极值的必要条件及知 于是有 定义内积 这是关于的线性方程组 称为法方程 由于线性无关 故系数行列式 于是此方程组有唯一解 从而得到 定理5 在上线性无关当且仅当它的克来姆 Gramer 行列式 其中证 在上线性无关 则由方程知 将此方程两边分别乘以之后再积分 便得到下列方程组 即此齐次方程组只有零解 故其系数行列式的值一定不为0 即 反之 若 同样对可经过适当变换得到在上线性无关 证毕 下面证明为最佳平方逼近函数 即对任何 有为此只考虑 由于的系数是方程的解 故从而上式第二个积分为0 于是从而 是在中的最佳平方逼近函数 若令 则平方误差为由于所以 若取 则要在中求n次最佳平方逼近多项式若用H表示对应的矩阵 从而 此为希尔伯特 Hilbert 矩阵 记则的解即为所求 例 设 求 0 1 上的一次最佳平方逼近多项式 解 利用公式得方程组为解出 平方误差最大误差用做基 求最佳平方逼近多项式 当n较大时 系数矩阵是高度病态的 求法方程的解 舍入误差很大 这时要用正交多项式做基 才能求得最小平方逼近多项式 4正交多项式 若首项系数的n次多项式 满足就称多项式序列在 a b 上带权正交 并称是 a b 上带权的n次正交多项式 构造正交多项式的格拉姆 施密特 Gram Schmidt 方法 定理 按以下方式定义的多项式集合是区间 a b 上关于权函数的正交函数族 例 求在上的二次最佳平方逼近多项式 解 构造正交多项式 最佳一致逼近 最佳平方逼近 4 1勒让德多项式 当区间为权函数时 由正交化得到的多项式称为勒让德 Legendre 多项式并用表示 是n次多项式 对求n次导后得 首项的系数为显然最高项系数为1的勒让德多项式为 勒让德 Legendre 多项式具体表达式为 性质1 正交性 证明 反复用分部积分公式 略 性质2 奇偶性 n为偶数时为偶函数 n为奇数时为奇函数 性质3 递推关系 证明略 性质4 在所有最高项系数为1的n次多项式中 勒让德多项式在上与零的平方误差最小 证 设是任意一个最高项系数为1的多项式 可表示为于是证毕 性质5 在区间内有n个不同的实零点 4 2第一类切比雪夫 Chebyshev 多项式 当区间为 1 1 权函数时 由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫 Chebyshev 多项式 它可表示为若令当在 1 1 上变化时 对应的在上变化 其可改写成 具体表达式为是首项系数为的n次多项式 性质1 递推关系这只要由三角恒等式性质2 在区间 1 1 上所有最高项系数为1的一切n次多项式中 与零的偏差最小 偏差为 例 求在 1 1 上的最佳2次逼近多项式 解 最佳逼近多项式应满足由性质2知 当 即时 与零偏差最小 故就是在 1 1 上的最佳2次逼近多项式 性质3 切比雪夫多项式在区间 1 1 上带权正交 且证明 令则有于是 性质4 只含的偶次幂 只含的奇次幂 性质5 在区间 1 1 上有个n零点 可用的线性组合表示 其公式为具体表达式为 4 3其他常用的正交多项式 一般说 如果区间 1 1 及权函数不同 则得到的正交多项式也不同 除上述两种最重要的正交多项式外 下面再给出三种较常用的正交多项式 1 第二类切比雪夫多项式在区间 1 1 上带权的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式 其表达式为 令 可得即是 1 1 上带权的正交多项式族 还可得到递推关系式 2 拉盖尔多项式在区间上带权的正交多项式称为拉盖尔 Laguerre 多项式 其表达式为它也具有正交性质和递推关系 3 埃尔米特多项式在区间上带权的正交多项式称为埃尔米特 Hermite 多项式 其表达式为它满足正交关系并有递推关系 4 4函数按正交多项式展开 设 用正交多项式作基 求最佳平方逼近多项式由的正交性及方程组求解 可求得系数于是 的最佳平方逼近多项式为 均方误差为下面考虑函数 按勒让德多项式展开 求最佳平方逼近多项式 根据上面公式有其中平方误差为 例 求在 1 1 上的三次最佳平方逼近多项式 用勒让德多项式 故三次最佳平方逼近多项式均方误差最大误差 如果 求上的最佳平方逼近多项式 做变换于是在 1 1 上可用勒让德多项式做最佳平方逼近多项式 从而得到区间上的最佳平方逼近多项式 例 用勒让德正交多项式做基函数 求在区间 0 1 上的一次最佳平方逼近多项式 解 在区间 1 1 上的一次最佳平方逼近多项式 由 可知 由于勒让德多项式是在区间 1 1 上由正交化得到的 因此利用函数的勒让德展开部分和得到最佳平方逼近多项式与由直接通过解法方程得到中的最佳平方逼近多项式是一致的 只是当n较大时求法方程出现病