鸡兔同笼-教师版

鸡兔同笼第一部分：知识介绍鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在1500 年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“ 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数， 有 35 个头； 从下面数， 有 94 只脚求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 解鸡兔同笼的基本步骤1. 砍足法（金鸡独立）：解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、 每只兔一半的脚， 则每只鸡就变成了“ 独脚鸡 ” ， 每只兔就变成了“ 双脚兔 ” 。这样，鸡和兔的脚的总数就由94 只变成了 47 只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1 。因此，脚的总只数47 与总头数 35 的差，就是兔子的只数，即473512 （只）显然，鸡的只数就是351223 （只）了。这一思路新颖而奇特， 其“ 砍足法 ” 也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“ 鸡兔同笼 ” 问题的经典思路“ 假设法 ” 。2. 假设法：假设法顺口溜： 鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到， 假设里面全是鸡，算出共有几只脚， 和脚总数做比较，做差除二兔找到。解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有：鸡数 =（每只兔子脚数鸡兔总数 -实际脚数） （每只兔子脚数-每只鸡的脚数）精品资料兔数 =鸡兔总数 -鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数 -每只鸡脚数 鸡兔总数） （每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数 -兔数3. 鸡兔关系：当头数一样时，脚的关系：兔是鸡的2 倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的2 倍。在学习的过程中， 注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。第二部分：例题精讲【例1 】鸡兔同笼，头共46 ，足共 128 ，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设46 只都是兔，一共应有446184 （只）脚，这和已知的128 只脚相比多了18412856 （只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成 1 只兔，就要比实际多 422 （只）脚，那么56 只脚是我们把56228 （只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是 28 ，兔的只数是462818 （只）。【答案】鸡28 只，兔 18 只【例2 】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有 36 只眼睛和 52 只脚，问：鸵鸟和大象各有多少？【考点】鸡兔同笼【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知： 动物园里鸵鸟和大象总数为：36218（只），假设鸵鸟和大象一样也有4 只脚，则应该有 41872（只）脚，多了725220（只）脚，由假设引起的差值：422 （只），则鸵鸟数为20210 （只），大象数为18108 （头）。【答案】鸵鸟10 只，大象8 头【例3 】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208 只，鸵鸟比梅花鹿多20 只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的20 只的脚数得：208202168(只)。这 168 只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花 鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和， 一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：246 (只)， 所以梅花鹿的只数是：168628 (只)，从而鸵鸟的只数是：282048 (只) 【答案】鸵鸟48 只，梅花鹿28 只【例4 】一个养殖园内，鸡比兔多36 只，共有脚792 只，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】已知鸡比兔多36 只，如果把多的36 只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的 36 只鸡有 23672 （只）脚，可知现在剩下79272720 （只）脚，一只鸡与一只兔有6 只脚，那么兔有7206120 （只），鸡有 12036156 （只）【答案】兔120 只，鸡 156 只【例5 】鸡兔同笼，鸡、兔共有107 只，兔的脚数比鸡的脚数多56 只，问鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】不妨假设107 只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：1074428 （只），而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多428 只，而实际上只多56 只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：42856372 （只）。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少4 只，鸡脚增加 2 只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少426 （只）。鸡的只数：372662 （只），兔的只数：1076245 （只）。【答案】兔45 只，鸡 62 只【例6 】每只完整的螃蟹有2 只鳌、 8 只脚。现有一批螃蟹，共有25 只鳌， 120 只脚。其中可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留1 只鳌、 4 只脚。这批螃蟹最多有只，至少有只。【考点】鸡兔同笼【解析】若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1，螃蟹最多为 25 只，只看脚的话，脚最少为4，螃蟹最多为120430 （只），所以螃蟹最多为 25 只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，光看鳌的话，鳌最多为2，螃蟹最少为12113（只），只看脚的话，脚最多为8，螃蟹最少为120815（只），所以螃蟹最少为13 只。【答案】螃蟹最多有25 只，至少有13 只【例7 】在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4 个轮子，摩托车有3 个轮子，这些车共有 127 个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？【考点】鸡兔同笼【解析】假设都是三轮摩托车，应有341123 (个)轮子，少了 1271234 (个)轮子。每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少431 (个)轮子汽车有414 (辆)；从而求出三轮摩托车有41437 (辆)，或者假设都是汽车，应有441164 (个)轮子，多了 16412737 (个) 轮子；所以摩托车有37(43)37 (辆) 【答案】摩托车有37 辆。【例8 】（10 年上外口试题）一张数学试卷，只有25 道选择题做对一题得4 分，做错一题倒扣 1分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了78 分，那么他做对题，做错题，没做题。【考点】鸡兔同笼【解析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索。小明得了 78 分， 而且只有做对了题目才能得分。78419 ，所以可以知道小明至少做对 20 道题目，否则一定低于41976 (分) ；再假设他做对21 题，发现即使另外四题都错，小明仍然有4211480 (分) ，超过了 78 分，所以小明至多做对 20 道题目；综上，可以断定小明做对了20 道题。至此本题转化为简单鸡兔同笼问题。假设剩下5 题全部没做，那么小明应得42080 (分)。但是只得了78 分， 说明又倒扣了2 分，说明错了2 道题， 3 道题没做。所以小明做对了20 道题，做错了 2 道题，没做3 道题。【答案】小明做对了20 道题，做错了2 道题，没做3 道题。【例9 】大、小猴共35 只，它们一起去采摘水蜜桃。猴王不在时，一只大猴一个小时可采摘 15 千克，一只小猴子一小时可摘11 千克；猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都可以多采摘12千克。 一天， 采摘了 8 小时， 其中第一小时和最后一小时猴王在监督，结果共采摘了4400 千克水蜜桃。在猴群中，共有小猴子多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】 其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔。但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失。一天中，猴王监视了2 小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采12 千克，那样猴群只能采摘4400352123560 (千克 )；这是一天也就是8 小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采35608445 (千克 )；假设都是大猴子，应该每小时采摘1535525 (千克) ，比实际多采了52544580 (千克)。而每只小猴子被假设成大猴子，会多采15114 (千克 )。因此可以求出小猴子有：80420 (只)。【答案】小猴子有20 只【例10 】箱子里红、 白两种玻璃球， 红球数是白球数的3 倍多 2 只， 每次从箱子里取出7 只白球、 15 只红球如果经过若干次以后，箱子里剩下3 只白球、 53 只红球那么箱子里原有红球多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】 假设每次一起取7 只白球和 21只红球， 由于每次拿得红球都是白球的3 倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的3 倍多 2 。由于每次取的白球和原定的一样多， 所以最后剩下的白球应该不变，仍然是3 个。按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的 3 倍多 2 ，即 3 3 2 1(只)。但是实际上最后剩了53 只红球，比假设多剩42只，因为每一次实际取得与假设相比少6 只，所以可以知道一共取了4267 ( 次)。所以可以知道原来有红球71553158 (只)。【答案】红球有158 只【例11 】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18 只，共有腿118 条，翅膀 20 对(蜘蛛 8 条腿； 蜻蜓 6 条腿，两对翅膀；蝉6 条腿，一对翅膀) ，求蜻蜓有多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6 条腿，只有蜘蛛 8 条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。我们假设三种动物都是 6 条腿，则总腿数为618108 (条)，所差 11810810 ( 条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有(118108)(86)5 ( 只)蜘蛛。这样剩下的18513 (只)便是蜻蜓和蝉的只数。再从翅膀数入手，假设13 只都是蝉，则总翅膀数 11313 ( 对)，比实际数少20137 (对) ，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7(21)7 (只) 。【答案】蜻蜓有7 只【例12 】从甲地至乙地全长45 千米 ,有上坡路、平路、下坡路。李强上坡速度是每小时 3 千米 ,平路上速度是每小时5 千米 ,下坡速度是每小时6 千米 .从甲地到乙地 ,李强行走了10 小时 ;从乙地到甲地,李强行走了11 小时 .问从甲地到乙地 ,各种路段分别是多少千米？【考点】鸡兔同笼【解析】把来回路程45 2=90( 千米 )算作全程。去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来 时上坡。把上坡和下坡合并成一种 路程 ,平均速度是每小时4 千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼 问题。因此平路所用时间是(90-4 21) (5-4)=6(小时 )。单程平路行走时间是6 2=3( 小时 ) 。从甲地至乙地, 上坡和下坡用了10-3=7(小时 )行走路程是45-5 3=30( 千米 ) 。又是一个鸡兔同笼 问题。从甲地至乙地,上坡行走的时间是(6 7-30) (6-3)=4(小时 ) 。行走路程是3 4=12( 千米 )。下坡行走的时间是7-4=3(小时 ) 。行走路程是6 3=18( 千米 )。【答案】上坡12 千米，平路15 千米，下坡18 千米第三部分：课堂检测【检测1】体育老师买了运动服上衣和裤子共21 件，共用了439 元，其中上衣每件24元、裤子每件 19 元，问老师买上衣和裤子各多少件？【考点】鸡兔同笼【解析】假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：(2421439)(2419)13 （件），上衣： 21138 （件）。【答案】上衣8 件，裤子13 件【检测2】某学校有30 间宿舍，大宿舍每间住6 人，小宿舍每间住4 人已知这些宿舍中共住了 168 人，那么其中有多少间大宿舍？【考点】鸡兔同笼【解析】如果30 间都是小宿舍，那么只能住430120 （人），而实际上住了168 人。大宿舍比小宿舍每间多住642 （人），所以大宿舍有（168120）224 （间）。【答案】大宿舍有24 间【检测3】春风小学3 名同学参加数学竞赛，共10 道题，答对一道题得10 分，答错一道题扣 3 分，这 3 名同学都回答了所有的题，小明得了87 分，小红得了74 分，小华得了 9 分，他们三人一共答对了 道题。【考点】鸡兔同笼【解析】三人共得87749170 (分)，比满分 10103300 (分)少 300170130 (分)因此三个人共做错：130(103)10 (道)题，一共答对了301020 (道) 题。【答案】一共答对了20 道题。【检测4】某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共400 张，甲类票50 元张，乙类票40 元/张，丙类票30 元/张，共收入15500元，其中乙类、丙类门票张数相同 则甲类、乙类、丙类门票分别售出多少张?【考点】鸡兔同笼【解析】乙类、丙类门票张数相同，则可以看成价格为35 元张的同一类门票。容易得到甲类门票售出40050400155005035100 （张），乙类、丙类各售出(400 -100) 2=150 （张）。【答案】甲类售出100 张，乙类售出150 张，丙类售出150 张第四部分：家庭作业【作业1】鸡兔共有45 只，关在同一个笼子中，笼中共有100 条腿。试计算，笼中有鸡多少只？兔子多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】若假设所有的45 只动物都是兔子，那么一共应该有445180 (条)腿，比实际多算 18010080 (条)腿。而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条腿，所以有 80240 (只)鸡被当作了兔子，所以共有40 只鸡，有 45405 (只)兔子。【答案】鸡40 只，兔子18 只【作业2】100 名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41组。问：高、低年级学生各多少人?【考点】鸡兔同笼【解析】如全为高年级学生，则只需412 82（人），实际 100 人， 100 82 18 （人）， 所以有 18 组低年级学生，41 18 23 （组）高年级学生，高年级学生为23 2 46 （人），低年级学生为18 3 54（人）。【答案】高年级46 人，低年级54 人【作业3】某次数学竞赛，共有20 道题，每道题做对得5 分，没做或做错都要扣2 分，小聪得了 79 分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼【解析】做错(52079 )(52)3(道)，因此，做对的20317(道)【答案】做对了17 道【作业4】 100 个和尚 160个馍，大和尚1人分 3 个馍，小和尚1人分 1 个馍问：大、小和尚各有多少人？【考点】鸡兔同笼【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100 人全是大和尚，那么共需馍300 个，比实际多300160140 (个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少 312 (个)，因为 140270 ，故小和尚70 人，大和尚 1007030(人)。【答案】大和尚30 人，小和尚70 人【作业5】现有大小油桶50 个，每个大桶可装油4 千克，每个小桶可装油2 千克，大桶比小桶共多装油20 千克，问大小桶各多少个?【考点】鸡兔同笼【解析】假设50 个油桶都是大桶，则共装油(450)200 千克，而这小桶所装油则为0。这样大桶比小桶多装200 千克，比条件所给的差数多了(20020)180 （千克），若在 50 个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少 4 千克，而小桶共装的油就增加2 千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少 (42)6 （千克），所以小桶有：180630 (个)，大桶有： 503020 (个)。【答案】大桶有20 个，小桶有30 个【作业6 】一份稿件 ,甲单独打字需6 小时完成 .乙单独打字需10 小时完成 ,现在甲单独打若干小时后 ,因有事由乙接着打完,共用了 7 小时 .甲打字用了多少小时？【考点】鸡兔同笼【解析】我们把这份稿件平均分成30 份(30 是 6 和 10 的最小公倍数),甲每小时打30 6=5( 份),乙每小时打30 10=3( 份) 。现在把甲打字的时间看成兔 头数,乙打字的时间看成鸡 头数,总头数是7 。兔 的脚数是5, 鸡 的脚数是3, 总脚数是30, 就把问题转化成 鸡兔同笼 问题了。根据前面的公式兔 数=(30-3 7) (5-3) =4.5, 鸡数=7-4.5 =2.5,也就是甲打字用了4.5 小时 ,乙打字用了2.5 小时 .【答案】甲打字用了4.5 小时【作业7 】