函数恒成立问题(端点效应)

函数恒成立专题 01：可求最值型精品资料基础知识：（ 1）不等式f ( x)0 在定义域内恒成立，等价于fx min0 ；（2）不等式f ( x)0 在定义域内恒成立，等价于fx max0 。【例 1】【重庆文】若对任意的x0 ， f( x)12x4 ln x3 x4c2c2 恒成立，求 c 的取值范围。【例 2】函数f ( x)( x1) ln( x1)kx1 在区间 (1,) 上恒有f ( x)0 ，求 k 可以取到的最大整数。【变式 1】函数f ( x)2 x24 x, g(x)a ln x( a0) ，若f ( x)4 xg( x)恒成立，求 a 的取值范围。【变式 2】【2012 新课标文】设函数fxexax2求 f( x)的单调区间；若a1， k 为整数，且当 x0时， ( xk) f( x)x10 ，求 k 的最大值。【变式 3】【2012 新课标理】已知函数f ( x) 满足f ( x)f (1)ex 1f (0) x1 x22求 f( x)的解析式及单调区间；若 f ( x)1 x22axb ，求 (a1)b 的值。专题 02：分离变量型基础知识：分离变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学通过以下例子有所感悟【例 1】【2010 天津】函数f ( x)x21 ，对任意 x3 ,2, f ( x )m4 m2f ( x)f ( x1)4 f ( m)恒成立，求实数 m 的取值范围。【变式 1】【2010 安徽】若不等式 (aa 2 )( x21)x0 对一切 x0,2恒成立，求 a 的取值范围。【例 2】若函数f ( x)x2ax1 在1 ,x2上单调递增，求 a 的取值范围。【变式 2】【2012 湖北】若f (x)1 x22b ln( x2) 在(1,) 上是减函数， 求b的取值范围。【变式 3】【2014 江西】已知函数f (x)( x2bxb)12 x (br) ，若f (x) 在区间(0, 1 ) 上3单调递增，求 b 的取值范围。专题 03：端点与一次函数、二次函数基础知识：（ 1）研究发现， 恒成立与区间的端点有很深的渊源。首先来看一些恒成立的问题， 通过这些常见的例子，我们要把函数恒成立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。（2） 一次函数的恒成立很简单，如果一个问题能转化成一次函数恒成立问题，那就要尽量转化。【例 1】【2009 北京】若f ( x)xex (k0) 在(1,1) 上单调递增，求 k 的取值范围。引申：我们的习惯思维都是默认字母x 为函数的自变量， 而像 a, m,t 这样的字母代表参数，但其实 x, a, m, t 这样的字母只是一个代号而已，是人为赋予了其身份，这意味着自变量和参数的身份并非绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要牢记一点：将待求的变量视为参数， 不要受惯性思维的限制而非要将x 视为函数的自变量， 这个方法称为“变换主元法”。【例 2】【2009 福建】已知函数f ( x)x33ax1 的导函数为f ( x), g( x)f ( x)ax3. 若对满足1a1 的一切 a 的值，都有g( x)0 ，求实数 x 的取值范围。【例 3】【2008 天津】已知函数f ( x)axb(xx0), a, br，若对于任意的 a1,2，不2等式 f(x)10 在1 ，44上恒成立，求 b 的取值范围。【变式】【 2008 安徽】设函数f ( x)a x333 x22(a1)x1 ，其中 a 为实数。已知函数f ( x) 在x1 处取得极值，求 a 的值；已知f ( x)x2xa1 对任意 a0,恒成立，求实数 x 的取值范围。（3） 对于一次函数或任何单调函数而言，最值必在端点处取得。若函数不单调，那情形又如何呢？设f (x)ax2bxc(a0) 在，上不单调且恒大于零，那么f ( x) 在，b上递减，在2ab,上递增，故2af ( x) 的最大值也必然在端点处取得。所以对于任何一个函数f ( x)而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处取得，同理，若函数在区间上先增后减，其最小值必在区间端点处取得，具体表达如下：f (x)ax2bxc(a0) 在x1, x2上非正，等价于fx10,fx20;f (x)ax2bxc(a0) 在x1, x2上非负，等价于fx10,22fx20;【例 1】已知函数f ( x)x3ax 2bxc 在区间1,0上单调递减，则 ab 的取值范围是 .【例 2】函数f (x)1 x33mx23m2 x1 在区间1,2上单调递增， 则实数 m 的取值范围是 .专题 04 ：端点效应基础知识：从前面的例子可以看出，将函数恒正（恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负） 即可。但那只是针对一小部分题，对于大多数情况来说这是不对的，但这不意味着端点就没有任何作用了。【例 1】已知函数f ( x)x33(a1) x26ax ，当 a0 时，若函数f (x) 在区间1,2上是单调函数，求 a 的取值范围 .【例 2】【2008 江苏】设函数f (x)ax33x1 ，若对于 x1,1 总有f (x)0 恒成立，则 a = .说明：在例 1 和例 2 中，都是事先考虑函数在端点的情形，虽然通过端点不能得到最终结果，但例 1 通过端点可以不必考虑单增情形，例 2 通过端点可以缩小 a 的范围， 我们把这种通过端点来缩小参数取值范围的方法称为“端点效应”。函数在端点处的取值有以下三种情形：（ 1）f (x)在区间a,b的端点 a 和b 处均有定义且f (a)0,f (b)0;（ 2）f (x)在区间a,b的端点 a 或b 处无定义或区间是无限区间a, b ；（ 3）f (x)在区间a,b的端点 a 或b 处有f (a)0 或 f(b)0 。一、端点处的取值有意义且不为0【例 1】【2008 天津】设f ( x)是定义在 r 上的奇函数，且当x0 时，f (x)x2 ，若对任意的 xt, t2 ，不等式f ( xt )2 f ( x) 恒成立，则 t 的取值范围是（）a. 2 ,b. 2,c.0,2d.2 ,12 ,【例 2】若f ( x)ax2(3a)x2a0 在 0,1上恒成立，则实数 a 的取值范围是 【变式 1】【2013 全国卷】已知函数f ( x)x33ax 23 x1 ，当x2,时， f( x)0 ，求a的取值范围。【变式 2】【2012 江西】已知函数f ( x)ax 2( a1)x1 ex 在0,1上单调递减，求 a 的取值范围。【变式 3】【2010 天津】已知函数f ( x)ax 33 x21, a0 ，若在区间1 , 1上 f ( x)0 恒222成立，求 a 的取值范围。二、端点处的取值没有意义且趋于无穷f ( x)ln x 的定义域是0,，且当 x 趋于 0 时，f( x)ln x 趋于负无穷，当 x 趋于时，f ( x)ln x 趋于正无穷，为了后面方便表述，记f (0), f ()。然后不管函数f ( x) 在区间的端点 a 处有没有意义，也不管a 是否为无穷，我们均记f (a) 为当 x 趋于 a 时f ( x)的值。这样的记法为了后面的叙述。【例 1】【2012 新课标】当 0x1 时， 4 xloga2x ，则 a 的取值范围是（）a.0,22b.2 ,12c. 1,2d.2 ,2【例 2】函数f (x)a ln x1 x22(1a)x( x0) ，若f ( x)0 对定义域内任意 x 恒成立， 求实数a 的取值范围。【例 3】【2012 天津】函数值范围是 .f (x)x1 ,x1, x, f ( mx)mf ( x)0 恒成立，则实数 m 的取【例 4】【2013 新课标】设函数f (x)x24 x2, g( x)2ex ( x1) ，若 x2 时， f( x)kg( x) ，求 k 的取值范围。【例 5】【2009 江西】已知函数f (x)2mx22( 4m)x1, g (x)mx ，若对于任一实数 x ， f ( x)与 g(x) 的值至少有一个为正，则m 的取值范围是 .【变式 1】不等式log( x22 x3)1( x2) 恒成立，则实数 a 的取值范围是（）aa.0, 13b.1 ,13c. 1,3d. 3,【变式 2】【2011 北京】设函数f ( x)x( xk) 2 ek ，若对于任意的x0,，都有f (x)1 ，e求实数 k 的取值范围。【变式 3】【2014江苏】已知函数f ( x)exe x ，其中 e 是自然对数的底数，若关于x 的不等式 mf( x)e xm1 在 0,上恒成立，求实数m 的取值范围。【变式 4】【2012 北京文】已知f ( x)m( x2m)( xm3), g( x)2 x2 ，若xr, f ( x)0 或g( x)0 ，则 m 的取值范围是 .【变式 5】【2012 北京理】已知f ( x)m( x2 m)( xm3), g( x)2 x2 ，若同时满足（ 1）xr,f ( x)0 或 g( x)0 ；（ 2）x,4 ,f ( x)g (x)0 ，则 m 的取值范围是 .三、端点处的取值为0（1）若多项式函数f ( x) 满足f (a)0 ，则f ( x)一定可以分解成f ( x)( xa) g (x) 这种形式，其中 g(x) 也为多项式函数。【例 1】【2009 全国卷】已知f ( x)3ax42(3a1)x24 x 在1,1上是增函数，求 a 的取值范围。【例 2】【2012 浙江理】设 ar，若 x0时均有 (a1) x1 (x2ax1)0 ，则 a .【例 3】【2009 天津】已知f ( x)1 x33x2(m21)x, m0, f ( x)0 有三个不同的实根，分别为 0, x1, x2 ( x1x2 ) 若对任意的 xx1 , x2, f ( x)f (1) 恒成立，求 m 的取值范围。【变式 1】【2008 全国卷】设函数f ( x)ax33 x2 ，若g(x)f ( x)f ( x)(0x2) 在x0 处取得最大值，求 a 的取值范围。3【变式 2】【2011湖北】已知 x33x22 xmx 有三个不同的实根，分别为0, x1, x2( x1x2 ) ，且对任意的 xx1, x2 ， x3x 22 xm( x1) 恒成立，求实数 m 的取值范围。注意：若多项式函数有明显的根，分解因式能够将函数降次，特别是形如f ( x)ax3bx2cx的多项式函数， 是高考中的常见情形， 它可以分解成f ( x)x(ax 2bxc) ，需掌握此多项式。（ 2）若高考试题中出现的恒成立问题中的函数不是多项式，这些函数虽然在端点处的值为零， 但不能将它们分解，对此需用以下知识点：f (x)0在 a,b 上恒成立，若f (a)0 ，则 f ( a)0 ；若 f (b)0 ，则 f (b)0f (x)0在 a,b 上恒成立，若f (a)0 ，则 f ( a)0 ；若 f (b)0 ，则 f (b)0特别提醒：这里的结论只是必要条件，不一定是充分条件。【例 1】【2007 全国理】已知函数f (x)exe x证明：f (x)的导数f ( x)2 ；若对所有 x0 都有f ( x)ax ，求 a 的取值范围。【例 2】【2008 全国文】 已知函数1f (x)x( ex1)ax 2若 a，求2f (x)的单调区间；若 x0 时，f ( x)0 ，求 a 的取值范围。【例 3】【2008 全国理】 已知函数f (x)sin x求 f ( x) 的单调区间；2cos x如果对任何 x0 时，都有f (x)ax ，求 a 的取值范围。【例 4】【2010 新课标理】已知函数f ( x)ex1xax2若 a0 ，求f (x)的单调区间；若 x0 时，f ( x)0 ，求 a 的取值范围。【例 5】【2013 全国理】已知函数f ( x)ln(1x)x(1x)1 x若 x0 时，f (x)0，求的最小值；设数列an的通项 an111231 ，证明：na2nan1ln 2 。4n【例 6】【2014 全国理】已知函数f ( x)exe x2x .讨论 f ( x) 的单调性；设 g( x)f (2 x)4bf( x) ，当 x0 时，g( x)0 ，求b 的最大值； 已知 1.414221.4143，估计 ln2 的近似值（精确到0.001 ）.【例 7】【2012 大纲理】设