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专题课堂 四 圆的认识 第27章圆 一 同圆半径相等的应用类型 1 利用同圆半径相等进行证明 2 利用同圆半径相等进行计算 例1 如图 AB是半圆O的直径 四边形CDEF是内接正方形 1 求证 OC OF 2 在正方形CDEF的右侧有一正方形FGHK 点G在AB上 H在半圆上 K在EF上 若正方形CDEF的边长为2 求正方形FGHK的面积 分析 连结OD OE OH根据半径相等 构造全等三等三角形或方程从而得证或求解 对应训练 1 如图 AB是半圆O的直径 点P从点O出发 沿OA BO的路径运动一周 设OP长为s 运动时间为t 则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是图中的 C B 3 如图所示 以 ABC的边BC为直径的 O分别交AB AC于点D E 连结OD OE 若 A 65 则 DOE 50 二 垂径定理的应用类型 1 垂径定理在计算中的应用 2 垂径定理在证明中的应用 3 垂径定理在实际中的应用 例2 如图 过P点的直线AB交 O于A B两点 PO与 O交于点C 且PA AB 6cm PO 12cm 1 求 O的半径 2 求 PBO的面积 结果可带根号 分析 在 PBO中 已知PO PA AB的长度求半径即OB的长度 OB是 PBO一边 但无法直接通过求图中已有线段得到 而AB是 O的弦 从O引它的垂线OD 构造Rt PDO和Rt ODB 通过已知长度和垂径定理先求出OD的长 再求OB长度 5 有一个拱桥是圆弧形 如图 它的跨度为60m 拱高为18m 当洪水泛滥跨度小于30m时 要采取紧急措施 若拱顶离水面只有4m时 问是否要采取紧急措施 B 7 如图 AB是 O的一条弦 点C是 O上一动点 且 ACB 30 点E F分别是AC BC的中点 直线EF与 O交于G H两点 若 O的半径为7 则GE FH的最大值为 10 5 8 2016 安徽 在 O中 直径AB 6 BC是弦 ABC 30 点P在BC上 点Q在 O上 且OP PQ 1 如图 当PQ AB时 求PQ的长度 2 如图 当点P在BC上移动时 求PQ长的最大值 75 或15 五 圆内接四边形和四点共圆问题 例5 如图 四边形ABCD是 O的内接四边形 BC的延长线与AD的延长线交于点E 且DC DE 1 求证 A AEB 2 连结OE 交CD于点F OE CD 求证 ABE是等边三角形 分析 综合应用圆内接四边形 等腰三角形的性质 及垂径定理 即可得证 解 1 四边形ABCD是 O的内接四边形 A DCE DC DE DCE AEB A AEB 2 A AEB BAE是等腰三角形 EO CD CF DF EO是CD垂直平分线 ED EC DC DE DC DE EC DCE是等边三角形 A AEB 60 ABE是等边三角形 对应训练 11 如图 四边形ABCD内接于 O 四边形OBCD为平行四边形 则 ABO ADO 12 下列四边形的顶点一定在同一个圆上的是 A 平
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