勾股定理的十六种证明方法

勾股定理的证明【证法 1】（ 课本的证明 ）abba精品资料a acabb cba acb cb bcc aabab做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等 . 即a 2b 2124abc 214ab2， 整理得a 2b 2c2 .【证法 2】（ 邹元治证明 ）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1形的面积等于ab2. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、b 三点在一条直线上， b、f、c 三点在一条直线上， c、g、d 三点在一条直线上 . rthae rtebf, ahe =bef . aeh +ahe = 90 o, aeh +bef = 90 o. hef = 180 o90o= 90 o.四边形 efgh 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2. rt gdh rt hae, hgd =eha . hgd +ghd = 90 o, eha +ghd = 90 o.dbgaca cbchfb cca aaebb又 ghe = 90 o, dha = 90 o+ 90 o= 180 o.2abcd 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于2ab.2ab41 ab2c. a 2b2c 2 .【证法 3】（ 赵爽证明 ）以 a、b 为直角边 （ ba ）， 以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角1dcbgfc三角形的面积等于ab2. 把这四个直角三aahe角形拼成如图所示形状 . rt dah rt abe, hda =eab .b had +had = 90 o， eab +had = 90 o，abcd 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于c2.ef = fg =gh =he = ba ,hef = 90 o.2efgh 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于ba.41 abba 2c 22. a 2b 2c 2 .【证法 4】（ 1876 年美国总统 garfield 证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1 ab形的面积等于 2. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使a、e、cb 三点在一条直线上 . rt ead rt cbe, ade =bec . aed +ade = 90 o, aed +bec = 90 o.daccbabeab dec = 180 o90o= 90 o. dec 是一个等腰直角三角形，1 c2它的面积等于 2.又 dae = 90 o, ebc = 90 o,ad bc.abcd 是一个直角梯形，它的面积等于1 ab 22.1 ab 2 22 1 ab 21 c 22. a 2b 2c 2 .【证法 5】（ 梅文鼎证明 ）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使d、e、f 在一条直线上 . 过 c 作 ac的延长线交 df 于点 p.d、e、f 在一条直线上 , 且 rt gef rt ebd, egf =bed ， egf +gef = 90 ， bed +gef = 90 ， beg =180 o90 o= 90 o.又 ab = be = eg = ga = c，abeg 是一个边长为 c 的正方形 . abc +cbe = 90 o. rt abc rt ebd, abc =ebd . ebd +cbe = 90 o.即cbd= 90 o.又 bde = 90 o，bcp = 90 o，fbagcepbbcccbahad aacbbc = bd = a .bdpc 是一个边长为 a 的正方形 .同理， hpfg 是一个边长为 b 的正方形 .设多边形 ghcbe的面积为 s，则a 2b 2sa 2b 22c2 .1 ab,2c2s21 ab2,【证法 6】（ 项明达证明 ）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba ） ， 斜边长为 c. 再做一个边长为c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形，使e、ea、c 三点在一条直线上 .ba过点 q 作 qp bc ，交 ac 于点 p.过点 b 作 bm pq ，垂足为 m；再过点fcapf 作 fnpq ，垂足为 n.b bca = 90 o，qpbc ，cmc mpc = 90 o，ncbm pq ，a bmp = 90 o，qcbbcpm 是一个矩形，即 mbc = 90 o. qbm +mba =qba = 90 o，abc +mba =mbc = 90 o， qbm =abc ，又 bmp = 90 o，bca = 90 o，bq = ba = c ， rt bmq rtbca .同理可证 rt qnf rtaef .从而将问题转化为 【证法 4】（梅文鼎证明）.【证法 7】（ 欧几里得证明 ）做三个边长分别为a、b、c 的正方形， 把它们拼成如图所示形状， 使 h、c、b 三点在一条直线上，连结bf、cd.过 c 作 clde ，交 ab 于点 m，交 de 于点l.ghackbf精品资料abmabaf = ac ， ab = ad ，fab =gad ， fab gad ， fab 的面积等于1 a 22，gad 的面积等于矩形adlm的面积的一半，矩形 adlm 的面积= a 2 .同理可证，矩形mleb 的面积 = b 2 .正方形 adeb 的面积=矩形 adlm 的面积 +矩形 mleb 的面积 c 2a 2b 2，即a 2b 2c2 .【证法 8】（ 利用相似三角形性质证明）如图，在 rt abc 中，设直角边 ac、bc 的长度分别为 a、b，斜边 ab 的长为 c，过点 c 作 cd ab，垂足是 d.在adc 和acb 中， adc =acb = 90 o，cad =bac ， adc acb . adac = acab ，cabadcb即ac 2adab .同理可证，cdb acb ，从而有bc 2bdab . ac 2bc 2addbabab 2 ，即a 2b2c 2 .【证法 9】（ 杨作玫证明 ）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ ba ），斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形 . 把它们拼成如图所示的多边形 . 过 a 作af ac， af 交 gt 于 f， af 交 dt 于 r. 过 b 作 bpaf ，垂足为 p. 过 d 作gadde 与 cb 的延长线垂直，垂足为e，de 交 af 于 h. bad = 90 o，pac = 90 o，cdah =bac .b9c21又 dha = 90 o，bca = 90 o， ad = ab = c ，精品资料f 8r tchpa3456cbqe 7bac rt dha rt bca . dh = bc = a ，ah = ac = b .由作法可知，pbca是一个矩形， 所以 rtapb rt bca . 即 pb =ca = b ， ap= a ，从而 ph = b a. rt dgt rt bca , rtdha rtbca . rt dgt rt dha . dh = dg = a ，gdt =hda .又 dgt = 90 o，dhf = 90 o，gdh =gdt +tdh =hda+tdh = 90 o， dgfh 是一个边长为a 的正方形 .gf = fh = a. tfaf ，tf = gt gf = b a .tfpb 是一个直角梯形，上底tf=b a，下底 bp= b ，高 fp=a + （ ba） .用数字表示面积的编号 （如图），则以 c 为边长的正方形的面积为2cs1s2s3s4s5s8s3s41 bba 2abab 21 ab=2，s5s8s9 ，s3s4b 21 ab2s82b=s1s8.2把代入，得2cs1s2bs1s8s8s92=ba 2b2s2s9=c 2 .b 2a 2 .【证法 10 】（ 李锐证明 ）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ ba），斜边的长为 c. 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 a、e、g 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号 （如图） . tbe =abh = 90 o， tbh =abe .又 bth =bea = 90 o，精品资料tbb8d 2 cr 6h31a7mgfea45cbt = be = b ， rt hbt rtabe . ht = ae = a .gh = gt ht = b a.又 ghf +bht = 90 o，dbc +bht =tbh +bht = 90 o， ghf =dbc . db = eb ed = b a，hgf =bdc = 90 o， rt hgf rt bdc . 即s7s2 .过 q 作 qm ag ，垂足是 m.由baq =bea = 90 o，可知 abe=qam ，而 ab = aq = c ，所以 rtabe rtqam . 又 rthbtrt abe . 所以 rthbt rtqam .即s8s5 .由 rtabe rt qam ，又得 qm = ae = a ，aqm =bae . aqm +fqm = 90 o，bae +car = 90 o，aqm =bae ， fqm =car .又 qmf =arc = 90 o，qm = ar = a ，22 rt qmf rt arc .即s4s6 .c2s1s2s3s4s5 ， as1s6 ， bs3s7s8 ，又 s7s2 ， s8s5 ， s4s6 ，abss2216= s1s4s3s7s8s3s2s5即 a 2= c 2 ，b2c 2 .【证法 11 】（ 利用切割线定理证明 ）在 rtabc 中，设直角边 bc = a ，ac = b ，斜边 ab = c . 如图，以 b 为圆心 a 为半径作圆， 交 ab 及 ab 的延长线分别于 d、e，则 bd = be = bc = a . 因为bca = 90 o，点c 在b 上，所以 ac 是b 的切线. 由切割线定理，得ac 2aead=abbeabbdcab精品资料ecabada= caca=c 2a 2 ，即b 2c2a 2 ， a 2b 2c 2 .【证法 12 】（ 利用多列米定理证明 ）在 rtabc 中，设直角边 bc = a ，ac = b ，斜边 ab = c （ 如图）. 过点 a 作 ad cb ，过点 b 作 bd ca ，则 acbd 为矩形，矩形 acbd 内接于一个圆 . 根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有精品资料abdcadbcacbd ，ab = dc = c ， ad = bc = a ，ac = bd = b ，dbb ab2bc 2ac 2 ，即c2a2b 2 ，acca a 2b 2c 2 .a bc【证法 13 】（ 作直角三角形的内切圆证明）在 rtabc 中，设直角边 bc = a ，ac = b ，斜边 ab = c .作 rtabc 的内切圆o，切点分别为 d、e、f（ 如图），设o 的半径为 r.ae = af ， bf = bd ，cd = ce ， acbcabaecebdcdafbf即 abc ab2r=ce2r ， c .cd = r + r = 2r,a2 abab22即2r2ab2c，2，4 r 2rcccbfab1s abc2， 2 ab4s abc ，rro reb adc又 s abcs aob1s bocs aoc=1 cr21 ar21 br1a2=2b c r2 4 r2r=2rc4sc c rabc ，=r 2rc ，2 4 rrc2ab ， a 2b 22ab2 abc 2 ， a 2b 2c2 .【证法 14 】（ 利用反证法证明 ）如图，在 rt abc 中，设直角边 ac、bc 的长度分别为 a、b，斜边 ab 的长为 c，过点 c 作 cd ab，垂足是 d.22假设 ab222c，即假设acbc2ab，则由ab2abab = ab adbd = abadabbd可知ac 2abad，或者bc 2abbd. 即 ad ：ac ac ：ab ，或者 bd：bc bc ：ab.在adc 和acb 中， a =a，若 ad：ac ac ：ab，则adc acb .在cdb 和acb 中， b =b，若 bd：bc bc ：ab，则cdb acb .又 acb = 90 o， adc 90 o，cdb 90 o.cabadcb这与作法 cd ab 矛盾. 所以，ac 2bc 2ab 2 的假设不能成立 . a 2b 2c 2 .【证法a15 】（ 辛b 卜松证明 ）adab 1 abad1 aba abb b 2a 2aabba 2ccb 1 ab22bcc2c1 aba2bbacbabc设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正方形abcd .把正方形abcd划分成上方左图所示的几个部分，则正方形abcd 的面积为ab 2a 2b 22ab ；把正方形 abcd 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形abcd 的面积为ab 241 ab 2c 2= 2 abc2 .a 2a 2b22 abb2c 2 .2abc 2 ,【证法 16 】（ 陈杰证明 ）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ ba ），斜边的长为 c. 做两个边长分别为 a、b 的正方形 （ ba ），把它们拼成如图所示形状，使e、h、m 三点在一条直线上 . 用数字表示面积的编号 （如图）