函数恒成立问题——参变分离法

学科数学课题名称函数恒成立问题参变分离法周次教学目标教学重难点函数恒成立问题参变分离法一、基础知识：1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数）， 可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数。3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：（1） 已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行。但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”， 会出现无法分离的情形，精品资料此时要考虑其他方法。例如：2x1logax ， 11x e ax1 等x（2） 要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题。（可参见”恒成立问题 最值分析法“中的相关题目）4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设 x 为自变量， 其范围设为d ， fx 为函数； a为参数， ga 为其表达式）（1）若 fx 的值域为m, mxd, gafx，则只需要g afxminmxd, gxfx，则只需要g afxminmxd, gafx，则只需要g afxmax =mxd, gafx，则只需要g afxmax =mxd, gafx，则只需要gafx maxmxd, gafx，则只需要gafx maxmxd, gafx，则只需要gafx minmxd, gafx，则只需要gafx minm（2）若 fx 的值域为m, mxd, gafx，则只需要gamxd, gafx，则只需要gam （注意与（1）中对应情况进行对比）xd, gafx，则只需要gamxd, g afx，则只需要g am （注意与（ 1）中对应情况进行对比）xd, g afx ，则只需要gam （注意与（ 1）中对应情况进行对比）xd, gafx，则只需要gamxd, gafx，则只需要gam （注意与（ 1 ）中对应情况进行对比）xd, gafx，则只需要gam5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3 个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理（1） 选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离。则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了。（2） 将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可。x二、典型例题：例 1 ：已知函数fxexae，若f ( x)23 恒成立，则实数a 的取值范围是 xxxax思路：首先转化不等式，f(x)eae，即 e23 恒成立，观察不等式a 与 e 便于ex分离，考虑利用参变分离法，使a, x 分居不等式两侧，aex223ex ，若不等式恒成立，x2只需 ae23e，令xmaxx2gxexx2 3ee23 3 （解析式可看做关于 ex 的二次函数，故配方求最值）gx3 ，所以 a3max答案： a3例 2 ：已知函数fxln xa ，若fxx在1,上恒成立，则a 的取值范围是2x思路：恒成立的不等式为ln xax2x，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法a233解： ln xxxln xxaxax ln xx，其中 x1,只需要3ax ln xx，令maxgxx ln xx321g ( x)1ln x3x（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将ln x 变为，所以二阶导函x数的单调性可分析，为了便于确定gx的符号，不妨先验边界值）g 12 ，gx116 x26 xxx0 ，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）gx 在 1,单调递减，gxg 10g( x) 在 1,单调递减gxg 11a1答案： a1注意： 求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时， 可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点， 零点）等确定符号。例 3 ：若对任意xr ，不等式3x22axx3 恒成立，则实数a 的范围是4思路：在本题中关于a, x 的项仅有 2ax 一项，便于进行参变分离，但由于xr,则分离参数时要对 x 的符号进行讨论，并且利用x 的符号的讨论也可把绝对值去掉，进而得到a 的范围，3x22axx32ax3x2x3， 当x0时 ，2a3x13， 而444 xmin3x134 x3 x3 4x123x3124x2a2a1 ；当 x0 时，不等式恒成立；当 x0 时， 2 a3x13，而 3x1313x324 xmax4 x4 x2a2a1 综上所述：1a1答案：1a1注意：（ 1）不等式含有绝对值时，可对绝对值内部的符号进行分类讨论，进而去掉绝对值，在本题中对 x进行符号讨论一举两得：一是去掉了绝对值，二是参变分离时确定不等号的是否变号。（2） 在求 x 解析式最值时根据式子特点巧妙使用均值不等式， 替代了原有的构造函数求导出最值的方法，简化了运算。（3） 注意最后确定a的范围时是三部分取交集，因为是对x 的取值范围进行的讨论，而无论x取何值， a 的值都要保证不等式恒成立，即a 要保证三段范围下不等式同时成立，所以取交集。例 4 ：设函数f (x)x21 ，对任意的x3 , fx2m4m2 f(x)f (x1)4 f(m) 恒成立，则实数m的取值范围是 思路：先将不等式进行化简可得：2x14m2x21 m22x114m1，即214m2x2x22 x3 ，便于进行分离，考虑不等式两边同时除以x2 ，可得：m1x22x3x22x3121124m2m2， gx22xminx321，0,xxx325最小值g，3314m2m2512m345m230 即3m214m230 解得： m答案： m,33 ,22,33 ,22注意：本题不等式看似复杂，化简后参变分离还是比较容易的，从另一个角度看本题所用不等式为二次不等式，那么能否用二次函数图像来解决呢？并不是一个很好的办法，因为二次项系数为关于 m 的表达式且过于复