共渐近线的两个双曲线系的解题功能

共渐近线的两个双曲线系的解题功能甘肃彭 长 军本 文 首 先 给出 关 于 共 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 的 两 个 命 题 ，然 后就 其 解 题 功 能 作 一 点 探 讨 ， 供 同 学 们 参 考 。22命 题1 ： 与 双 曲 线 xay=1 （ a0,b0） 有 共 同渐 近 线 的 双 曲22bx2线 系 方 程 为2ay22 =( 0)(*)bx2证 明 ：（ 1 ）当0时 ， 方 程 (*)可 变 形 为2ay=1,2b 2a 20, b 20. 表 示 中 心 在 原 点 、焦 点 在 x 轴上 的 双 曲 线 ，其 渐 近 线方 程 为 y=ba2x=b x ， 与 双 曲 线 x aa 2y=1的 渐 近 线 相 同 。2b22（2 ） 当0. 。表 示 中心 在 原 点 、焦 点 在 y 轴 上 的双 曲 线 ，其 渐近 线 方 程 为 y=ba2x=b x ， 与 双 曲 线 x aa2y=1的 渐 近 线 相 同 。2b 2由 （ 1 ）（ 2 ） 可 知 ， 原 命 题 成 立 。2同 理 ， 与 双 曲 线 ya2x=1 （ a0,b0） 有 共 同 渐近 线 的 双 曲 线2b22系 方 程 为 ya 2x=( 0) 。2b2命 题2: 以 直 线axby=0为 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 为(ax+by)(ax-by)=( 0) ， 即 a 2 x 2 -b 2 y 2 =( 0) 。证 明 过 程 请读 者 自 己 完 成 ， 这 里 不 在 赘 述 。精品资料推 论 : 以 两条 相 交 直 线l 1 :a 1 x+b 1 y+c 1 =0与l 2 :a 2 x+b 2 y+c 2 =0为 渐 近 线 的 双 曲 线 系 方 程 为 （ a 1 x+b 1 y+c 1 ）（ a 2 x+b 2 y+c 2 ）=( 0) 。运 用 上 述 结论 ，在 求 某 些 特 殊 情 形 下 的 双 曲 线 方 程 时 ，可 有 效地 避 开 分 类 讨 论 ， 收 到 事 半 功 倍 的 效 果 。 下 面举 例 说 明 。例1 已 知 对 称 轴 为 坐 标 轴 的 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为y=b x(a0,b0)， 若 双 曲 线 上 有一 点m(x a则 双 曲 线 的 焦 点 （ ）0 ,y0 )， 使bx0 ay0 ，a. 当 ab时 在 x 轴 上b. 当 a0,双曲 线 的 焦点 在 x 轴 上 , 故 选 c.例 2. 求与 双 曲 线x2y2=1有 共 同 的 渐 近 线 ，且 经 过 点 a（ -3 ，91623 ） 的 双 曲 线 方 程 。解 ：设 所 求 双 曲 线 方 程 为x2y2=( 0) 。将 a 点 坐 标 代 入 ，9161x2y21x2y2得=， 故 所 求 双 曲 线 方 程 为49=， 即=1164944例 3 双 曲 线 中 心 在 原 点 ，对 称 轴 是 坐 标 轴 ，若 一 条 渐 近 线 方程 为 3x+2y=0， 且 经 过 点 p(8,63 ) ， 则 其 方 程 是 。精品资料解 ： 由 对 称 性 可 知， 双 曲 线 的 另 一 条 渐 近 线 方 程 为 3x-2y=0。因 此 ， 所 求 双 曲 线 方 程 可 表 示 为 (3x+2y)(3x-2y)=， 即9 x24 y2 =( 0) 。将p 点 坐 标 代 入 ，得=144，故 所 求 双 曲 线 方程 为 9x24 y2 =144， 即x2y2=1 。1636例4. 以 椭 圆x24 y 2=64的 焦 点 为 顶 点 ， 一 条 渐 近 线 方 程x+3 y=0的 双曲 线 方 程 是 。2解 ： 由x2y=1， 得c 2 =48， 设 所 求 双 曲 线 方 程 为6416x23 y2 =( 0) ， 即x2y2=1 。 由 已 知 知=c 2 =48 ， 故 所 求 双 曲3线 方 程 为x2y2=1 。481622例5. 以 双 曲 线 x4 y =64的 焦 点 为 焦 点 ， 一 条 渐 近 线 方 程 是x+3 y=0的 双曲 线 方 程 是 。解 ：由x2y2=1， 得c 2 =80。 设 所 求 双 曲 线 方 程 为6416x23 y2 =( 0) ， 即x2y23=1 。 由 已 知 ， 得+=80 ， =60,故3所 求 双 曲 线 方 程 为x2y2=1 。6020例 6. 已知 中 心 在 原 点 的 双 曲 线的 一 个 焦 点 是 f(-4,0)， 一 条 渐近 线 的 方 程 是 3x-2y=0， 求 此 双曲 线 的 方 程 。解 ： 设 所 求 双 曲 线 方 程 为9x24 y2 =( 0) ， 即x2y2=1, 则94精品资料+=(-4)2 =16, =576。 故 所 求 双 曲 线 方 程 为x2y2=1 。9413601441313例 7. 已 知 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 方 程 分 别 为 2x+y-8=0 和2x-y-4=0, 且 以抛 物 线（ y-2 ） 2 =-4(x-2) 的 焦 点 为 一 个 顶 点 ， 求 此 双曲 线 的 方 程 。解 ： 由 已 知 可 得 双 曲 线的 一 个 顶 点 的 坐 标 为 （ 1 ， 2 ）。 设 所 求双 曲 线 的 方 程 为（ 2x+y-8）（ 2x-y-4）=( 0) 。将 顶 点 坐 标 代 入 ，得=16 。 故 所 求 双 曲 线 方 程 为 （ 2x+y-8）（ 2x-y-4） =16 。 化 简 整理 ， 得( x3)24( y2)216=1 。例8.求 以 3x-4y-2=0和 3x+4y-10=0为 渐 近 线 ， 以 5y+4=0为 一 条 准 线 的 双 曲 线 方 程 。解 ： 由 5y+4=0即y=-点 在 平 行 于 y 轴 的 直 线 上 。4 为 双 曲 线 的 一 条 准 线 可 知 双 曲 线 的 焦5设 所 求 双 曲 线 的 方 程 为 (3x-4y-2)(3x+4y-10)=( 0) ， 即( y1)216(x2)29=1, c 2 =16=25(9144) , 从 而 有16=1+49 ,55512即39205, =-144,故 所 双 曲 线 方 程 为 ：( y1) 29(x2)216=1.例9 求 过 点p(2,-1)且 渐 近 线 方 程 分 别 为2x+y-8=0和x-3y+4=0的 双 曲线 方 程 。解 ： 设 所 求 双 曲 线 的方 程 为 (2x+4y-8)(x-3y+4)=( 0) ，