最新-高考文科数学真题汇编：坐标系和参数方程老师版

学科教师辅导教案学员姓名年级高三辅导科目数 学授课老师课时数2h第次课授课日期及时段2017年月日：历年高考试题集锦坐标系和参数方程1.（ 2015 年广东文） 在平面直角坐标系xy 中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲xt 2线 c1 的极坐标方程为cossin2，曲线c2 的参数方程为y22t（ t 为参数），则 c1 与 c2 交点的直角坐标为2,42.（ 2015 年新课标2 文）在直角坐标系xoy 中,曲线c1 :（ t 为参数 ,且 t0）,其中 0,xt cos,yt sin,在以 o 为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 c2:2sin,c3 :23cos.（ i）求c2 与 c3 交点的直角坐标；（ ii）若c1 与c2 相交于点 a, c1 与 c3 相交于点b,求 ab 最大值 .试题分析：（i ）把c2 与 c3 的方程化为直角坐标方程分别为x2y22 y0 , x2y223 x0 ,联立解3.（ 2015 年陕西文） 在直角坐标版权法xoy 吕，直线 l 的参数方程为x31 t2(t 为参数），以原点为极y3 t2点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，c 的极坐标方程为23 sin.(i) 写出c 的直角坐标方程；(ii) p 为直线 l 上一动点，当p 到圆心 c 的距离最小时，求点p 的坐标 .2试题解析： (i) 由23 sin，得23sin，从而有x22y223 y 所以 x2y33(ii) 设 p31 t,322t，又c (0,3) ，则 pc2231 t3 t322t 212 ，故当 t0时， pc 取得最小值，此时p 点的坐标为(3,0) .4、（ 2015 新课标 1）在直角坐标系xoy中，直线c1 : x2 ，圆2c2 :x12y21 ，以坐标原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（ i）求c1 ,c2 的极坐标方程 .（ ii ）若直线c 的极坐标方程为r，设 c, c 的交点为m , n ，求c mn的面积 .3解：（ i）因为 xcos, ysin4，所以232c1 的极坐标方程为cos2 ，2c的极坐标方程为22cos4sin40 .5 分（ ii ）将代入22cos4sin40 ，得23240 ，解得4122,22 .故122 ，即 mn2 由于c2 的半径为1，所以1c2 mn 的面积为.25、（ 2016 年全国 i） 在直角坐标系xoy 中，曲线c1 的参数方程为（t 为参数， a0） .在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线c2： =4cos .（ i）说明 c1 是哪种曲线，并将c1 的方程化为极坐标方程；（ ii ）直线 c3 的极坐标方程为=0，其中 0 满足 tan 0=2，若曲线c1 与 c2 的公共点都在c3 上，求 a.解：x acost2（ t 均为参数）x22y 1a222y1a sin t c1 为以0，1为圆心， a 为半径的圆方程为xy2 y1a022222cxy， ysin2sin1a0即为1 的极坐标方程 c2 ：4cos22两边同乘得4cos222xy ，cos22xxy4x22即x2y4 c ：化为普通方程为y2 x 由题意：c 和 c 的公共方程所在直线即为c31232得：4 x2 y1a0 ，即为c3 1a0 a126、（ 2016 年全国 ii） 在直角坐标系xoy 中，圆 c 的方程为 (x6) 2y25 （）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求c 的极坐标方程；（）直线l 的参数方程是x t cosy t sin（ t 为参数） ,l 与 c 交于a, b 两点， |ab |10，求 l 的斜率222xy解：整理圆的方程得x2y212110 ，由cosx可 知圆c的 极 坐 标 方 程 为siny212cos110 记直线的斜率为k ，则直线的方程为kxy0 ，由垂径定理及点到直线6k距离公式知：25102222，即 36k90 ，整理得 k5 ，则 k15 1k 221k4337、（ 2016 年全国iii） 在直角坐标系xoy 中，曲线c1 的参数方程为x3 cos(ysin为参数 )，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴， ，建立极坐标系，曲线c2 的极坐标方程为sin()22 .4（ i ）写出c1 的普通方程和c2 的直角坐标方程；（ ii ）设点 p在c1 上，点 q在 c2 上，求 | pq| 的最小值及此时p 的直角坐标 .8、(2016 江苏 )在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为x11 t2y3 t2（ t 为参数），椭圆 c 的参数方程为x cos,y 2sin（为参数） .设直线 l 与椭圆 c 相交于 a， b 两点，求线段ab 的长 .解 ： 椭 圆 c 的 普 通 方 程 为y 2x21 ， 将 直 线 l 的 参 数 方 程4x11 t2y3 t2， 代 入y2x21 ， 得4(11 t )2(3 t) 221 ，即7t 216t0 ，解得 t10 ， t216.所以 ab16| t1t2 |.24779（ 2013 江苏理） 在平面直角坐标系xoy中，直线 l 的参数方程为x t1y 2t（ t 为参数），曲线c 的参数x方程为y2 tan22 tan（为参数），试求直线l 与曲线 c 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。【答案】直线l ： 2 xy20 ；曲线 c： y22 x ；它们公共点的坐标为(2,2)， ( 1 ,1)210（ 2012 福建理） 在平面直角坐标系中，以坐标原点o 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 上两点 m， n 的极坐标分别为(2,0) ，23 , 32，圆 c 的参数方程为x22cos,y32sin(为参数 )设 p 为线段 mn 的中点，求直线op 的平面直角坐标方程；判断直线l 与圆 c 的位置关系23【简解】 由题意知， m， n 的平面直角坐标分别为(2,0) ， (0，33)；又 p 为线段 mn 的中点，从而点p3的平面直角坐标为(1，)；故直线op 的平面直角坐标方程为3yx 3 因为直线l 上两点 m， n 的平面直角坐标分别为(2,0)， (0， 233) ，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x3y230； 又 圆c的 圆 心 坐 标 为 (2 ，3 ) ， 半 径r 2 ， 圆 心 到 直 线l的 距 离d| 233323 |3392r ；故直线l 与圆 c 相交11（ 2014 福建理） 已知直线 l 的参数方程为参数） .xa2t ，（ t 为参数），圆 c 的参数方程为y4tx 4cosy 4sin，（为（ i）求直线 l 和圆 c 的普通方程；（ ii）若直线 l 与圆 c 有公共点，求实数a 的取值范围 .【简解】（ i ）直线 l 的普通方程为2 xy2a0 . 圆 c 的普通方程为x22ay216 .（ ii ）因为直线l 与圆有公共点, 故圆 c 的圆心到直线l 的距离 d4 , 解得255a25x212. (2014 新标 1 理 )已知曲线 c ：y1，直线 l ：x2t（ t 为参数） .249y22to( )写出曲线 c 的参数方程，直线l 的普通方程；（）过曲线c 上任一点 p 作与 l 夹角为30 的直线，交l 于点 a ，求 | pa | 的最大值与最小值.【简解】 .( ) 曲线 c 的参数方程为：x 2cosy 3sin（为参数）， 直线 l 的普通方程为：2 xy60（）在曲线c 上任意取一点p (2cos,3sin)到 l 的距离为 d54cos3sin6 ，5则 | pa |d sin 30025 5sin65，其中为锐角且tan4 .3当 sin1 时， | pa | 取得最大值，最大值为225 ；5当 sin1 时， | pa | 取得最小值，最小值为255x13.(2013 新标 2 理) 已知动点p、q 都在曲线c：y.2cos t 2sin t( t 为参数 )上，对应参数分别为t 与 t2(0 2，)m 为 pq 的中点(1) 求 m 的轨迹的参数方程；(2)将 m 到坐标原点的距离d 表示为 的函数， 并判断 m 的轨迹是否过坐标原点【简解】(1) 依题意有p(2cos ， 2sin )，q(2cos 2， 2sin 2)，因此 m (cos cos 2， sin sin 2) m 的轨迹的参数方程为 x cos cos 2，y sin sin 2， (为参数， 02)(2) m 点到坐标原点的距离dx2y22 2cos (02)当 ，d 0，故 m 的轨迹过坐标原点14、 已知点 a 的极坐标为(2,) ，直线 l 的极坐标方程为cos(4)a ，且点 a 在直线 l 上4（ 1）求 a的值及直线l 的直角坐标方程；（ 2）圆 c 的参数方程为x1cos ysin，（为参数），试判断直线l 与圆的位置关系【答案】（） a2 ， 直线 l ： xy20 ；（）相交115（ 2012 辽宁） 在直角坐标xoy 中，圆c : x2y4 ，圆c2 : (x2) 2y4 。22( )在以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆c1 ,c2 的极坐标方程， 并求出圆c1 ,c2的交点坐标 (用极坐标表示)；( )求出c1与c2 的公共弦的参数方程。【答案】 (1)c 1: =2， c2: =4cos ,交点极坐标（(-1)n2,n -）， nz(2)3x t(-3 y3 )y y16 (2013 新标 1) 已知曲线c1 的参数方程为x45cost, y55sin t（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2 的极坐标方程为2sin。（）把c1 的参数方程化为极坐标方程；（）求c1 与 c2 交点的极坐标（0,02）。4【答案】 (1) 28cos 10sin 160； (2)2，2， ，217（ 2013 辽宁） 在直角坐标系xoy 中，以 o 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆c1，直线 c2 的极坐标方程分别为 4sin ， cos 22.4(1) 求 c1 与 c2 交点的极坐标；(2) 设 p 为 c1 的圆心， q 为 c1 与 c2 交点连线的中点已知直线pq 的参数方程为x t3 a， b 3(t r 为y 2t 1参数 )，求 a， b 的值【简解】 (1) 圆 c1 的直角坐标方程为x2 (y 2)2 4，直线 c2 的直角坐标方程为x y 4 0.x2 y2 24，x1 0，x2 2，2解得x y 40，y1 4，y 2.所以 c1 与 c2 交点的一个极坐标为4，2 ， 22， 4 ，(2)由(1) 可得， p 点与 q 点的直角坐标分别为(0,2)， (1,3)故直线pq 的直角坐标方程为x y 2 0，2由参数方程可得y bxab1，所以2b 1， 2ab 1 2， 2解得 a 1，b 2.218（ 2014 辽宁） 将圆 x2y1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2 倍，得曲线c.（ 1）写出 c 的参数方程；（ 2）设直线l : 2 xy20 与 c 的交点为p1, p2 ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段p1p2 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.【简解】（） 设 ( x1 , y1 ) 为圆上的点， 在已知变换下位c 上点（ x，y），依题意， 得xx1由 x12y 21y2 y11y22y 22x cost得 x()1 ，即曲线c 的方程为x 21. .，故 c 得参数方程为4y2sin t（ t 为参数） .( )由y2x2142xy20解得：x 1x0，或.y 0y2不妨设p (1,0), p(0, 2) ,则线段p p 的中点坐标为1,所求直线的斜率为k1，于是所求直线方程为121 2(,1)22y11 ( x1) ，化极坐标方程，得2cos4sin3 ，即3.2219. (2012 新标理 ) 已知曲线c1 的参数方程是x 2cos(y 3sin4sin2cos为参数) ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线c 2 的坐标系方程是2 ，正方形abcd 的顶点都在c2 上，且 a, b, c, d 依逆时针次序排列，点a 的极坐标为(2,)3（ 1）求点2a, b,c, d 的直角坐标；（ 2）设 p 为 c1 上任意一点， 求 pa22pbpc2pd的取值范围。【简解】（ 1）点a, b,c, d 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（ 2）设p( x , yx0y00) ；则2cos(为参数)03sin2tpa22pbpcpd 24 x24 y 2405620sin 256,7620.(2014 新标 2 理) 在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆c 的极坐标方程为2cos，0,.2（）求c 的参数方程；（）设点d 在 c 上， c 在 d 处的切线与直线l : y3 x2 垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定 d 的坐标 .【简解】（ i） c 的普通方程为( x1)2y21(0y1) .参数方程为x 1cost,（ t 为参数， 0tx）y sint,（）设d (1cost,sin t ) .由（ i）知 c 是以 g（ 1,0）为圆心， 1 为半径的上半圆。因为 c 在点 d 处的切线与t 垂直，所以直线gd 与 t 的斜率相同，tant3, t.故 d 的直角坐标为3(1cos,sin) ，即 ( 3 ,3 ) 。332221 (2017全国文 )在直角坐标系xoy 中，曲线c 的参数方程为x 3cos ， y sin (为参数 )，直线 l 的参数方程为x a 4t， y 1 t(t 为参数 )(1) 若 a 1，求 c 与 l 的交点坐标；(2)若 c 上的点到l 的距离的最大值为17，求 a.1解(1) 曲线 c 的普通方程为x29 y21.当 a 1 时，直线l 的普通方程为x 4y 3 0.x2 y2 1，由9x 4y3 0，x 3，解得y 0x21， 25或24y25.2124从而 c 与 l 的交点坐标为(3,0)， 25， 25 .(2) 直线 l 的普通方程为x4y a 40，故 c 上的点 (3cos ， sin )到 l 的距离为|3cos 4sin a 4|d.当 a 4 时， d 的最大值为17a 917.由题设得a 917，所以 a 8；17当 a0) ，点 m 的极坐标为 (1，)(10)由题设知 |op |，|om | 1 4.cos 由|om | |op| 16 得 c2 的极坐标方程 4cos ( 0) 因此 c2 的直角坐标方程为(x 2)2 y2 4(x0)(2) 设点 b 的极坐标为 (b， )(b0) 由题设知 |oa| 2， b4cos ，于是 oab 的面积 s1|oa | bsin aob 4cos sin 2 sin 2 323.2332时，当 12s 取得最大值23.所以 oab 面积的最大值为23.23 (2017全国文，22)在直角坐标系xoy 中，直线l1 的参数方程为x 2 t， y kt(t 为参数 )，直