自动控制原理习题2(含答案)

;.第二章习题及答案;.2-1试建立题 2-1 图所示各系统的微分方程 其中外力f (t) ，位移x(t) 和电压ur (t )为输入量；位移y(t ) 和电压uc (t) 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），r （电阻）， c （电容）和m （质量）均为常数 。解（ a）以平衡状态为基点，对质块m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出整理得f (t )ky(t)f dy dtd 2 ym dt 2d 2 y(t ) dt 2fdy(t ) mdtk y(t ) m1 f (t)m（ b） 如图解 2-1(b) 所示，取 a,b两点分别进行受力分析。对a点有对b点有k1 (xx1 )f ( dx1dtdy ) dt（ 1）f ( dx1dtdy )k y dt（ 2）2联立式（ 1）、（ 2）可得：dydtfk1 k2 ( k1yk2 )k1dxk1k2 dt(c) 应用复数阻抗概念可写出u r (s)1r1rcsi (s) 11csu c (s)（ 3）i (s)uc (s) r2u c ( s)r2 (1r1cs)（4）联立式（ 3）、（ 4），可解得：u r ( s)r1r2r1 r2 cs微分方程为 :ducr1r2du r1uucrdtcr1 r2dtcr1(d) 由图解 2-1 （d）可写出u r ( s)r i r(s)i r (s)1i c (s)cs（ 5）1i c (s)csri r(s)ri c( s)（ 6）u c ( s)i c ( s) ri r (s)1i c ( s)cs（ 7）联立式（ 5）、（ 6）、（ 7），消去中间变量i r (s) ，可得：i c (s) 和u c (s)r2c 2 s22rcs1u r (s)r2c 2 s23rcs1微分方程为du c223duc1u22cdur222du r1u22rdtcrdtc rdtcrdtcr2-2 试证明题 2-2 图中所示的力学系统(a) 和电路系统 (b) 是相似系统（即有相同形式的数学模型）。解(a) 取a、b两点分别进行受力分析，如图解2-2(a)所示。对 a点有k 2 (x对b点有y)f1 ( yf2 (xy1 )y)k1 y1f1 ( yy1 )(2)(1)对式（ 1）、（ 2）分别取拉氏变换，消去中间变量y1 ，整理后得y( s)=f 1 f 2 s2k1k2( f 1k1f 2 ) s1 k2x (s)f1 f 2 s2( f1f 2f 1 )s1k1 k2(b) 由图可写出k1k 2k 2u c ( s)=u r ( s)r1r112c 2 sr1c1 s2整理得2c1sr11c1su c ( s) =r1 r2c1c2 s( r1c1r2c2 )s1u r (s)22r1r2c1 c s(r1c1r2c2r1c2 )s12-3 假设某容器的液位高度h 与液体流入量dhqr 满足方程h dts1 q ，rs式中 s为液位容器的横截面积，为常数。若 h 与 qr 在其工作点(qr 0 ,h0 )附近做微量变化，试导出h 关于qr 的线性化方程。解将h 在 h0 处展开为泰勒级数并取一次近似dh1hh0|hhh0h（ 1）代入原方程可得dt02h 0d(h0h) dt(h0s12 h0h)1 s(qr 0qr )（ 2）在平衡工作点处系统满足dh0 dth0qr 0（ 3）式（ 2），（ 3）相减可得h 的线性化方程s dhhqrdt2h02-4 试求题 2-3 图所示各信号x(t) 的象函数x ( s) 。解（ a）x(t )2x (s) =2s(tt 0 ) 1 es2t0 s（ b）x(t )a(ba )( tt1 )(bc)(tt 2 )c(tt 3 )x ( s) =1 a s(ba)et1s(bc) et2 sce t3 s （ c）x(t) =4 t t 244(tt 2t )4(t2t 2t st )4(tt )2t 2x ( s)t 2 s2 (12e 2e ts )2-5 求下列各拉氏变换式的原函数。(1)(2)x ( s)ess1x ( s)1s(s2)3 (s3)(3)解x ( s)s1s(s22s2)(1)x(t)et 1(2) 原式2( s12) 3t22t14( st2) 22t38( s2)32 t1124s3t113( s3)x（ t ）eee 4481e324(3) 原式 12ss2s22s2112 s2s1( s1) 2112(s11)21x(t ) 121 e t (sin t 2cost )2-6 已知在零初始条件下，系统的单位阶跃响应为统的传递函数和脉冲响应。c(t)12e2 tet，试求系解单位阶跃输入时，有r( s)1，依题意sc (s)1213s21ss2s1( s1)( s2)sg (s)c( s)r(s)3s2(s1)( s2)k (t)l 1 g( s)l 114s1s24e 2te t2-7 已知系统传递函数c( s)r( s)2s23s，且初始条件为2c(0)1 ， c(0)0 ，试求系统在输入r (t )1(t ) 作用下的输出c(t ) 。解系统的微分方程为d 2 c(t) dt 2dc(t )3dt2c(t )2r (t )（ 1）考虑初始条件，对式（1）进行拉氏变换，得s2c( s)s3sc(s)32c( s)2s（ 2）c(s)s2 s( s23s23s2)142ss1s2c(t )14e t2e 2 t2-8 求题 2-8 图所示各有源网络的传递函数u c (s) 。u r (s)解(a) 根据运算放大器“虚地”概念，可写出u c (s)r2u r (s)r1(b) (b)s2u c (s)r12c 2 s(1r1c 1 s)( 1r2 c 2 s)u r (s)r11c 1 s1r1c 1 sr12csr1r1c 1c 2(c) (c)u c (s)u r (s)2csr1r1 (1r2r2cs)2-9 某位置随动系统原理框图如题2-9 图所示，已知电位器最大工作角度qm 3300，功率放大器放大系数为k3 。（1） 分别求出电位器的传递函数（2） 画出系统的结构图；k0 ，第一级和第二级放大器的放大系数k1 ， k 2 ；（3） 求系统的闭环传递函数qc ( s)qr ( s) 。解(1) 电位器的传递函数e30180 0k 0qm330 011180 0根据运算放大器的特性，可分别写出两级放大器的放大系数为k3010 31101033 ，k 220103101032(2) 可画出系统结构如图解2-9 所示：k 0 k 1 k 2 k 3 k m(3) (3)qc ( s)qr ( s)s(tms1k 2 k 3 k mk t1)k 0 k 1 k 2 k 3 k mtm s1s(tms1)1tms21k 2 k 3 k m kt s1k 0 k 1 k 2 k 3 k mk 0 k 1 k 2 k 3 k m2-10 飞机俯仰角控制系统结构图如题2-10 图所示，试求闭环传递函数qc ( s)qr (s) 。解经结构图等效变换可得闭环系统的传递函数qc (s)qr (s)s3( 0.90.7 ( s 0.7k ) s20.6)(1.180.42k ) s0.682-11 已知系统方程组如下，试绘制系统结构图，并求闭环传递函数c( s) 。r(s)x 1 ( s)g1 ( s)r(s)g1 (s) g7 ( s)g8 (s)c( s)x 2 ( s)g2 (s) x1 (s)g6 (s) x 3 (s)x 3 ( s) x 2 ( s)c( s)g5 (s)g3 ( s)c( s)g4 (s)x 3 (s)解系统结构图如图解2-11 所示。利用结构图等效化简或梅逊增益公式可求出系统的闭环传递函数为c( s)g1g2 g3 g4r(s)1g2 g3 g6g 3g 4g5g1g 2 g3g 4 g7g1g 2g3g4 g82-12 试用结构图等效化简求题2-12 图所示各系统的传递函数c (s) 。r(s)解 （ a）c(s)r(s)g1g 2g3 g41g1 g2g3 g4g2g3g1g 2g3 g 4c(s)r(s)g1g21g2 hc(s)r(s)g1g2g31g1g 2g 2 g3g1 g2g3所以：（ b）所以：（ c）所以：（ d）所以：（ e）c(s)r(s)1 g1g2 h 1g1g2g3g 2 g3 h 2g1g 4g1g 2 g3g1g 4g 4 h 2所以：c( s)g4g1g2g3r( s)1g1g2 h 1g2 h 1g2 g3 h 22-13 已知控制系统结构图如题2-13 图所示，求输入r (t )3 1(t)时系统的输出c(t) 。解由图可得c(s)r(s)12s22s12( s1)2( s1)(s3)s22s1又有r( s)3s则c(s)2(s1)( s33)s231ss1s3即c(t )l 12s31s1s32 3e te 3t2-14 试绘制题 2 14图所示系统的信号流图。解2-15 试绘制题 2-15 图所示信号流图对应的系统结构图。解2-16 试用梅逊增益公式求2-12 题中各结构图对应的闭环传递函数。解 （ a）图中有 1条前向通路， 3个回路，有 1对互不接触回路p1g1g2g 3g 4，11， l1g1g2 ，l 2g3 g 4， l 3g 2 g3，1( l1l 2l 3 )l1l 2 ，c(s)p11g1g2 g3g 4r(s)1g1g2g3g4g 2g3g1g2 g 3g 4（ b）图中有 2条前向通路， 1个回路p1g1，11， p2g2，21， l1g2 h，1l1c( s)r( s)p11p22g1g 21g2 h（ c）图中有 1条前向通路， 3个回路p1g1g2g3，11， l1g1g2 ，l 2g 2 g3， l 3g1g2 g 3，1(l1l2l 3 ) ，c(s)r(s)p111g1g 2g1g2 g3g 2g3g1g2 g3（ d）图中有 2条前向通路， 5个回路p1g1g2 g3，11， p2g1g4，21，l1g1g2 h 1， l 2g2 g3 h 2，l 3g1g 2g3， l 4g1g 4 ，l 5g4 h 2，1(l1l2l3l4l 5 )，c(s)r(s)p11p221g1g2 h 1g1g 2g3g 2 g3 h 2g1g 4g1g 2 g3g1g4g4 h 2（ e）图中有 2条前向通路， 3个回路p1g1g2g 3，11， p2g 4，2，l1g1g2 h 1， l2g2 h 1， l3g2g3 h 2，1( l1l2l3 )，c( s)r( s)p11p2p11p2g41g1g2 h 1g1g 2g3g2 h 1g2 g3 h 22-17 试用梅逊增益公式求题2-17 图中各系统的闭环传递函数。解 （ a）图中有 1条前向通路， 4个回路p1g1g2g3g4，l1g2g3 h 111l2g1 g2 g3 h 3，l3g1g2 g3 g4 h 4，l4g3 g4 h 2，1( l1l2l3l4 )c(s)则有p11g1g2 g3g4r( s)1g2 g3 h 1g1g 2g3 h 3g1g2g3 g4 h 4g3g4 h 2（ b）图中有 2条前向通路， 3个回路，有 1对互不接触回路p1g1g2 g3，11， p2g 3g 4，21l11g1h 1 ，l1g1 h 1， l2g3 h 3， l3g1g2g3 h 1 h 2 h 3 ，1c( s)则有(l1p11l2l 3 )p22l1 l 2，g1g2g3g3 g4 (1g1 h 1 )r( s)1g1 h 1g3 h 3g1g2 g3 h 1 h 2 h 3g1 h 1g3 h 3（ c）图中有 4条前向通路， 5个回路p1g1， p2g1g 2， p3g2， p4g 2g1 ，l1g1， l 2g1g2， l 3g2， l 4g 2g1， l5g1g2 ，1则有c(s)r(s)23p114p221，p331( l1l 2p44l3l 4 )，g1g1g2g2g 2g12g1g2g1g 21g1g1g 2g 2g 2 g1g1g 21g1g23g1g 2（ d）图中有 2条前向通路， 5个回路p1g1g2，11， p2g 3，21，l1g2 h 1， l2g1g 2 h 2， l 3g1g 2， l4g3， l5g3 h 1g 2 h 2 ，1(l1l 2l3l 4l5 )，则有c(s)r(s)p11p22g1g2g31g 2 h 1g1g 2 h 2g1g 2g 3g 3 h 1g2 h 2（ e）图中有 2条前向通路， 3个回路，有 1对互不接触回路p1g1g2 g3，11， p2g4 g 3，21l1 ，l1g1g2 h 1， l 2g3 h 2， l 3g 2 h 3 ，1则有c(s)(l1p1l21p2l 3 )2l1 l 2，g1g 2 g3g4 g 3 (1g1g 2 h 1 )r(s)1g1g2 h 1g3 h 2g2 h 3g1g 2g3 h 1h 22-18 已知系统的结构图如题2-18 图所示，图中r(s) 为输入信号，n (s) 为干扰信号，试求传递函数c(s) ，r( s)c(s) 。n (s)解（ a）令n (s)0 ，求c(s) 。图中有 2条前向通路 ,3 个回路，有 1对互不接触回路。r(s)p1g1g 2，11， p2g1g3，21 l11g2 h ，l1g2 h， l 2g1g2， l 3g1g3 ，1c(s)则有(l1p1l21p2l3 )2l1l 3，g1g 2g1g3 (1g 2 h )r(s)1g 2 hg1g2g1g 3g1g 2g3 h令 r( s)0 ，求c( s)n ( s)。有 3条前向通路，回路不变。p11，11l1， p2g4g1g