圆与方程知识点总结典型例题

圆与方程-可编辑修改 -1. 圆的标准方程：以点 c(a, b) 为圆心， r 为半径的圆的标准方程是( xa) 2( yb) 2r 2 .特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x 2y 2r 2 .2. 点与圆的位置关系：(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：a. 点在圆内d r；b. 点在圆上d=r ；c. 点在圆外d r222(2). 给定点m (x 0 ,y0 ) 及圆c : ( xa) 2( yb) 2r 2 . m 在圆 c 内( x 0a)( y 0 b)r m 在圆 c 上（ x0a) 2( y 0b) 2r 2 m 在圆 c 外( x 0a) 2( y 0b) 2r 2（3 ）涉及最值：圆外一点b ，圆上一动点p ，讨论pb 的最值pb minbnbcrpb maxbmbcr圆内一点a ，圆上一动点p ，讨论pa 的最值pa minanracpa maxamrac思考：过此a点作最短的弦？（此弦垂直ac ）3. 圆的一般方程：x2y2dxeyf0 .22ded 2e 24f(1) 当 de4f0 时，方程表示一个圆，其中圆心c,，半径 r.222(2) 当 d 2e 24f0 时，方程表示一个点d ,e.22(3) 当 d 2e 2 4f0 时，方程不表示任何图形.注 ： 方 程ax 2bxycy 2dxeyf0 表 示 圆 的 充 要 条 件 是 ： b0 且 ac0 且d 2 e 24 af0 .2224. 直线与圆的位置关系：直线 axbyc0 与圆 ( xa)( yb)r圆心到直线的距离daabbca2b 21） dr直线与圆相离无交点 ；2） dr直线与圆相切只有一个交点 ；3） dr直线与圆相交有两个交点；弦长 |ab| =2r 2d2rdd=rrd还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组axbyc0x2y 2dxeyf求解，通过解0的个数来判断：（ 1）当0 时，直线与圆有2 个交点，直线与圆相交；（ 2）当0 时，直线与圆只有1 个交点，直线与圆相切；（ 3）当0 时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系（1 ）设两圆 c1 : (xa1 )2( yb1 )2r1与圆 c 2 : ( x2a 2 )2( yb2 )2r22，圆心距 d(a1a )22(b1b )22dr1r2外离4条公切线；dr1r2外切3条公切线 ；r1r2dr1r 2相交2条公切线；dr1r2内切1条公切线 ；0dr1r2内含无公切线 ；外离外切相交内切（2 ）两圆公共弦所在直线方程圆 c1 ： x2y2d1 xe1 yf10 ，圆 c2 ： x2y2d 2 xe2 yf20 ，则d1d2xe1e2yf1f20 为两相交圆公共弦方程.补充说明：若 c1 与 c2 相切，则表示其中一条公切线方程；若 c1 与 c2 相离，则表示连心线的中垂线方程.（3 ）圆系问题过两圆方程为2c1 ： xx2y2y2d xd1 xe ye1 yff1x20 和 c 2 ： x2y 2d xy2e yd 2xfe2 y0 （f20 交点的圆系1 ）补充：111222上述圆系不包括c2 ；2）当1 时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）过 直 线a xb yc 0 与 圆 x2y 2dxeyf0 交 点 的 圆 系 方 程 为x2y2dxeyfaxbyc06. 过一点作圆的切线的方程：(1) 过圆外一点的切线：k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即y 1y 0k( x1x0 )by1rk(ax1 )r21求解 k，得到切线方程【一定两解】例 1. 经过点 p(1 ， 2) 点作圆 (x+1) 2 +(y2) 2 =4 的切线，则切线方程为。(2) 过圆上一点的切线方程：圆 (xa)2 +(yb)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0a)(xa)+(y0 b)( yb) = r2特别地，过圆x 2y 2r 2 上一点p(x 0 , y 0 ) 的切线方程为x 0 xy 0 yr 2 .例 2. 经过点 p( 4， 8) 点作圆 (x+ 7) 2+(y+8) 2 =9 的切线，则切线方程为。7. 切点弦(1) 过c：(xa)2( yb)22r外一点p(x0 , y0 )作c 的两条切线， 切点分别为a、b ，则切点弦ab 所在直线方程为：( x0a )( xa)( y0b)( yb)r 28. 切线长：若 圆 的 方 程 为 (x a)2(yb) 2= r2 ， 则 过 圆 外 一 点p(x0 ,y0 ) 的 切 线 长 为d=(x 0a) 2+ ( y0b) 2r 2 9. 圆心的三个重要几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法例. 已知圆 c1 ： x2 +y2 2x =0 和圆 c2 ： x2 +y2 +4 y=0 ，试判断圆和位置关系， 若相交，则设其交点为a、b，试求出它们的公共弦ab 的方程及公共弦长。一、求圆的方程例 1 (06 重庆卷文 ) 以点 (2,1) 为圆心且与直线3 x4 y50 相切的圆的方程为()(a) (x2)2( y1) 23(b) ( x2) 2( y1) 23(c) (x2) 2( y1) 29(d) (x2)2( y1) 29例 2 (06安徽卷文) 直线xy1 与圆x2y 22 ay0 ( a0 ) 没有公共点， 则 a 的取值范围是()(a) (0,21)(b) (21,21)(c) (21,21)(d) ( 0,21)二、位置关系问题三、切线问题例 3 (06 重庆卷理 ) 过坐标原点且与圆x 21y24x2y5210 相切的直线方程为()(a)y3x 或 yx 31(b)y3x 或 yx 31(c)y3x 或 yx 3(d)y3 x 或 yx 3四、弦长问题例 4 (06 天津卷理 ) 设直线 axy30 与圆 ( x1) 2( y2)24 相交于a、b 两点，且弦 ab 的长为 23 ，则 a.五、夹角问题例 5 (06 全国卷一文 ) 从圆 x22xy 22 y10 外一点p(3,2) 向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()1(a)23(b)53(c)2(d) 0六、圆心角问题例 6 (06 全国卷二 ) 过点 (1,2 ) 的直线 l 将圆 (x2) 2y 24 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率 k.七、最值问题2例 7 (06 湖南卷文 ) 圆 xy24 x4 y100 上的点到直线xy140 的最大距离与最小距离的差是 ()(a) 30(b) 18(c) 62(d) 52八、综合问题例 8 (06 湖南卷理 ) 若圆 x 2y 24 x4 y100 上至少有三个不同的点到直线l : axby0 的距离为 22 ，则直线 l 的斜率 k 取值范围 圆的方程1. 方程 x2+y22（t+3 ）x+2 （14t2）y+16 t4+9=0 （tr ）表示圆方程，则 t 的取值范围是1a. 1 t7b. 1 t1c. 21t1d.1 t272. 一圆与 y 轴相切，圆心在直线x 3y=0 上，且直线y=x 截圆所得弦长为27 ，求此圆的方程 .3. 方程 x 2 y2 dx ey f 0（ d2 e2 4f 0 ）表示的曲线关于x + y=0 成轴对称图形，则（）a.d+e=0b.b. d+ f=0c.e+f=0d. d+ e+f=04. （2004 年全国，8）在坐标平面内，与点a（ 1，2）距离为 1 ，且与点 b（3，1）距离为 2 的直线共有（）a.1 条b.2 条c.3 条d.4 条5.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+ x 6y+3=0上两点p、q 关于直线kx y+4=0对称，则k= .6. （2004 年全国卷， 16 ）设 p 为圆 x2+y2=1 上的动点，则点p 到直线 3x 4y10=0 的 距离的最小值为 .7. 已知实数 x、y 满足方程 x2+y2 4x+1=0. 求（ 1）（3 ）x2+y2 的最大值和最小值.y的最大值和最小值； （ 2） yx 的最小值；x2经过两已知圆的交点的圆系2例1 求经过两已知圆：xy4 x60 和 x22y4 y60 的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。例 2 设圆方程为：(4)x 2(4) y 2(24) x(1240) y481640其中4求证：不论为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系例1 ：求由下列条件所决定圆x 2y24 的圆的切线方程；(1) 经过点 p(3,1) ，(2) 经过点q(3,0) ， (3) 斜率为1直线和圆1. 自 点 （ 3 ， 3 ） 发 出 的 光 线l射 到x轴 上 ， 被x轴 反 射 ， 其 反 射 线 所 在 直 线 与 圆x2y 24 x4 y70 相切，求光线l 所在直线方程2