函数的单调性的题型分类及解析

精品资料知识点函数的单调性1、增函数定义、减函数的定义：（1） ）设函数yf (x) 的定义域为a，区间ma，如果取区间m 中的任意两个值x1 , x2 ,当改变量xx2x10 时，都有yf ( x2 )f ( x1 )0 ，那么就称函数yf (x) 在区间 m 上是增函数， 如图（ 1 ）当改变量那么就称函xx2x10 时， 都有yf (x2 )f ( x1 )0 ，数 yf (x) 在区间 m 上是减函数，如图（2）注意： 单调性定义中的x1、x2 有什么特征： 函数单调性定义中的x1,x2 有三个特征 ,一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间1、 根据函数的单调性的定义思考：由f(x)是增(减)函数且 f(x1) f(x2)能否推出 x1x2)2、我们来比较一下增函数与减函数定义中x,y 的符号规律，你有什么发现没有？3、如 果 将 增 函 数 中 的 “当xx2x10 时 ， 都 有yf (x2 )f (x1 )0 ” 改 为 当x x2x10 时，都有yf ( x2 )f ( x1 )0 结论是否一样呢？4、定义的另一种表示方法f (x1 )f ( x2 )如果对于定义域i 内某个区间d上的任意两个自变量x1 ,x2,若0 即x1x2y 0 ，则函数y=f(x) 是增函数，若xf ( x1 )x1f (x2 ) x20 即y x0 ，则函数y=f(x) 为减函数。判断题： 已知f (x)1 因 为 f (1) xf (2)，所以函数f ( x) 是增函数 若函数f ( x) 满足f (2)f (3)则函数f ( x) 在区间2,3 上为增函数 若函数f ( x)在区间 (1,2 和 (2,3) 上均为增函数，则函数f ( x) 在区间 (1,3) 上为增函数 因 为 函 数f ( x)1 在 区 间, 0), (0,x上)都是 减 函 数 ， 所 以f ( x)1 在x(,0)(0,) 上是减函数 .通过判断题，强调几点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数 )，可以是定义域内某个区间 (如二次函数 )，也可以根本不单调(如常函数 )单调性是对定义域的某个区间上的整体性质，不能用特殊值说明问题。 函数在定义域内的两个区间a,b 上都是增 （或减） 函数， 一般不能认为函数在ab上是增（或减）函数（2） ）单调区间如果函数y f（ x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y f（ x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y f（ x）的单调区间 函数单调性的性质：（1） ）增函数：如果对于属于定义域i 内某个区间上的任意两个自变量的值f (x1 )f ( x2 )，当时，都有，0x1x2（2） ）减函数：如果对于属于定义域i 内某个区间的任意两个自变量的值，当时，f ( x1 )f ( x2 )都有，0x1x2（3） ） 函数的单调性还有以下性质1. 函数 y f（ x）与函数y f（ x）的单调性相反2. 当 f（ x）恒为正或恒为负时，函数y1f ( x)与 yf（ x）的单调性相反3. 在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数等4 . 如果 k0函数 k fx 与函数fx 具有相同的单调性。如果 ko，函数fx与函数fx具有相同的单调性。若fx 0 ，函数fx与函数fx具有相同的单调性7 。.函数f x 在 r 上具有单调性，则f x 在 r 上具有相反的单调性。复合函数的单调性。如果函数ug xxaubyfucbyd ，则 yfg x称为 x 的复合函数。解决复合函数的问题，关键是弄清复合的过程，即中间变量u 的定义域与值域的作用。复合函数的单调性的判断：同增异减。函数单调状况内层函数 ugx增增减减外层函数 yfu增减增减复合函数yfgx增减减增函数的单调性题型分类讲解题型一： .单调性讨论1. 讨论函数 y=(k-2)x+3(a 0) 在区间 r 内的单调性 .2. 讨论函数 f(x) ax(a 0)在区间 (-1， 1)内的单调性 .1x22解：设 -1 x1x2，则 f(x1 )-f(x 2 )ax121x1-ax2 1x2 a( x1(1x2 )(11x2 )(1x1 x2 ) x2 )2x1，x2 (-1，1) ，且 x1 x，x1-x20，1+x 1 x20，(1-x 21 )(1-x 22)0于是，当 a0 时， f(x1)f(x 2)；当 a 0 时， f(x 1)f(x2 ).故当 a0 时，函数在 (-1 ，1)上是增函数；当 a0 时，函数在 (-1 ，1)上为减函数.题型二： 单调性判断与证明1. 下列函数中，在区间（0， 1）上为增函数的是a y |x2 1|b.y2c y 2 x2 x 1d y |x| 1x题型三： 求函数的单调区间及该区间上的单调性1. 求下列函数的增区间与减区间(1)y |x2 2x 3|x22xy1x1yx22x32. 判断函数f (x)= x3 +1 在(,0) 上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x（0 ，），函数 f( x) 是增函数还是减函数？题型四： .已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性b若函数 y ax,y x在（0 ，）上都是减函数， 则函数 yax 2 bx 在（ 0, ）上是 （填单调性）设 y=f(x)的单增区间是(2 ，6) ，求函数y=f(2 x)的单调区间解：令t(x)2x, 则由已知得f (t)在t （2，6）上是增函数，解：令 t(x)=2-x, 则由已知得， f(t) 在区间是 (2， 6)，而t( x)2x （2，6）x （4，0）又t( x)2x在x(4,0)上是单减的，由复合函数单调性可知 ，精品资料f (2x)f t ( x)在x（ 4，0）上是单调递减的。精品资料f ( 2x)的单减区间是（4，0）设函数y f（ x）是定义在（1 ，1）上的增函数，则函数y f（x2 1）的单调递减区间是 已知函数f(x)=8 2 xx2 ，如果 g(x)= f( 2 x2 )，那么函数g(x)（）a 在区间 ( 1， 0) 上是减函数b在区间 (0 ， 1) 上是减函数c在区间 ( 2， 0) 上是增函数d在区间 (0 ， 2) 上是增函数设 yfx是 r 上的减函数，则yfx3的单调递减区间为.题型五：已知函数的单调性，求参数的取值范围。已知函数 f(x) x2+2(a-1)x+2在区间 (-，4上是减函数， 则实数 a 的取值范围是.已知函数y x22 x 1 在区间 3，a上是增函数， 则 a 的取值范围是 函数f (x)axx12在区间（ -2 ， +）上是增函数，那么a 的取值范围是（）a. 0a12b. a12c.a1d.a-2解： f(x)ax 1x 2a(x 2) 1 2 ax 212 ax 2 a.1 2 a1 2a任取 x1， x2 ( 2， )，且 x1x2，则 f(x1) f( x2)x1 2x2 2(1 2 a)(x2 x1)(x1 2)( x22).函数 f(x) ax 1x 2在区间 ( 2， )上为增函数， f(x1) f(x2)0 ，x1 20 ， x2 20 ， 1 2a. 即实数 a 的取值范围是21， .2函数 f( x) = ax 2 4( a 1) x 3 在2 ， 上递减，则a 的取值范围是 题型六：函数单调性的应用11 已知 f(x)在区间(， )上是增函数，a、br 且 ab0，则下列不等式中正确的是（）af(a) f(b) f(a)f(b)b f( a) f(b) f( a) f( b)c f(a) f(b) f(a)f(b)d f(a) f(b) f( a) f( b)12 定义在 r 上的函数 y=f(x)在(，2)上是增函数，且 y=f(x2)图象的对称轴是 x=0，则 （）af( 1) f(3)b f (0) f(3)c f ( 1)= f ( 3)d f(2) f(3)已知函数f(x)在区间 a， b上单调，且f (a)f(b) 0 ，则方程 f(x)=0 在区间 a， b内（）a至少有一实根c没有实根b至多有一实根d必有唯一的实根题型七：已知函数的单调性，解含函数符号的不等式。7. 已知函数f (x)是 r 上的增函数，a(0 ， 1) 、b(3 ， 1) 是其图象上的两点，那么不等式|f(x 1)| 1 的解集的补集是（）a (1 ， 2)b (1 ， 4)c ( ， 1) 4 ， ）d ( ， 1) 2 ， ）已知： f(x)是定义在 1 ，1 上的增函数，且f(x 1) f(x2 1) 求 x 的取值范围已知函数f(x)x2 4x， x 0， 4xx2， x f(a)，则实数 a 的取值范围是()a( ， 1) (2 ， )b ( 1,2)c ( 2,1)d ( ， 2) (1 ， )解析： f(x)x2 4x (x 2) 24 ， x 0，由 f(x)的图象可知f(x)在( ， )上是单4 x x2 (x2) 2 4， xf(a)得 2 a2 a，即 a2a 20 ，解得 2 a1. 故选 c.8. 已知 f(x)在其定义域r+上为增函数，f(2) = 1， f(xy)=f(x)+ f(y)，解不等式f(x)+f(x 2) 3解：f(xy)f ( x)f ( y)f ( x)为r 上的增函数f (4)f ( 2)f (2)2x0f (8)f ( 4)f (2)3x精品资料20x22x8精品资料又f ( x)f ( x2)f (x 22x)由题意有f ( x22 x)f (8)解得 x2，4题型八：已知函数的单调性求最值y2 x21x已知 x0 ，1 ，则函数的最大值为 最小值为 函数 y=x 21x 2 的值域为 题型九：综合题型已知定义在区间（0 ， +）上的函数 f(x) 满足 f(x1 ) =f(x 1)-f(x 2 )，且当 x 1 时， f(x) 0.x2（1 ）求 f(1)（2 ）判断 f(x（3 ）若 f(3)=-1, 解不等式f(|x|) -2.（1 ） f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。（2 ）当 0 x 1 ，所以 f(y) - f(x) = f(y/x) 9x 9 或 x -9.函数 f(x) 对任意的a、 br, 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x 0 时， f(x) 1.（ 1 ）求证： f(x) 是 r（ 2 ）若 f(4)=5, 解不等式f(3m 2-m-2) 3.（ 1 ）设 x1,x2 r ，且 x1 x2,则 x2-x1 0, f(x2-x1) 1. f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1 0.f（ x2） f(x1).f(x) 是 r 上的增函数 .（ 2 ）f（4 ） =f（ 2+2 ） =f（ 2 ） +f（ 2 ）-1=5 ，f（ 2）=3 ，原不等式可化为f(3m2-m-2) f(2),f(x) 是 r 上的增函数， 3m2-m-2 2,41, 433解得 -1 m,故解集为.设 f（x）的定义域为（0， +），且在（ 0，+ ）是递增的，f ( x )yf (x)f ( y)（ 1）求证： f（ 1） =0 ， f（ xy ） =f（ x） +f（ y）；1（ 2）设 f（ 2 ） =1 ，解不等式xf ( x)f ()2 。x3（1 ）证明：f () yf ( x)f ( y) ，令 x=y=1 ，则有： f（ 1） =f （1 ） -f （1 ） =0 ，f ( xy)xf () 1yf ( x)11f () yf (x) f (1)f ( y)f (x)f ( y) 。2（2 ）解：f ( x)f ()x3f ( x) f (1)f ( x3)f (x)f ( x3)f ( x3x) ，2=2 1=2f （ 2 ） =f（ 2 ） +f（ 2） =f（ 4），f ( x)f (1)x32 等价于：f ( x 23 x)f (4) ，且 x0 ，x-30 由 f（ x）定义域为（0， +）可得x( x3)x23x0 ， 40 ，又 f（ x）在（ 0， + ）上为增函数，x 23 x41x4 。又 x3 ，原不等式解集为：x|30 ，则 f(x)的定义域是 ；(2) 若 f(x)在区间 (0,1 上是减函数，则实数a 的取值范围是 解析：33(1) 当 a0 且 a 1 时，由 3 ax 0 得 x a，即此时函数f(x)的定义域是 ， a ；(2) 当 a 10 ，即 a1 时，要使f(x)在(0,1 上是减函数，则需3 a 10 ，此时 1 a 3.当 a 10 ，即 a0 ，此时 a0 时， f(x)x2，则 x1 x20 ， f(x1) f(x2) f(x1 ) f( x2) f(x1 x2)又 x0 时，f( x)0 ， f( x1 x2 )0 ，即 f(x1)x2，则 f(x1) f(x2) f( x1 x2 x2) f(x2) f(x1 x2) f(x2 ) f(x2) f(x1x2) 又 x0 时， f(x)0 ， f(x1 x2)0 ，即 f(x1) f(x2)， f(x)在 r 上为减函数(2) f( x)在 r 上是减函数， f(x)在 3,3 上也是减函数， f(x)在 3,3 上的最大值和最小值分别为f( 3) 与 f(3) 而 f(3) 3 f(1) 2 ， f( 3) f(3) 2. f(x)在 3,3 上的最大值为 2 ，最小值为 2.17. f(x)是定义在 ( 0 ， )上的增函数，且f(x ) = f(x) f(y)y（ 1）求 f(1) 的值（ 2）若 f(6)= 1 ，解不等式f( x 3 ) f( 1x) 2 解析： 在等式中 令xy0 ，