圆的对称性习题(有答案)

2圆的对称性一、选择题（共10 小题）1（ 2012 ?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心a （ 1，）b （ 0，）c （， 0）d （ 1，）2已知 o 中，弦 ab 长为， od ab 于点 d，交劣弧ab 于点 c ， cd=1 ，则 o 的半径是（）a 1b 2c 3d 43下列说法： 若1 与2 是同位角，则1= 2 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，其中正确的个数是（）a 0b 1c 2d 3与坐标原点o 重合，零刻度线在x 轴上），连接60 和 120 刻度线的一个端点p、q，线段 pq 交 y 轴于点 a， 则点 a 的坐标为（）精品资料4（ 2013 ?邵东县模拟）o 的半径为r ，若 aob= ，则弦ab 的长为（）ab 2rsin cd rsin 5. 已知矩形abcd 的边 ab=3 ，ad=4 ，如果以点a 为圆心作 a，使 b， c ，d 三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么 a 的半径r 的取值范围是（）a 3 r 5b 3 r 4c 4 r5d 无法确定6. 已知圆的半径为5cm ，圆心到弦的距离为4cm ，那么这条弦长是（）a 3cmb 6cmc 8cmd 10cm7. 半径为5 的 o，圆心在原点o，点 p（3， 4）与 o 的位置关系是（）a 在 o 内b 在o 上c 在o 外d 不能确定8. 一个点到圆周的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（）a 2.5 cm 或 6.5 cmb 2.5 cmc 6.5 cmd 5 cm 或 13cm9（ 2010 ?昌平区一模）如图，在半径为1 的o 中，直径ab 把o 分成上、下两个半圆，点c 是上半圆上 一个动点（ c 与点 a、b 不重合），过点 c 作弦 cd ab ，垂足为e，ocd 的平分线交 o 于点 p，设 ce=x ， ap=y ，下列图象中，最能刻画y 与 x 的函数关系的图象是（）abcd10 （ 2013 ?合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧， aoc为等边三角形，d 是上的一动点，则四边形aodc 的面积s 的取值范围是（）asb s csd s二、填空题（共10 小题）（除非特别说明，请填准确值）11 牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？12 一条弦ab 分圆的直径为3cm 和 7cm 两部分，弦和直径相交成60 角，则 ab= cm 13 若 o 的半径为13cm ，圆心 o 到弦 ab 的距离为5cm ，则弦ab 的长为 cm 14 已知点p 是半径为5 的o 内一定点，且po=4 ，则过点p 的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 15 若 a 的半径为5，圆心a 的坐标为（ 3， 4），点 p 的坐标是（ 5 ， 8），则点p 在 a 16 在下图所列的图形中选出轴对称图形： 17 作圆，使这些圆都经过线段ab 的两个端点a 和 b，这些圆的圆心所组成的图形是 18 以已知点o 为圆心，可以画 个圆19 如图， ab 为o 的直径， ad oc ， aod=84 ，则 boc= 20 如图， o 的弦 ab 、半径 oc 延长交于点d ， bd=oa ，若 aoc=105，则 d= 度三、解答题（共10 小题）（选答题，不自动判卷）21 已知： ab 交o 于 c、d ，且 ac=bd 请证明：oa=ob 22 如图， ab 是o 的直径， cd 是弦， ce cd 交 ab 于 e， df cd 交 ab 于 f，求证： ae=bf 23 如图， o 中， ab 是直径，半径co ab ， d 是 co 的中点， de ab ，求证：=224 已知 o 的半径为12cm ， 弦 ab=16cm （ 1）求圆心o 到弦 ab 的距离；（ 2）如果弦ab 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦ab 的中点形成什么样的图形？25 如图， abc 的三个顶点在0 上， ad bc ， d 为垂足， e 是的中点， 求证： oae= ead （写出两种以上的证明方法）26 如图， o 的直径 ab 和弦 cd 相交于点e，已知ae=1cm ， eb=5cm ， deb=60 ，（ 1）求 cd 的长；（ 2）若直线cd 绕点 e 顺时针旋转15 ，交 o 于 c 、d ，直接写出弦cd 的长27 已知：如图，在o 中， a= c，求证： ab=cd （利用三角函数证明）28 如图， cd 是 o 的直径，弦ab cd 于点 h ，若 d=30 ， ch=1cm ，求弦ab 的长29 已知：等腰 abc 内接于半径为6cm 的o ， ab=ac ，点 o 到 bc 的距离 od 的长等于2cm 求 ab 的长30 如图，在 o 内有折线oabc ，其中oa=7 ， ab=12 ， a= b=60 ，求 bc 的长参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题）1（ 2012 ?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的 中心与坐标原点o 重合，零刻度线在x 轴上），连接 60 和 120 刻度线的一个端点p、q ，线段 pq 交 y 轴于点 a，则点 a 的坐标为（）a （ 1 ，）b （ 0 ，）c （， 0 ）d （ 1 ，）考点： 圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形分析： 连接 oq 、op ，求出 poq 的度数，得出等边三角形poq ，得出 pq=oq=op=2，opq= oqp=60 ，求出 aoq 度数，根据三角形的内角和定理求出qao ，求出 aq 、oa ，即可得出答案解答：解：连接oq 、 po ， 则poq=120 60 =60 ，po=oq ，poq 是等边三角形，pq=op=oq=4cm=2cm ，opq= oqp=60 ，aoq=90 60 =30 ，qao=180 60 30 =90 ，aq=oq=2cm ，在 rt aoq 中，由勾股定理得：oa=，a 的坐标是（ 0 ，）， 故选 b点评： 本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点， 解此题的关键是构造三角形后求出oa 的长， 主要考查学生分析问题和解决问题的能力2. 已知 o 中，弦 ab 长为，od ab 于点 d，交劣弧 ab 于点 c ，cd=1 ，则 o 的半径是（）a 1b 2c 3d 4考点： 垂径定理；勾股定理分析： 连接 oa ，根据垂径定理求出ad ，设 o 的半径是r，则 oa=r ， od=r 1 ，在 rt oad 中，由勾股定理得出方程r 2= （r 1 ） 2+（）2，求出 r 即可解答：解：连接oa ，oc 是半径， oc ab ，ad=bd=ab=，设 o 的半径是r ，则 oa=r ， od=r 1，在 rt oad 中，由勾股定理得：oa 2=od 2+ad 2 ， 即 r 2=（ r1） 2+（） 2，r=2 ，故选 b点评： 本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想3. 下列说法： 若1 与2 是同位角，则1= 2 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形 平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（）a 0b 1c 2d 3考点： 垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质 分析： 根据只有在平行线中，同位角才相等，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断 ；画出反例图形即可判断 解答： 解： 只有在平行线中，同位角才相等，错误；等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，错误；对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，错误；等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，正确；如图ab 是o 直径， cd 是o 弦，ab 平分 cd ，但 ab 和 cd 不垂直， 错误； 故选 b点评： 本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应用，主要考查学生的辨析能力4（ 2013 ?邵东县模拟） o 的半径为r ，若 aob= ，则弦 ab 的长为（）ab 2rsin cd rsin 考点： 垂径定理；解直角三角形分析： 过 o 作 oc ab 于 c ，由垂径定理得出ab=2ac ，根据等腰三角形性质求出aoc= boc=aob=，根据 sin aoc=求出 ac=rsin，即可求出ab 解答：解：过 o 作 oc ab 于 c，则由垂径定理得：ab=2ac=2bc，oa=ob ，aoc= boc=aob=，在 aoc 中， sin aoc=，ac=rsin，ab=2ac=2rsin， 故选 a点评： 本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出ac 的长和得出ab=2ac 5. 已知矩形abcd的边 ab=3 ， ad=4 ，如果以点a 为圆心作 a，使 b ，c ，d 三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么a 的半径 r 的取值范围是（）a 3 r5b 3 r4c 4 r5d 无法确定考点： 点与圆的位置关系分析： 四边形 abcd 是矩形，则 abc 是直角三角形根据勾股定理得到： ac=5 ， b， c， d 三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是 b 在圆内，则半径 r 3，一定是点 c 在圆外， 则半径 r 5，所以 3 r 5 解答： 解： ab=3 ， ad=4 ，ac=5 ，点 c 一定在圆外，点b 一定在圆内，a 的半径 r 的取值范围是：3 r 5 故选 a点评： 本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小， 判定点和圆的位置关系6. 已知圆的半径为5cm ，圆心到弦的距离为4cm ，那么这条弦长是（）a 3cmb 6cmc 8 cmd 1 0cm考点： 垂径定理；勾股定理 专题： 计算题分析： 连接 oa ，根据垂径定理求出ac=bc ，根据勾股定理求出ac 即可解答： 解：连接oa ，oc ab ， oc 过圆心 o，ac=bc ，由勾股定理得：ac=3 （ cm ），ab=2ac=6 （cm ）故选 b点评： 本题主要考查对勾股定理，垂径定理等知识点的理解和掌握，能求出ac=bc和 ac 的长是解此题的关键7. 半径为5 的o，圆心在原点o ，点 p （3 ， 4）与 o 的位置关系是（）a 在o 内b 在o 上c 在o 外d 不能确定考点：专题： 分析：点与圆的位置关系；勾股定理计算题连接 op ，根据勾股定理求出op ，把 op 和圆的半径比较即可解答：解：连接op p（3 ， 4 ），由勾股定理得：op=5 ，圆的半径5，p 在圆 o 上故选 b点评： 本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出 op 长和能根据直线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键8. 一个点到圆周的最小距离为4cm ，最大距离为9cm ，则该圆的半径是（）a 2.5 cm 或 6.5 cmb 2.5 cmc 6 .5 cmd 5 cm 或 13cm考点： 点与圆的位置关系分析： 点 p 应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论当点p 在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点p 在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解解答： 解：当点 p 在圆内时，最近点的距离为4cm ，最远点的距离为9cm ，则直径是13cm ，因而半径是6.5cm ；当点 p 在圆外时， 最近点的距离为4cm ，最远点的距离为9cm ，则直径是5cm ，因而半径是2.5cm 故选 a点评： 本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键9（ 2010 ?昌平区一模）如图，在半径为1 的o 中，直径 ab 把 o 分成上、下两个半圆，点c 是上半 圆上一个动点（c 与点 a 、b 不重合），过点 c 作弦 cd ab ，垂足为 e ， ocd 的平分线交 o 于点 p ， 设 ce=x ， ap=y ，下列图象中，最能刻画y 与 x 的函数关系的图象是（）abcd考点： 动点问题的函数图象；垂径定理 专题： 压轴题；动点型分析： 连接 op ，根据条件可判断出po ab ，即 ap 是定值，与x 的大小无关，所以是平行于x 轴的线段要注意ce 的长度是小于1 而大于 0 的解答： 解：连接op ，oc=op ，ocp= opc ocp= dcp ， cd ab ，opc= dcp op cd po ab oa=op=1 ，ap=y=（0 x 1） 故选 a点评： 解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系， 尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用10 （ 2013 ?合肥模拟）如图，是半径为1 的圆弧， aoc 为等边三角形，d 是上的一动点，则四边形 aodc的面积 s 的取值范围是（）asb scsd s考点： 等边三角形的性质；垂径定理 专题： 压轴题；动点型分析： 根据题意，得四边形aodc的最小面积即是三角形aoc 的面积，最大面积即是当od oc 时四边形的面积要求三角形aoc 的面积，作cd ao 于 d 根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得cd=，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形doc 的面积，即是，则最大面积是解答： 解：根据题意，得四边形aodc的面积最小即是三角形aoc 的面积，最大面积即是当od oc时四边形的面积 作 ch ao 于 h，aoc 为等边三角形ch=saoc =；当 od oc 时面积最大，socd =，则最大面积是+=四边形 aodc 的面积 s 的取值范围是 s 故选 b点评： 此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积，然后根据等边三角形的性质以及三角形的面积公式进行计算二、填空题（共10 小题）（除非特别说明，请填准确值）11 牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？考点： 圆的认识分析： 根据圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案解答： 解：可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线， 就是一个圆点评： 本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键12 一条弦ab 分圆的直径为3cm 和 7cm 两部分，弦和直径相交成60角，则 ab=2cm 考点： 垂径定理分析： 根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径oa=5cm ，nd=3cm ，on=2cm ，利用勾股定理易求得nm=1cm ， om=cm ，进一步可求出am ，进而求出ab 解答： 解：根据题意画出图形，如图示， 作 om ab 于 m，连接 oa ，am=bm ，cd=10cm ， nd=3cm ，on=2cm ，onm=60 ， om ab ，mn=1cm ，om=，在 rt oma 中， am=，ab=2am=2点评： 本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边13 若 o 的半径为 13cm ，圆心 o 到弦 ab 的距离为5cm ，则弦 ab 的长为24cm 考点： 垂径定理；勾股定理 专题： 计算题分析： 在 obd 中，利用勾股定理即可求得bd 的长，然后根据垂径定理可得：ab=2bd ，即可求解解答： 解：连接ob ， 在 rt odb 中 ， od=4cm ， ob=5cm 由勾股定理得：bd 2=ob 2od 2=13 25 2=144 ，bd=12 ，又 od ab ，ab=2bd=2 12=24cm 故答案是24 点评： 本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、 弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形14 已知点 p 是半径为5 的o 内一定点，且po=4 ，则过点 p 的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是8 条考点： 垂径定理；勾股定理 专题： 推理填空题分析： 求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于op 的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即可求出答案解答： 解：过 p 点最长的弦是直径，等于10 ，最短的弦是垂直于po 的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是 6 ，10 和 6 之间有 7 ， 8 ，9 ，每个都有两条弦，关于op 对称，共6 条，1+1+6=8 ，故答案为： 8 条点评： 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏15 若 a 的半径为5 ，圆心 a 的坐标为（ 3 ， 4），点 p 的坐标是（ 5， 8），则点 p 在a内部考点： 点与圆的位置关系；坐标与图形性质分析： 首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆a 的半径求得点与圆的位置关系解答： 解： a 的坐标为（ 3， 4 ），点 p 的坐标是（ 5， 8 ），ap=2a 的半径为5 ，5 2点 p 在a 的内部故答案为：内部点评： 本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离16 在下图所列的图形中选出轴对称图形：考点： 圆的认识；轴对称图形分析： 根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断解答： 解： 都不是轴对称图形， 是轴对称图形，故答案为： 点评： 本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形17 作圆，使这些圆都经过线段ab 的两个端点a 和 b，这些圆的圆心所组成的图形是线段 ab 的垂直平分线考点： 圆的认识；线段垂直平分线的性质分析： 利用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到a、b 两点的距离相等，从而得到结论解答： 解： 圆上的所有点到圆心的距离相等，无论圆心o 在哪里，总有oa=ob ， 即：所有圆心到a、 b 两点的距离相等，到 a、b 两点的距离相等的点在线段ab 的垂直平分线上， 故答案为：线段ab 的垂直平分线点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等18 以已知点o 为圆心，可以画无数个圆考点： 圆的认识分析： 圆心固定，半径不确定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题 解答： 解：以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆，故答案为：无数点评： 此题考查：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识19 如图， ab 为 o 的直径， ad oc ， aod=84 ，则 boc=48 考点： 圆的认识；平行线的性质分析： 根据半径相等和等腰三角形的性质得到d= a，利用三角形内角和定理可计算出a，然后根据平行线的性质即可得到boc 的度数解答： 解： od=oc ，d= a ，aod=84 ，a=（ 180 84） =48 ，又ad oc ，boc= a=48 故答案为： 48 点评： 本题考查了有关圆的知识：圆的半径都相等也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质20 如图， o 的弦 ab 、半径 oc 延长交于点d ，bd=oa ，若 aoc=105 ，则 d=25度考点： 圆的认识；三角形内角和定理；三角形的外角性质分析： 解答此题要作辅助线ob ，根据 oa=ob=bd=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决 解答： 解：连接ob ，bd=oa ， oa=ob所以 aob 和bod 为等腰三角形， 设d=x 度，则 oba=2x ，因 为 ob=oa ，所以 a=2x ，在 aob 中， 2x+2x+ （ 105 x） =180 ，解得 x=25 ，即d=25 点评： 此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中三、解答题（共10 小题）（选答题，不自动判卷）21 已知： ab 交 o 于 c、d，且 ac=bd 请证明： oa=ob 考点： 垂径定理；线段垂直平分线的性质 专题： 证明题分析： 过 o 作 oe ab 于 e ，根据垂径定理求出ce=de ，求出 ae=be ，根据线段的垂直平分线定理求出即可解答： 证明：过o 作 oe ab 于 e，oe 过圆心 o，ce=de ，ac=bd ，ae=be ，oe ab ，oa=ob 点评： 本题考查了线段的垂直平分线定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中22 如图， ab 是 o 的直径， cd 是弦， ce cd 交 ab 于 e， df cd 交 ab 于 f，求证： ae=bf 考点： 垂径定理 专题： 证明题分析： 过 o 作 og cd ，由垂径定理可知og 垂直平分cd ，再由平行线分线段成比例定理即可求解 解答： 证明：过o 作 og cd ，由垂径定理可知og 垂直平分cd ，则 cg=dg ，ce cd ， df cd ， og cd ，ce og df ，cg=dg ，oe=of ，oa=ob ，ae=bf 点评： 本题综合考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行线，再利用平行线的性质解答23 如图， o 中， ab 是直径，半径co ab ， d 是 co 的中点， de ab ，求证：=2考点： 圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30 度角的直角三角形 专题： 证明题分析： 连接 oe ，推出 de oc ，求出 edo=90 ，根据 od=oc=oe ，求出 deo=30 ，求出 eoc ，根据 oc ab ，求出 aoc=90 ，求出 aoe=30 ，即可求出答案解答：证明：连接 oe ，ab oc， de ab ，de oc，edo=90 ，d 为 oc 中点，od=oc=oe ，deo=30 ，eoc=90 30=60 ，oc ab ，aoc=90 ，aoe=90 60=30 ，即aoe=30 ，coe=60 ，=2（圆心角的度数等于它所对的弧的度数）点评： 本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30 度角的直角三角形，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性比较强24 已知 o 的半径为12cm ，弦 ab=16cm （ 1）求圆心o 到弦 ab 的距离；（ 2）如果弦ab 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦ab 的中点形成什么样的图形？考点：专题：垂径定理；勾股定理计算题分析：（ 1 ）连接 ob ，过 o 作 oc ab 于 c ，则线段再根据勾股定理求出oc 即可；oc 的长就是圆心o 到弦 ab 的距离，求出bc ，（ 2 ）弦 ab 的中点形成一个以o 为圆心，以4cm 为半径的圆周解答：（ 1 ）解：连接 ob ，过 o 作 oc ab 于 c，则线段oc的长就是圆心o 到弦ab 的距离，oc ab ， oc 过圆心 o，ac=bc=ab=8cm ，在 rt ocb 中，由勾股定理得：oc=4（ cm ），答：圆心o 到弦 ab 的距离是4cm （ 2 ）解：如果弦ab 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦ab 的中点到圆心o 的距离都是 4cm ，如果弦 ab 的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦ab 的中点形成一个以o 为圆心， 以 4cm 为半径的圆周点评： 本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理和计算的能力，题型较好， 难度适中25 如图， abc 的三个顶点在0 上， ad bc ，d 为垂足， e 是的中点， 求证： oae= ead （写出两种以上的证明方法）考点： 圆心角、弧、弦的关系；三角形内角和定理 专题： 证明题分析： 方法一：连接ob，利用同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，三角形内角和定理，同弧所对的圆周角相等即可证明此题方法二：连接oe ，利用垂径定理可得oe bc ，再利用 ad bc ，可得 oe ad ，然后即可证明 解答： 证明：（ 1）连接 ob ，则aob=2 acb ， oab= oba ，ad bc ，oab=（ 180 aob ），=90 aob=90 acb= dac ，e 是弧 bc 的中点，eab= eac ，eao= eab oab= eac dac= ead （ 2 ）连接 oe ，e 是的中点，弧 be= 弧 ec ，oe bc ，ad bc ，oe ad ，oea= ead ，oe=oa ，oae= oea ，oae= ead 点评： 此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线，方法一：连接ob ，方法二：连接oe ，属于中档题26 如图， o 的直径 ab 和弦 cd 相交于点e，已知 ae=1cm ， eb=5cm ， deb=60 ，（ 1）求 cd 的长；（ 2）若直线cd 绕点 e 顺时针旋转15 ，交 o 于 c、d，直接写出弦cd 的长考点： 垂径定理；勾股定理分析： （ 1 ）作 oh cd 于 h ，连接 od ，求出 ab=6cm ，半径 od=3cm ，在 rt ohe 中， oe=2cm ，oeh=60 ，由勾股定理求出oh=cm ，在 rt ohd 中，由勾股定理得求出hd=cm ，由垂径定理得出dc=2dh ，代入即可；（ 2 ）求出 oe ， oeh=45 ，根据勾股定理求出oh ，在 rt ohd 中，由勾股定理得求出hd ，由垂径定理得出dc=2dh ，代入即可解答：解：（ 1）作 oh cd 于 h，连接 od，ae=1cm ， be=5cm ，e 在直径 ab 上，ab=1cm+5cm=6cm，半径 od=3cm ，在 rt ohe 中， oe=3cm 1cm=2cm ， oeh=60 ，oh=cm ，在 rt ohd 中，由勾股定理得：hd=cm ，oh cd ，由垂径定理得：dc=2dh=2cm ；（ 2 ）作 oh cd 于 h ，连接 od ，ae=1cm ， be=5cm ，e 在直径 ab 上，ab=1cm+5cm=cm6，半径 od=3cm ，若直线 cd 绕点 e 顺时针旋转15 ，oeh=60 15=45 ，在 rt ohe 中， oe=3cm 1cm=2cm ，oeh=45 ，oh=cm ，在 rt ohd 中，由勾股定理得：hd=（ cm ），oh cd ，由垂径定理得：dc=2dh=2cm ； 即 cd=2cm 点评： 本题考查了垂径定理，勾股定理，含30 度角的直角三角形性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目27 已知：如图，在o 中， a= c，求证： ab=cd （利用三角函数证明） 考点： 垂径定理；解直角三角形 专题： 证明题分析： 作 oe ab 于 e ，of cd 于 f ，设 o 半径为 r，根据 sina=，、inc=和a= c 求出 oe=of ，由勾股定理求出ae=cf ，由垂径定理得出dc=2df ， ab=2ae ，即可求出答案解答：证明：作oe ab 于 e， of cd 于 f设 o 半径为 r ， sina=， sinc=，oe=rsina ， of=rsinc ，a= c，sina=sinc ，oe=of ，由勾股定理得：cf 2=oc 2of 2， ae 2 =oa 2 oe2 ，ae=cf ，由垂径定理得：dc=2df ， ab=2ae ，ab=cd 点评： 本题考查了勾股定理，垂径定理， 解直角三角形等知识点，主要培养学生运用定理进行推理的能力28 如图， cd 是 o 的直径，弦ab cd 于点 h，若 d=30 ， ch=1cm ，求弦 ab 的长考点： 垂径定理；含30 度角的直角三角形；勾股定理分析： 连接 oa ，根据等腰三角形性质求出d= oad=30 ，求出 aoh=60 ，根据垂径定理求出 ab=2ah=2bh，求出 hao=30 ，推出 ao=2oh=c0，求出 oh=ch=1cm，ao=2cm ，在 rt aho中，由勾股定理求出ah 即可解答：解：连接 oa ，oa=od ，d= oad=30 ，aoh=30 +30 =60 ，ab dh ，aho=90 ， ab=2ah=2bh，hao=30 ，ao=2oh=c0，oh=ch=1cm，ao=2cm ，在 rt aho 中，由勾股定理得：ah=cm ，ab=2cm 点评： 本题考查了三角形的内角和定理，含30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算和推理的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目29 已知：等腰abc 内接于半径为6cm 的 o，ab=ac ，点 o 到 bc 的距离 od 的长等于2cm 求ab 的长考点： 垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理专题： 计算题分析： 连接 ad 、o