必修5-解三角形知识点归纳总结

.;.一. 正弦定理：第一章解三角形1. 正弦定理： 在一个三角形中， 各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即2. 变形：a sin ab sin bc sin c2r （其中 r是三角形外接圆的半径）1） 化边为角：a : b : csina: sinb : sin c ；a sin a ;bsin ba;sin a;b sin bc2 ）化边为角： a2 rsin a,sin cc b2 rsin b,sin cc 2 rsin c3 ）化角为边：sin aa ;sin bb ; sin aa ;sin bbsin ccsin cc4 ）化角为边：sin aa ,sin b 2rb ,sin cc2r2r3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：已知两个角及任意边，求其他两边和另一角； 例：已知角 b,c,a ，o解法 ： 由a+b+c=180， 求角a, 由正 弦定 理 absin a ; sin bb sin b ;c sin casina ; 求出 b 与 ccsin c已知两边和其中边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边 a,b,a,解法：由正弦定理 absinsina 求出角 b, 由 a+b+c=18o0求出角 c，再使用正b弦定理 asin a 求出 c 边csin c二. 三角形面积1. sabc1 ab sin c 21 bcsin a21 ac sin b 22. sabc1 (a2bc)r, 其中 r 是三角形内切圆半径 .3. sabcp( pa)( pb)( pc) ,其中 p1 (a2bc) ,4. sabcabc 4 r,r 为外接圆半径5. s abc2 r 2 sina sinb sin c,r 为外接圆半径三. 余弦定理1. 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2 倍，即a 2b 2c22bc cos ab 2a 2c22ac cos bc 2a 2b 22 ab cos c2. 变形：cos ab 2c 2a 22bccos ba 2c 2b 22accos ca 2b 2c22ab注意整体代入，如：a 2c2b2accosb123. 利用余弦定理判断三角形形状：设a 、 b 、 c 是c 的角、 c 的对边，则：若，所以为锐角若 c2b 2a 2a为直角若， 所以为钝角，则是钝角三角形4. 利用余弦定理可以解决下列两类三角形的问题： 1）已知三边，求三个角 2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角四、应用题1. 已知两角和一边（如a、b、c），由 a+b+c = 求 c，由正弦定理求 a、b2. 已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用a+b+c=，求另一角3. 已知两边和其中一边的对角（如a、b、a），应用正弦定理求b，由 a+b+c= 求 c，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况4. 已知三边 a、b、c，应用余弦定理求a、b，再由 a+b+c=，求角 c5. 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成 . 正北或正南，北偏东度，北偏西度，南偏东度，南偏西度.6. 俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角 , 视线在水平线下方的角叫俯角.视线铅仰角直线水平线俯角五、三角形中常见的结论1） 三角形三角关系： a+b+c=1802） 三角形三边关系：视线； c=180 (a+b)；两边之和大于第三边：，；两边之差小于第三边：，；3） 在同一个三角形中大边对大角：ab4) 三角形内的诱导公式：absin asin bsin( ab)sin c,cos( ab)cos c,tan( ab)tan c,tan ab2tan(c)22sin(c ) 22cccos() 2ccos()22sin() 25) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) sin( ) sincos cossin.(2) cos() cos cos ?sin sin .(3) tan() tan tan 1?tan tan.6) 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 22sincos .2222(2) cos 2cos sin2cos 112sin.(3) (3)sin21cos22;cos21cos222tan(4) tan 21tan 2 .7) 三角形的五心：垂心三角形的三边上的高相交于一点重心三角形三条中线的相交于一点外心三角形三边垂直平分线相交于一点内心三角形三内角的平分线相交于一点旁心三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点一、选择题1. 已知 a，b 两地的距离为10 km，b，c 两地的距离为20 km，现测得 abc120，则 a，c 两地的距离为 ()a10 kmb 103 kmc105 kmd 107 km2. 三角形三边长为a，b，c，且满足关系式 ( abc)( abc) 3ab，则 c 边的对角等于 ()a15b45c60d 1203. 在 abc中，三个内角 a， b， c所对的边分别为a，b，c，且 abc 13 2，则 sinasinbsinc()a3 21b 23 1c123d 13 24在 abc中， a 23 ， b 22 ， b 45，则 a为()a30或 150b60c60或 120d305在 abc中， ab3，bc13 ， ac4，则边 ac上的高为 ()a. 322b. 332c 3d3326根据下列条件解三角形：b30， a14，b7； b60， a 10， b9那么，下面判断正确的是()a只有一解，也只有一解b有两解，也有两解c有两解，只有一解d只有一解，有两解 二、填空题7在abc中， a，b 分别是 a和b 所对的边，若 a3 ，b1，b30，则 a的值是13. 已知 a，b， c 是abc中 a， b， c的对边， s 是 abc的面积若 a4，b5，s53 ，求 c 的长度14. abc中， ab10，而 cos c 是方程 2x2 3x20 的一个根，求 abc周长的最小值15. 在abc中， a， b， c的对边分别为 a，b，c，且满足 sinasinbsinc 2 56若 abc的面积为三、解答题3 394，则 abc的周长为 1在abc中，已知 a30， a，b 分别为 a，b 的对边，且 a4 解此三角形3 b，3一、选择题必修 5第一章解三角形强化练习1. 在 abc中，若角b 为钝角，则sin bsin a的值（）a大于零b小于零c等于零d不能确定2已知 abc中， a 4， b43 ， a30，则 b 等于 ()a 30b 30或 150c 60d 60或 1203已知 abc中， ab 6， a 30， b 120，则 abc的面积为 ()a 9b 18c 93d 18304. 在 abc 中，若 b2asin b ，则 a等于（）00a 30 或6000b 45 或60c 120 或60000d 30 或1505. 在 abc中，a: b : c1: 2:3，则 a : b: c 等于（）a 1: 2:3b 3: 2:1c 1:3 : 2d 2 :3 :16. 在 abc中，若lg sin alg cos blg sin clg 2 ，则 abc的形状是（）a直角三角形b等边三角形c不能确定d等腰三角形7. 在 200 米高的山顶上， 测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30、60，则塔高为 （）a. 400 米b.340033 米c. 2003 米米8. 海上有 a、b 两个小岛相距10 海里，从a 岛望 c 岛和 b 岛成 60的视角，从b 岛望 c 岛和 a 岛成 75的视角，则b、c 间的距离是()a.10海里b.5海里c. 56海里d.53海里二、填空题9. 在 abc中，若 b2, b30 0 , c135 0 , 则a 10. 在 abc中，若sin a2 cos b cos c, 则tan btan c 11. 在 abc中，若 a12. 在 abc中，若 a 29, bb 210