江苏省四校(南师附中、天一中学、海门中学、淮阴中学)2019届高三下学期期初调研检测数学试题Word版含答案

2019 届期初数学学科调研测试试卷数学 i6. 从 3 个男生、 2 个女生中随机抽取2 人，则抽中的 2 人不全是男生的概率是.7. 已知正四棱锥的体积为4，底面边长为2，则该正四棱锥的侧棱长为3注意事项8若将函数 y cosx3sinx 的图象向左平移m( m 0) 个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷共4 页，包含填空题( 第 1 题第 14 题，共 14 题)、解答题 (第 15 题第 209.数 m 的最小值为函数 f(x) a ex e x 在 x 0 处的切线与直线y 2x 3 平行，则不等式f(x2 1) f(1 x) 0题，共 6 题)两部分。本次考试时间为120 分钟。考试结束后，只要将答题卡交回。的解集为2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔填写在10. 首项为 7 的数列 an 满足： (n 1)an 1 (n 2)an 0，则 a2019 a2018 的值为答题卡上，并用2b 铅笔把答题卡上考试证号对应数字框涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再正确涂写。3. 答题时，必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。4. 如有作图需要，可用2b 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。11. 如图，在平行四边形abcd 中，已知 ab 2， ad 1， ab ac 5，则 cos cab(第 11 题)参考公式：1. 锥体的体积公式为：v 1sh，其中 s 是锥体的底面积，h 是锥体的高；是数据32. 一组数据x1 ， x2 ， xn 的方差为：s2 1n 2(xi x )，其中 xx1， x2， xn 的平均数n i 113. 在平面直角坐标系xoy 中， m， n 是两定点，点p 是圆 o： x2 y2 1 上任意一点，满足：pm 2pn, 则 mn 的长为一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分 请把答案填写在答 题卡相应位置上1已知集合a1 ，2， 3 ， b 2 ， 3， 4， 5 ，则 a b2已知复数z 满足 ( 1 i)z 3 i ( i 为虚数单位 ) ，则 z3.一组数据 96， 98， 100， 102， 104 的方差为.4. 一个算法的伪代码如下图所示，执行此算法，已知输出值y 为 2，则输入值x 为 read xif x 0 theny exelsey x2 1end if printy二、解答题：本大题共6 小题，共 90 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤5. 已知双(第 4 题)（ 共 10 页）（共 10 页）曲线 x2 y2 1(a 0)的一个焦点坐标为(2， 0)，则它的离心率为16（本小题满分14 分）如图，在直四棱柱abcd a1b1c1d 1 中，已知点m 为棱 bc 上异于 b， c 的一点 .（ 1）若 m 为 bc 中点，求证： a1c/ 平面 ab1m；（ 2）若平面 ab1 m平面 bb1c1c, 求证： ambc 18（本小题满分16 分）在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆c：x2 y21(a b 0)，过左焦点 f(3，0)的直线 l 与椭a2b2圆交于 a， b 两点当直线l x 轴时， ab 1（1） 求椭圆 c 的标准方程；（2） 若点 p 在 y 轴上，且pab 是以点 p 为直角顶点的等腰直角三角形，求直线ab 的方程（第 16 题）17.（本小题满分14 分）如图， l1 是经过城市o 与城郊小镇a 的东西方向公路，城市o 与小镇 a 相距 8 3km ，l 2 是经过城市 o 的南北方向的公路现准备在城市o 的西北区域内选址p，建造开发区管委会，并开发19（本小题满分16 分）已知函数 f(x) lnx m（ m r）的极大值为1x（第 18 题）三角形区域pao 与 pbo 其中， ab 为计划修建的经过小镇a 和管委会 p 的绕城公路 (b 在 l 2 上，且位于城市o 的正北方向 )， po 为计划修建的管委会p 到城市 o 的公路，要求公路po 与公路pa 的总长为 16km( 即 po pa 16)设 bao （ 1）记 paf () ，求 f()的函数解析式，并确定的取值范围；（ 2）当开发的三角形区域pao 的面积最大时，求绕城公路ab 的长（1） 求 m 的值；（2） 设函数 g(x) x 1，当 x01 时，试比较f(x0 )与 g(x0) 的大小，并说明理由； ex（3） 若 b 2 ，证明：对于任意k 0，直线 y kx b 与曲线 y f(x)有唯一公共点 el2北东b20（本小题满分16 分）p已知 q 为常数，正项数列 an 的前 n 项和 sn 满足： sn (an sn )q 1， n n* （ 1）求证：数列 an 为等比数列；l1ao（ 2）若q n*，且存在tn * ，使得3at2 4at1 为数列 an 中的项（第 17 题） 求 q 的值；n1 记 bn log a列an 2，求证：存在无穷多组正整数数组( r ， s， k) ，使得br， bs， bk 成等比数（ 共 10 页）（共 10 页）2019 届期初数学学科调研测试试卷数学 ii（附加题）注 意 事 项【必做题】第22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10 分）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线c 的方程为x2 2py(p 0)，过点 p(m， 0)( m0)的直线 l 与抛考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求物线 c 交于 a， b 两点，与y 轴交于点 q，设pa qa ，pb qb (， r)1. 本试卷共 2 页，均为解答题（第2123 题）。本卷满分为40 分，考试时间为30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2. 答题前， 请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔填写在答题卡上，并用2b 铅笔正确填涂考试号。3. 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要， 用 2b 铅笔作答， 并请加黑、 加粗， 描写清楚。（1）当 q 为抛物线c 的焦点时，直线l 的方程为y 1x 1，求抛物线c 的标准方程；3（ 2）求证： 为定值21【选做题】本题包括a 、b、c 共 3 小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a 选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分10 分） 1123（本小题满分10 分）（第 22 题）已知 m r，矩阵 a（ 1）求实数 m；的一个特征值为2m0设集合 m 1 ， 2，3， m ，集合 a， b 是 m 的两个不同子集，记|a b|表示集合 a b 的元素个数 若|a b| n，其中 1nm 1，则称(a, b)是 m 的一组 n 阶关联子集对(（ a，b）与（ b，（ 2）求矩阵 a 的逆矩阵 a 1 b. 选修 4 4：坐标系与参数方程 （本小题满分10 分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点p 是曲线 e: x cos，y 2 2cos（ 为参数）上的一点以原点o 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，以c 为圆心的圆的极坐标方程为2cos，求线段 pc 长的最大值c. 选修 4 5：不等式选讲 （本小题满分10 分） 已知 x0， 求证 ： x3 y2 3 3x 2ya）看作同一组关联子集对)，并记集合m 的所有 n 阶关联子集对的组数为an（1）当 m 3 时，求 a1 ，a2 ；（2）当 m 2019 时，求 an 的通项公式，并求数列 an 的最大项（共 4 页）（共 4 页）一、填空题江苏省海门中学2019 年期初数学学科调研测试试卷数学 i参考答案（ 2）过 b 作 bpb1m , 垂足为 p平面 ab1m平面 b1 bcc1平面 ab1m平面 b1bcc1b1 mbp平面 bb1c1cbp平面 ab1 m1. 2，32. 1+2i3. 84. 15. 2 336. 7107.38. 239.(0，1)10. 7211.5 714am平面 ab1 m12. (，e ee ， )13. 3e14.bpam1 1 11123直四棱柱 abcda b c d 中, bb平面 abcd25二、解答题15.（ 1）因为 cosb5 ， b(0 ， ，)5am平面 abcdbb1am又 bpbb1b所以 sinb1 cos2b1 (5)2 2 5bp, bb1平面 bb c c1 155在三角形 abc 中，sina sin( (b c) sin( b c) sin( b ) sinbcos cosbsin444am平面 bb1c1c又 bc平面 bb1c1cambc 14 分故 sina 2 5 2 (5) 210 5252108 1017.解：（1）如图，在pao 中，设 pax ，l 2则因为 popa16，所以 po16x ，北由正弦定理知ac bc ，所以 bc acsina10 2 2.6 分又因为 ao8 3 ，bao，bsinbsinasinb2 5所以由余弦定理得：东5（ 2）在三角形abc 中，22x(8 3)283x cos(16x)2 ，2 分pcosa cos( (b c) cos(b ) cosbcossin bsin，解得 x44 分l44423 cos1ao时，故 cosa5 2 2 5 2 3 10当poa(83) 2(16x)2x2 ，解得 x14 ，（第 17 题）5252102因为 cos2a 2cos2a 12(3 10 )2 1 4,此时， cos8 34 3 105sin2 a2sin acosa 23 10 10 3，1474310105设 0，且 cos2，则结合 p 位于城市 o 的西北区域内，b 在 l2 上，7因此 cos(2a ) cos2acos sin2asin 4 2 3 2214 分444525210且位于 o 北，得2 ，16证明：（ 1）连接 a1 b 交 ab1 于 n4直四棱柱abcda b c d中， aa b b 为平行四边形综上，公路pa 段长关于的函数解析式为pa，的取值范围为( ,) ，1 1111 123 cos2 n 为 a1 b 的中点4 3其中， 0，且 cos6 分又 m 为 bc 中点 mn /a1c又 a1c平面 ab1m2（ 2）由（ 1） pa243 cos7，结合 ao8 3 ，bao，2mn平面 ab1m ac / 平面 ab m .6 分得开发的三角形区域pao 面积： s( )1 aopasin21118 34sin（ 共 10 页）223 cos（共 10 页）16 3sin，23 cos202163cos (23 cos )3 sin83k2所以 s ( )2(23 cos )则x1x2214 k16 3(2 cos3) ，12k24xx(23 cos )2212214k12121 2由 s ( )0 ，得，因为 cos 343 ，所以 ， ab1k 2 | xx|1k 2( xx ) 24x x62因此可得下表：627616(1k2 )4(1k2 )2( ,) (,)1k214k14 k6662s ( )0s( )ab 中点为 m 的横坐标为43k214k 2所以，当时， s( )6maxs()163 ，6pm1(143k 22)2 |k14k22此时， abao8 316 ， 21(1 ) 2 |4 3k|4(1 k )22cos 362即开发的三角形区域pao 面积最大时，绕城公路ab 的长为 16km 14 分k k114k14k11c3直线 ab 的方程为y1(x2113) 或 y1(x3)1118 解：（ 1）由已知，得2 b1a综上：直线ab 的方程为y1(x3) 或 y1(x3) 或 y0 .16 分a2b 2c211111 m lnx1 ma 24解得19.解：（ 1） f (x), 令 f(x) 0 得： x e,x2b 21所以 f(x)在 (0， e1 m)单调增，在 (e1 m， )单调减 .22x所以 f(x) f(e1 m) 1 1, 得 m 1.3 分椭圆 e 的标准方程为：y414 分e1 mx 12 xx0（ 2）pab 为 p 为直角顶点的等腰直角三角形，设 ab 中点为 m ， ab2pm（ 2） f(x0) g(x0) lnx0 1 0 1 (lnx0 1 x00)x0（）直线ab 与 x 轴垂直， ab1， of3 ,不合题意，舍.x0ex0e( ) 直线 ab 与 y 轴垂直， ab4 ， p 为 (0, 2) 或 (0,2) ，适合题意。令 h(x) lnx 1 x2 x(x 1)，ex( ) 直线 ab 不与 x 轴垂直时，设ab : yk ( x3) ，则 h( x) 1 x2 x 1 ex x3 x2 x (ex x)(x3 x2)0，2xexxexxexx与椭圆方程4y21 联立得：(14k2 ) x28 3k 2 x12k 240 h(x)在(1， )单调增， h(x) h(1) 1 2 0设 a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 )e f(x0) g(x0)8 分ln x1(3) kxb可化为xln x1bln x1 x2bk0 x（ 共 10 页）令 h( x)k（共 10 页）x2x h (x)12 ln xb1 (b2 ln x1)所以 q2 ， qn ，3令 (x)x2 ln x1xx2x2x(x0)所以 3q24q4 ，即 qp t4 ， 结合 t ， pn * ，得 ptn * 当 pt3 时， qp t(3q24q)q3(3q 24q)(x)12 ln x ，令( x)0 得： xe xq(q 23q4)0 ，（ * ）不成立；523 (x) 在 (0,e) 增， (e,) 减当 pt1 时，（ *）得 3q 24qq ，解得 q0 或 q（舍）； (x)max(e)2 e当 pt2 时，（ * ）得 3q 24qq2 ，解得 q0 （舍）或 q2 ；综上， q2 10 分h ( x)1 (b2 lnx112)( b2 )0 由得 an 2n11，则 bn n 1=1+, 所以数列 bn 单调递减，x2xxenn h(x) 在 (0,) 单调递增。由 br，bs， bk 成等比数列，不妨设r s k，ln x1bb则 bs 2 br bk ，即 ( s1)2r1 k1 ,即 ( s1 2rk当 x1 时， h( x)kk2xxxsrk)sr1k1111所以 xb 且 x1 时， h( x )0所以 ks2(r 1) 当 0xk1 时， h( x)ln x1bk2sr rs2bk令 2sr s2 即 s 2r ，得k(2 r)2(r 1) 4r2 4r ex2xx222 0xb 且 x1 时， h( x )0 ke又 yh( x) 在 (0,) 的图象是不间断的， h(x)0 在 ( x1 , x2 ) 有唯一解，即对于任意k0 ，直线 ykxb 与曲线 yf ( x) 有唯一公共点16 分20（1）【证明】由 sn (an sn)q 1， n n * ，得： a1 1， ( 1q) sn qan 1 ( i ) ， 所以 ( 1 q) sn 1 qan 1 1 ( ii ) ， ( ii ) ( i )得： ( 1 q) an 1 qan 1qan 0，即 an 1 qan ，r所以存在无穷多组(r ， 2r ，4r 2 4r )(r n * )符合条件16 分因为 an 0，所以an 1 q， n n * ，且 q 0， an结合 q 为常数，得数列 an 为等比数列4 分（ 2）解：由（ 1）得 anqn 1，所以存在 tn * ，使得 3a4at 2t 1 是数列an中的项存在 t ， pn * ，使得 3a4aat 2t 1p存在 t ， pn * ，使得 3qt 14qtq p 1 ， 即 3q 24qq p t （ * ）因为 qn ，且 q1 时，（ * ）显然不成立，（ 共 10 页）（ 共 10 页）江苏省海门中学2019 年期初数学学科调研测试试卷数学 ii（附加题）参考答案21. 【选做题】【必做题】22. 解：（ 1）直线 l 的方程为y令 x0 ，则 y1，即 q (0,1)1 x1321a 解析：（1） f ( )11 =( +1)mpm 21 得： p2因为2是一个特征值 ，所以 f (2)0所以 m2 5 分11抛物线 c 的标准方程为x24 y4 分（2）设 a( x1 , y1 ), b(x2 , y2 )由 paqa, pbqb ( ,r)（ 2）由（ 1）得： a201 1所以 det( a)202001x1mx 1得：x2mx2x1m1所以x10x2m所以逆矩阵a 122210 分2212所以x1mxm2x1 x2x1x2211x22m(x1 x1 x2x2 )由题意，直线ab 的斜率存在，设直线ab : yk (xm)22b 解：由2 cos 得： x2y22x02 cos(x1)