恒成立与存在性问题的解题策略

;.“恒成立问题 ”与“存在性问题 ”的基本解题策略一、 “恒成立问题 ”与“存在性问题 ”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型;. .1、恒成立问题的转化：afx 恒成立2、能成立问题的转化：afx 能成立afxafxmax ； afxmin ； afx恒成立能成立afxafxminmax3 、 恰 成 立 问 题 的 转 化 ：afx在m上 恰 成 立afx的 解 集 为afx 在 m 上恒成立mafx 在cr m 上恒成立另一转化方法：若xd, f( x)a 在 d 上恰成立，等价于f (x) 在 d 上的最小值fmin ( x)a，若 xd,f ( x)b 在 d 上恰成立，则等价于f ( x) 在 d 上的最大值f max (x)b .4、设函数fx、 g x，对任意的x1a , b，存在x2c , d，使得fx1g x2，则f m in xgm in x5 、设函数fx、 g x，对任意的x1a , b，存在x2c , d，使得f x1g x2，则f m ax xgm a x x6 、 设 函 数 fx、 g x， 存 在 x1a , b， 存 在 x2c , d， 使 得 fx1g x2， 则f m a x xg m i n x7 、 设 函 数 fx、 g x， 存 在 x1a , b， 存 在 x2c , d， 使 得f x1g x2， 则f m i n xgm a x x8、设函数f x、 g x，对任意的x1a , b，存在 x2c , d，使得 fx1g x2，设 f(x)在区间 a,b 上的值域为a ， g(x) 在区间 c,d 上的值域为b, 则 ab.9、若不等式fxgx在区间 d 上恒成立，则等价于在区间d 上函数 yfx 和图象在函数 ygx图象上方；10、若不等式fxgx 在区间d 上恒成立，则等价于在区间d 上函数 yfx和图象在函数 ygx图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数r;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a 等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。二、恒成立问题解决的基本策略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。（一）两个基本思想解决“恒成立问题 ”思路 1、 m思路 2、 mf ( x)在xf ( x)在xd上恒成立d上恒成立m f ( x) maxm f ( x) min如何在区间d 上求函数f(x) 的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f（ x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。（二）、赋值型 利用特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例 1 如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=（） .8a .1b .-1c .2d. -2 .略解：取 x=0 及 x=，则 f(0)=f(),即 a=-1，故选 b.44此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.例（备用） 由等式 x4+a1x 3+a2x2+a3x+a 4= (x+1) 4+b1(x+1) 3+ b2(x+1) 2+b3(x+1)+b 4定义映射f： (a1,a2 ,a3,a4) b1+b2+b3+b4,则 f： (4,3,2,1) ()a.10b.7c.-1d.0略解 ：取 x=0 ，则a4=1+b 1+b2+b3+b 4,又 a4=1,所以 b1+b2+b3+b4 =0 ，故选 d（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a0若), 可得上述结论等价于y=f(x) 在m,n 内恒有 f(x)0 ，则根据函数的图象（直线）f (m)0f (n)0同理，若在 m,n 内恒有 f(x)2a+x 恒成立的x 的取值范围 .例 2对于满足 |a|2 的所有实数a,求使不等式x 2分析 ：在不等式中出现了两个字母：x 及 a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数 .显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在-2 ，2 内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2 -2x+10 在|a|2 时恒成立 ,设 f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1, 则 f(a) 在-2,2 上恒大于 0，故有：f (2)0x 2即4 x30x解得：3或x1f (2)0x 210x1或x1x3. 即 x ( , 1) (3,+ )此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n 上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在 x 轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。（1） 若二次函数y=ax2+bx+c(a 大0)于 0 恒成立，则有a0且0（2） 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。类型 1：设f ( x)ax 2bxc( a0) 在 r 上恒成立，（1）f ( x)0在 xr 上恒成立a0且0 ；（2）f (x)0在xr 上恒成立a0且0 。类型 2：设f ( x)ax 2bxc(a0) 在区间 , 上恒成立（1）当 a0 时，f ( x)0在x, 上恒成立b2a或bb2a或2a，f ()00f ()0f (x)0在x,上恒成立f ()0f ()0（ 2）当 a0时，f ( x)0在x, 上恒成立f ()0f ()0f ( x)0在x,上恒成立b2a或bb2a或2af ()00f ()0类型 3：设f (x)ax 2bxc(a0) 在区间(- , 上恒成立。f(x)0a0 且且 f()0 f(x)0a0 且且 f()0a0,0 或-b/2a0 f(x)0a0,0 或-b/2a且 f()g(a) 恒成立，则g(a)f(x) min ;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)f(x) max.( 其中 f(x) max 和 f(x) min 分别为 f(x) 的最大值和最小值)例 5.已知三个不等式x24 x30 ， x26x80 ，2x 29 xm0 要使同时满足的所有x 的值满足，求m 的取值范围 .略解：由得2x3; 对任意实数x，不等式 x1x2a恒成立，求实数a ,构造函数，画出图象，得a3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数， 作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例 8. 设常数 a r,函数 f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x. 若函数 y=f(x) 与 y=g(x) 的图像有公共点，则a 的取值范围为。解： 1） a=0x=a/2=0 时， f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a a/2=x=0 时， f(x)=3x+(2x-a)=5x-a ，最小值为 -a=2 则与 g(x) 有交点，即： -2=a0x=0 时 ， f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a 0=x=a/2 时， f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值 a=2 时与 g(x) 有交点，即： 0a=2综上所述， -2=a=2 时 f(x)=3|x|+|2x-a| 与 g(x)=2-x 有交点。三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。（一）换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x，不等式恒成立，求a 的取值范围。解： 因为的值随着参数a 的变化而变化，若设，则上述问题实质是“当 t 为何值时，不等式恒成立 ”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t 的不等式组：。 解得，即有，易得。2、设点 p（ x，y）是圆 x2( y1) 24 上任意一点，若不等式x+y+c0 恒成立，求实数c 的取值范围。（二）分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角总有成立，求m 的范围。解： 此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立。根据边界原理知，必须小于f ()cos2 cos的最小值，这样问题化归为怎样求2的最小值。因为f ()cos 2cos2即时，有最小值为0，故。（三）变更主元，简化解题过程4、若对于，方程都有实根，求实根的范围。解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根， 再由 m 的范围来确定根x 的范围， 但这样会遇到很多麻烦，若以m 为主元，则，由原方程知，得又，即解之得或。5、当 a1 时，若不等式x 2( a6) x93a0 恒成立，求x 的取值范围。（四）图象解题，形象直观6、设 x(0，4 ，若不等式x( 4x)ax 恒成立， 求 a 的取值范围。yy2解：若设 y1x(4x) ，则为上半圆。y 1设，为过原点，a 为斜率的直线。在同一坐标系内作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a 的取值范围为。04x7、当 x(1,2)时，不等式 (x-1) 2log ax 恒成立，求a 的取值范围。解：设 y 1=(x-1) 2 ,y2=log ax,则 y1 的图象为右图所示的抛物线要使对一切x(1,2),y 11,并且必须也只需当x=2 时 y2 的函数值大于等于y 1 的函数值。故 log a21,10, 注意到若将等号两边看成是二次函数一交点即可。y= x 2+4x 及一次函数y=2x-6a-4 ，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯解：令 y1=x 2+4x=（ x+2 ） 2-4,y 2=2x-6a-4,y1 的图象为一个定抛物线有唯一交点，则直线必须位于当直线为l 1 时，直线过点（y 2 的图象是k=2 ，而截距不定的直线，要使 y1 和 y 2 在 x 轴上方l1 和 l2 之间。（包括-4，0），此时纵截距为l1 但不包括l2）-8-6a-4=0,a=2 ;当直线为l 2 时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-4=0 ， a=22 a 的范围为 2,)33（五）合理联想，运用平几性质9、不论 k 为何实数，直线与曲线恒有交点，求a的范围。分析： 因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是 比较困难的。若考虑到直线过定点a （ 0， 1），而曲线为圆 , 圆心 c（ a， 0），要使直线恒与圆有交点，那么定点a(0,1) 必在圆上或圆内。解：，c（ a， 0），当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点 a（0，1）必在圆上或圆内， 即点 a（0，1）到圆心距离不大于半径，则有，得。（六）分类讨论，避免重复遗漏10、当时，不等式恒成立，求x 的范围。解：使用的条件，必须将m 分离出来，此时应对进行讨论。当时，要使不等式恒成立，只要， 解得。 当时 ， 要 使 不 等 式恒 成 立 ， 只 要， 解 得。 当时 ， 要 使恒 成 立 ， 只 有。综 上 得。解法 2：可设，用一次函数知识来解较为简单。我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：m( x21)(2 x1)0 ，；令f ( m)m(x 21)(2 x1) ，则2m2 时，f (m)0 恒成立，所以只需f (f ( 2)2)0即02( x22(x 21)(2 x(2 x1)00，所以x 的范围是x(17131)1)2,2) 。此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n 上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可.11、当 1x解： a3 时，不等式3xx 22 ax60 恒成立，求实数a 的取值范围。x 2当1x3时， x23x2326 ，当 x23，即 xx6 时等号成立。故实数 a 的取值范围 : a6（七）构造函数，体现函数思想12、（ 1990 年全国高考题）设，其中 a 为实数， n为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a 的取值范围。解：本题即为对于，有恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求a 的范围，可先将a 分离出来，得，对于恒成立。构造函数，则问题转化为求函数在上的值域。由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数。于是有的最大值为：，从而可得。（八）利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：m,nfa, ga，则 fam 且 gan，不等式的解即为实数a 的取值范围。例 13、当 x1 ,33时， log a x1 恒成立，求实数a 的取值范围。解：1log a x1a3111（ 1）当 a1时，axa ，则问题转化为,3, a3 a11a3（ 2）当 0a1时， ax11，则问题转化为,3a, 1a3a130a1综上所得：0aa1 或 a333a133a四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。2a1、已知函数f (x)x2ax1 ， g( x)，其中 ax0 ， x0 对任意 x11,2, x2 2,4 ，都有f (x1 )g(x2 ) 恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】思路、对在不同区间内的两个函数即可简解：令n(a)=gmax(x)=a/2 ；令 m(a)=f min(x),f(x)=(x-a) 2+1-a 2,f ( x) 和 g ( x)分别求最值， 即只需满足fmin(x)gmax(x)故 (1)对称轴 x=a1，即或 0an(a) 解得 a4/5,（注意到a的范围）从而得a 的范围： 0a2 时， m(a)= f min(x)=f(2)=5-4a ，由 m(a)n(a)解得 an(a)解 得 a117或4117a4，（注意到a 的范围）从而得a 的范围 1a2 ： ;综合（ 1）（ 2）（3）知实数 a 的取值范围是：(0，4/5) 1,2x2 、 已 知两 函 数f ( x)x2 ，g(x)12m ， 对 任 意 x10,2， 存 在 x21,2， 使得f ( x1 )g x2，则实数m 的取值范围为x解析： 对任意 x10,2，存在 x21,2，使得f ( x1 )g x2等价于g( x)122m 在 1,2 上的最小值14m不大于f ( x)x在 0,21上的最小值0，既m 40 ， m14题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来） 题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间d 上存在实数x 使不等式fxa 成立,则等价于在区间d 上 fxmaxa；若在区间d 上存在实数x 使不等式fxb 成立,则等价于在区间d 上的fx minb .1、存在实数x ，使得不等式x3x1a23a 有解，则实数a 的取值范围为 。解：设fxx3x1 ，由fxa23a 有解，a 23afxmin ，又 x3x1x3x14 ， a23a4 ，解得 a4或a1。1、求使关于p 的不等式x2px1p2 x在 p -2,2 有解的 x 的取值范围。解：即关于p 的不等式( x1) px22 x1 0 有解 ,设fpx1 px22x1 ，则fp在-2,2 上的最小值小于0。(1) 当 x1 时， f(p) 关于 p 单调增加，故fmin(p)=f(-2)=x 2-4x+30, 解 得 1x3; (2) 当 x1 时， f(p) 关于 p 单调减少，故f min(p)=f(2)=x 2-10, 解得 -1x1 ；(3) 当 x=1 时， f(p)=0, 故 f min(p)=f(p)1(m0) 有解；若命题p 和命题 q 都是真命题，求m 的值范围。解： (1)由 p 真得：| x1x 2 |a28 ，注意到a 在区间 -1,1,| x1x2 |max3 ,由于 |m2-5m- 3| 1|-xx 2|对任意实数a -1,1 恒成立，故有解得：m-1 或 m6或 0m5| m 25m3 | x1x2 |max3(1) 由 q 真， 不等式 |x-2m|-|x|1(m0) 有解，得（ |x-2m|-|x|） max=2m1, 解得： m1/2由于（ 1）（ 2）都是相公命题，故m 的值范围： 1/2m5或 m6.举例 （ 1）已知不等式4 xa2 x20对于 x1,）恒成立，求实数a 的取值范围 .（ 2）若不等式4 xa2 x2 0 对于 a(,3恒成立，求实数x 的取值范围 .分析： （ 1）由4 xa 2 x20 得： a2 x2x 对于 x21,）恒成立，因21 ，所x2以 2x22 x22 ，当 2 x2 时等号成立 .所以有 a22 .（ 2 ）注意到4 xa2 x20 对于 a(,3恒成立是关于a 的一次不等式.不妨设xf ( a)2 xa( 4x2) ，则f (a) 在 a(,3上单调递减，则问题等价于f (3)0 ，所以4x3 2 x202x2 或 21 ，则 x 取值范围为(,0)(1,) .小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。 不等式 fxm 对 xi 时恒成立f max ( x)m ?， xi 。即 fx 的上界小于或等于m ； 不等式 fxm 对 xi 时有解fmin ( x)m ?， xi 。 或 fx 的下界小于或等于m ； 不等式 fxm 对 xi 时恒成立 不等式 fxm 对 xi 时有解f min (x) fmax ( x)m ?， xi 。即 fx 的下界大于或等于m ；m ， xi . 。 或 fx 的上界大于或等于m ；高中数学难点强化班第四讲（140709）课后练习答案：一填空选择题（每小题6 分，共 60 分）1 、 对 任 意 的 实 数 x ， 若 不 等 式x1围。x2a恒 成 立 ， 那 么 实 数 a 的 取 值 范答案： |x+1|-|x-2|-|(x+1)-(x-2)|=-3, 故实数 a 的取值范围：a-32、不等式sin 2 x4sin x1a0 有解，则 a 的取值范围是解：原不等式有解asin 2 x4sin x21sin x231sin x1 有解，而2sin x232 ，min所以 a2 。3. 若对任意 xr, 不等式 | x |ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（）(a)a1(b)| a |1(c)| a |1（ d） a1解析 ：对xr, 不等式 | x |ax 恒成立yyax| x |yy| x |yax则由一次函数性质及图像知1答案：选ba1 ，即 | a |1 。xo4. 当 x(1,2) 时，不等式x2mx40 恒成立，则m 的取值范围是.解析 :当 x(1,2) 时，由x2mx40 得 mx24. 令xf ( x)x244xxx，则易知x24f ( x)在 (1,2) 上 是 减 函 数 ， 所 以 x1,2 时f ( x)maxf (1)5 ， 则()m i n5 xm5.5. 已知不等式ax23 x(a1)x2xa1 对任意 a(0，) 都成立，那么实数x 的取值范围为分析： 已知参数 a 的范围，要求自变量x 的范围，转换主参元x 和 a 的位置，构造以a 为自变量 x 作为参数的一次函数g( a) ，转换成a(0，) ， g( a)0 恒成立再求解。解析 ：由题设知“ax23 x(a1)x2xa1 对a(0，) 都成立，即a( x22)x22x0 对a(0，) 都成立。设g (a)(x22) ax22 x （ ar ），则 g (a) 是一个以 a 为自变量的一次函数。x220 恒成立，则对xr，g( a) 为 r 上的单调递增函数。所以对a(0，) ， g( a)0 恒成立的充分必要条件是g (0)0 ，x22x0 ，2x0 ，于是 x 的取值范围是 x |2x0 。6. 已知函数fx2mx22 4mx1, gxmx ，若对于任一实数x ，f ( x)与 g( x) 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（)a (0 ， 2)b (0 ， 8)c(2 ， 8)d ( ， 0)分析：f ( x)与 g( x)的函数类型，直接受参数m 的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。解析 ：当 m0时，f (x)8x10 在 (1,) 上恒成立，而8yg( x)0在 r 上恒成立，显然不满足题意；( 如图 1)1g(x)0当 m0 时，g( x) 在 r 上递减且g( x)mx0 只在 (,0) 上恒成立，0x而 f (x) 是一个开口向下且恒过定点（0， 1）的二次函数，显然不满足题意。f ( x)8x1y图 1当 m0 时，g( x) 在 r上递增且g( x)mx0 在 (0,) 上恒成立，f (x)1而 f (x) 是一个开口向上且恒过定点（0， 1）的二次函数，要使对任一实0x数 x ，fx与 gx 的值至少有一个为正数则只需恒成立。 ( 如图 3)f (x)0 在 (,0 上g (x)mx图 2fxy4m04mg ( x )则有2 m4(4或m) 28 m02m0 解得 4m8 或 0m4 ，1ox综上可得 0m8 即 m(0,8)。 故 选 b。图 3、已知两函数fx7x