高中数学必修一第一章复习参考题及解答

高中数学必修一第一章复习参考题及解答（人教 a 版）a 组1. 用列举法表示下列集合：（ 1） a2 x | x9 ；（ 2） b xn |1x2 ；（ 3） c x | x23 x20 .解：（ 1）方程x29 的解为 x3, x3 ，即集合a3,3 ；12（ 2） 1x2 ，且 xn ，则 x1,2 ，即集合b1,2 ；（ 3）方程x23 x1220 的解为 x1, x2 ，即集合 c1,2 2. 设 p 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？（ 1） p | papb ( a, b是两个定点 ) ；（ 2） p | po3cm(o是定点 ) .解：（ 1）由 papb ，得点 p 到线段 ab 的两个端点的距离相等， 即 p | papb 表示的点组成线段ab 的垂直平分线；（ 2） p | po3cm表示的点组成以定点o 为圆心，半径为3cm的圆3. 设平面内有abc ，且 p 表示这个平面内的动点，指出属于集合 p | papb p | papc 的点是什么 .解：集合 p | papb 表示的点组成线段ab 的垂直平分线， 集合 p | papc 表示的点组成线段ac 的垂直平分线，得 p | papb p | papc 的点是线段ab 的垂直平分线与线段ac 的垂直平分线的交点，即abc 的外心4. 已知集合a x | x21 ， b x | ax1 . 若 ba，求实数 a 的值 .解：显然集合a1,1，对于集合b x | ax1 ，当 a0时，集合b，满足 ba，即 a0 ；111当 a0时，集合b ，而 ba，则aa1 ，或1 ， a得 a1，或 a1 ，综上得：实数a 的值为1,0 ，或 15. 已知集合a( x, y) | 2 xy0 ， b( x, y) | 3xy0 ， c( x, y) | 2 xy3 ，2xy03xy0求 ab ， ac ， (ab)( bc) .2xy33xy02xy3(0,0),(3 ,9)55解：集合ab( x, y) |(0,0)，即 ab(0,0)；集合 ac(x, y) |2xy0，即 ac；集合 bc(x, y) |39) ；(,55则 ( ab)(bc) .6. 求下列函数的定义域：（1） yx2x5 ；（2） yx4 .| x |5解：（ 1）要使原式有意义，则x20，即 x2 ，x50得函数的定义域为2,) ；（ 2）要使原式有意义，则x40| x |50，即 x4 ，且 x5 ，得函数的定义域为4,5)(5,) 7. 已知函数f ( x)1x ，求：1x（ 1）f (a)1(a1) ；（ 2）f ( a1)(a2) .解：（ 1）因为1xf ( x)，1x所以 f(a)1a ，得1af (a)11a1a12，1a即 f (a)12；1a（ 2）因为f (x)1x ，1x所以 f ( a1)1( a1)a，即 f (a1)1a1a2aa28. 设f (x)1x21x2，求证：（ 1） f (x)f ( x) ；（2）1f () xf (x) .1x21(x)21x2证明：（ 1）因为f ( x)2 ， 所 以 f (x)22f ( x) ， 即 f (x)f ( x) ；（ 2）因为f ( x)1x1x22，所以1f ()1(11()x1x)1x21x22f ( x) ， 即1f ()f ( x) .1xx1()2x1xx9. 已知函数2f ( x)4 xkx8 在5,20 上具有单调性，求实数k 的取值范围 .解：该二次函数的对称轴为x k ，函数82f ( x)4 xkx8 在 5,20 上具有单调性，kk则20 ，或5 ，得 k160 ，或 k40 ，即实数 k 的取值范围为k160 ，或 k40 8810. 已知函数y x，2（ 1）它是奇函数还是偶函数？（ 2）它的图象具有怎样的对称性？（ 3）它在 (0,) 上是增函数还是减函数？22（ 4）它在 (,0) 上是增函数还是减函数？解：（ 1）令f ( x)x ，而 f (x)(x) 2x 2f ( x) ， 即函数y x是偶函数；（ 2）函数（ 3）函数yx的图象关于y 轴对称；22yx在 (0,) 上是减函数；（ 4）函数2yx在 (,0) 上是增函数b 组1. 学校举办运动会时，高一（ 1）班共有 28 名同学参加比赛，有15 人参加游泳比赛，有 8 人参加田径比赛，有14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3 人，没有人同时参加三项比赛. 问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则 1581433x28 ，得 x3 ，只参加游泳一项比赛的有15339 （人），即同时参加田径和球类比赛的有3 人，只参加游泳一项比赛的有9 人2. 已知非空集合a xr | x2a ，试求实数 a 的取值范围 .解：因为集合a，且x20 ，所以 a0 3. 设全集 u 1,2,3,4,5,6,7,8,9， cu ( ab)1,3 ， a(cu b)2, 4，求集合 b .解： 由 cu (ab)1,3，得 ab2, 4, 5, 6, 7, 8, 9， 又 a(cu b)2, 4，所以集合b5, 6, 7, 8, 9.4. 已知函数f ( x)x( xx( x4), x4), x0 . 求 f0(1)，f (3) ，f (a1) 的值 .解：当 x0 时，f ( x)x(x4) ，得f (1)1(14)5 ；当 x0 时，f ( x)x(x4) ，得f (3)3(34)21；f (a1)(a1)(a(a1)(a5), a13), a15. 证明：（1） 若f ( x)axb ，则f ( x1x2 )2f (x1)f (x2 )；2（2） 若g( x)2xaxb ，则g( x1x2 )2g( x1 )g(x2 ).2证明：（ 1）因为f ( x)axb ，得f ( x1x2 )a x1x2ba( xx )b，12222f ( x1)f ( x2 )ax1bax2ba ( xx )b，12222所以 f ( x1x2 )22f ( x1 )f ( x2 )；2（ 2）因为g (x)xaxb ，得 g( x1x2 )1 ( x 2x 22x x )a( x1x2 )b ，121 2242g( x1 )g( x2 )1 ( x 2axb)( x 2axb)221122121 ( x 2x 2 )a( x1x2 )b，22因为 1 (x 2x 22x x )1 ( x 2x 2 )1 ( xx ) 20 ，424121 21212122122即( x1x22 x1x2 )( x1x2 ) ，42所以 g( x1x2 )2g( x1 )g( x2 ).26.（ 1）已知奇函数f ( x) 在 a,b 上是减函数， 试问： 它在 b,a 上是增函数还是减函数？（ 2）已知偶函数g (x)在 a,b 上是增函数， 试问：它在 b,a 上是增函数还是减函数？解：（ 1）函数f ( x) 在b,a上也是减函数，证明如下：设bx1x2a ，则ax2x1b ，因为函数f ( x) 在 a,b 上是减函数，则f (x2 )f (x1 ) ，又因为函数f (x) 是奇函数，则f ( x2 )f ( x1 ) ，即f ( x1 )f (x2 ) ，所以函数f ( x) 在b,a上也是减函数；（ 2）函数g( x) 在 b,a 上是减函数，证明如下：设bx1x2a ，则ax2x1b ，因为函数g(x)在 a, b 上是增函数，则g (x2 )g(x1) ，又因为函数g( x)是偶函数，则g ( x2 )g( x1 ) ，即g (x1)g( x2 ) ，所以 函数g( x)在全月应纳税所得额税率( 0 0)b,a上 是减函数7. 中华人所得全月工不超过 1500 元的部分超过 1500 元至 4500 元的部分超过 4500 元至 9000 元的部分510人 民 共 和 国 个税规定， 公民20资、薪金所得不超过 3500元的部分不必纳税，超过3500 元的部分为全月应纳税所得额. 此项税款按下表分段累计计算：某人一月份应交纳此项税款为303 元，那么他当月的工资、薪金所得是多少？ 解：设某人的全月工资、薪金所得为x