江苏省苏州市-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14 个小题，每小题5 分，共计 70 分1已知集合 a= 1，0，1 ， b= 0， 1， 2 ，则 ab=2已知 f（x）是偶函数，当 x0 时， f（x）=x+1，则 f（ 1） =3若 tan =，3，则 tan（）等于4已知 a（ 3， 4）、b（5， 2），则| =5. 函数 y=e2x1 的零点是6. 把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为7. 若函数 f（x）=，则 f（ log23） =8. 函数的单调递增区间为9. 设是两个不共线向量，若 a、b、d三点共线，则实数p 的值是10若=，则 sin2 的值为11f（ x） =x2，若对任意的x t， t+2 ，不等式 f（ x+t） 2f（x）恒成立，则实数 t 的取值范围是12. 如图，o 是坐标原点， m 、n 是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为13. 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕 l 的长度=cm14函数是奇函数，且 f（ 2）f（x）f（ 2），则 a= 二、解答题：本大题共6 小题，计 90 分15已知=（1，2）， =（ 3，1）（）求；（）设的夹角为 ，求 cos的值；（）若向量与互相垂直，求 k 的值16已知，（ i）求 tan2 的值；（ ii）求 的值17. 已知函数 f（x）满足 f（ x+1）=lg（2+x） lg（ x）（1） ）求函数 f（ x）的解析式及定义域；（2） ）解不等式 f（x） 1；（3） ）判断并证明 f（x）的单调性18. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元该厂为鼓励销售商订购， 决定当一次订购量超过 100 个时， 每多订购一个， 订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单价不低于 51 元（1） ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？（2） ）设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 p 元，写出函数 p=f（x） 的表达式；（3） ）当销售商一次订购多少个时， 该厂获得的利润为 6000 元？（工厂售出一个零件的利润 =实际出厂单价成本）19. 如图 1，在 abc中，点 d 是 bc的中点（ i）求证：；（ ii）直线 l 过点 d 且垂直于 bc，e 为 l 上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（ iii）如图 2，若，f 为线段 ad 上的任意一点，求的范围20已知 g（x） =x2 2ax+1 在区间 1， 3 上的值域 0，4 （1） ）求 a 的值；（2） ）若不等式 g（2x） k?4x0 在 x 1，+）上恒成立，求实数k 的取值范围；（3） ）若函数有三个零点，求实数k 的取值范围2016-2017 学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14 个小题，每小题5 分，共计 70 分1已知集合 a= 1，0，1 ， b= 0， 1， 2 ，则 ab= 0，1【考点】 交集及其运算【分析】 利用交集的性质求解【解答】 解：集合 a= 1， 0， 1 ，b= 0，1，2 ， a b= 0， 1 故答案为： 0， 1 2已知 f（x）是偶函数，当 x0 时， f（x）=x+1，则 f（ 1） =2【考点】 函数的值【分析】 由题意得当 x0 时， f（ x） =x+1，由此能求出 f（ 1）【解答】 解： f（x）是偶函数，当 x0 时， f（x）=x+1，当 x0 时， f（x）=x+1，f（ 1） =（ 1）+1=2 故答案为： 23若 tan =，3，则 tan（）等于【考点】 两角和与差的正切函数【分析】 由正切的差角公式tan（）=解之即可【解答】 解： tan（）=，故答案为4已知 a（ 3， 4）、b（5， 2），则| =10【考点】 平面向量坐标表示的应用【分析】 由题意，已知a（ 3，4）、b（5， 2），将此两点坐标代入向量求模的公式，计算即可得到 | 的值【解答】 解：由题意 a（ 3， 4）、b（5， 2），| =10故答案为 105. 函数 y=e2x1 的零点是0【考点】 函数的零点【分析】 令 y=0，求出 x 的值，即函的零点即可【解答】 解：令 y=0，即 e2x=1，解得： x=0， 故答案为： 06. 把函数 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为y=sin（2x）【考点】 函数 y=asin（x+）的图象变换【分析】把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到 y=sin2x，再函数 y=sinx的图象上所有点向右平移个单位，得到 y=sin 2（x） ，写出要求的结果【解答】 解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到 y=sin2x，再函数 y=sin2x的图象上所有点向右平移个单位， 得到 y=sin 2（x） =sin（ 2x）对图象，所求函数的解析式为：y=sin（ 2x）故答案为： y=sin（2x）7若函数 f（x）=，则 f（ log23） =9【考点】 函数的值【分析】 由 log23log22=1，得到 f（log23）=，由此利用对数性质及运算法则能求出结果【解答】 解：函数 f（x）=，log23log22=1，f（log23）=9 故答案为： 98函数的单调递增区间为【考点】 复合三角函数的单调性【分析】 令 2k 2x2k+，kz，求得 x 的范围，即可得到函数的增区间【解答】解：令 2k 2x2k+，kz，求得 k x k+，kz，故函数的增区间为故答案为9设是两个不共线向量，若 a、b、d三点共线，则实数p 的值是 1【考点】 向量加减混合运算及其几何意义【分析】要求三点共线问题， 先求每两点对应的向量， 然后再按两向量共线进行判断，本题知道，要根据和算出，再用向量共线的充要条件【解答】 解：， a、b、d 三点共线， 2=2，p= p=1，故答案为： 110若=，则 sin2 的值为【考点】 两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦【分析】由三角函数公式化简已知式子可得cossin =0或 cos+sin =，平方可得答案【解答】 解：=， 2cos2= sin（ ）， 2（ cos2sin2）=cossin ，cossin =，0 或 cos+sin =， 平方可得 1sin2 =，0 或 1+sin2 =，sin2 =，1 或 sin2 = ，若 sin2 =，1 则 cos2=，0 代入原式可知应舍去，故答案为：11f（ x） =x2，若对任意的x t， t+2 ，不等式 f（ x+t） 2f（x）恒成立，则实数 t 的取值范围是（， ，+）【考点】 函数恒成立问题【分析】 问题转化为 | x+t| |x| 在 t， t+2 恒成立，去掉绝对值，得到关于t的不等式，求出t 的范围即可【解答】 解： f（x） =x2， x t ，t+2 ，不等式 f（x+t ） 2f（x）=f（x）在 t，t +2 恒成立， 即| x+t | |x| 在 t，t +2 恒成立，即： x（ 1+ ）t 在 t，t+2 恒成立， 或 x（ 1 ）t 在 t， t+2 恒成立， 解得： t 或 t ，故答案为：（， ，+）12. 如图，o 是坐标原点， m 、n 是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为 0.）【考点】 向量在几何中的应用【 分析】 设的 夹角 为， 则cos 1 ， 0 ），2=2+2cos 即可【解答】 解：设的夹角为 ，则 cos 1， 0），2=2+2cos 0，2）的范围为： 0，），故答案为 0，）13. 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕 l 的长度=cm【考点】 三角形中的几何计算【分析】根据图形判断直角三角形， 利用直角三角形求解ae=gecos2由 ae+be=lsin cos+2lsin，=6求解即可【解答】 解：由已知及对称性知，gf=bf=lcos，ge=be=lsin，又 gea=gfb=2，=lsinco，s2ae=gecos2 =lsinco，s2又由 ae+be=lsin cos+2lsin=得6： l=故答案为：14函数是奇函数，且 f（ 2）f（x）f（ 2），则 a=【考点】 函数奇偶性的性质【分析】 由 f（0）=0 可求 c，根据 f（ 2） f（x）f（2），利用基本不等式，即可得出结论【解答】 解：函数是奇函数且定义域内有0f（0）=0解得 c=0，故 f（ x） =x0，a0，f（ x） =（ ax=时取等号）f（ 2） f（ x） f（ 2）， 2a=， a=故答案为二、解答题：本大题共6 小题，计 90 分15已知=（1，2）， =（ 3，1）（）求；（）设的夹角为 ，求 cos的值；（）若向量与互相垂直，求 k 的值【考点】 平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】（）利用两个向量坐标形式的加减运算法则，进行运算（）把两个向量的坐标直接代入两个向量的夹角公式进行运算（）因为向量与互相垂直，所以，它们的数量积等于0，解方程求得 k 的值【解答】 解：（）=（1，2） 2（ 3， 1）=（1+6， 2 2）=（ 7， 0）（）（）因为向量与互相垂直，=所以，（）?（）=0，即因为=5，所以， 510k2=0，解得16已知，（ i）求 tan2 的值；，（ ii）求 的值【考点】 两角和与差的正切函数【分析】（i）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin ，tan ，进而利用二倍角的正切函数公式即可求得tan2 17. 已知函数 f（x）满足 f（ x+1）=lg（2+x） lg（ x）（1） ）求函数 f（ x）的解析式及定义域；（2） ）解不等式 f（x） 1；（3） ）判断并证明 f（x）的单调性【考点】 指、对数不等式的解法；函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）可令 t=x+1，则 x=t1，代入可得 f（t），即 f（ x）的解析式；再由对数的真数大于0，可得函数的定义域；（2） ）运用对数的运算性质和对数函数的单调性，可得不等式，解不等式可得解集；（ 3） f（x）在（ 1，1）上为增函数由单调性定义，分设值、作差、变形和定符号、下结论，注意运用对数函数的性质，即可得证【解答】 解：（1）f（x+1） =lg（ 2+x） lg（ x），可令 t=x+1，则 x=t1，可得 f（t）=lg（1+t） lg（1t），即有 f（x） =lg（ 1+x） lg（1x），由 1+x0 且 1 x 0，解得 1x1， 则函数 f（x）的定义域为（ 1，1）；（ 2）由 f（x） 1 即 lg（1+x） lg（ 1 x） 1，即为 lg（1+x） lg10（1 x），可得 01+x10（1x），解得 1x，则不等式的解集为（ 1，）；（3） ）证明： f（x）在（ 1，1）上为增函数理由：设 1 mn1，则f（m）f（n）=lg（ 1+m）lg（ 1 m） lg（1+n） lg（1 n）=lglg=lg?=lg?，由于 1mn 1，可得 1m1 n 0， 1+n1+m 0， 可得 01，01，则 0? 1，即有 lg?0，则 f（ m） f（n） 0，即 f（ m）f（n），故 f（ x）在（ 1，1）上为增函数18. 某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元该厂为鼓励销售商订购， 决定当一次订购量超过 100 个时， 每多订购一个， 订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单价不低于 51 元（1） ）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？（2） ）设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂单价为 p 元，写出函数 p=f（x） 的表达式；（3） ）当销售商一次订购多少个时， 该厂获得的利润为 6000 元？（工厂售出一个零件的利润 =实际出厂单价成本）【考点】 函数模型的选择与应用；分段函数的应用【分析】（1）根据当一次订购量超过100 个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02 元，可求得一次订购量为550 个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51 元；（ 2）函数为分段函数，当0 x 100 时， p 为出厂单价；当100 x 550 时，；当 x550 时， p=51，故可得结论；（ 3）根据工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价成本， 求出利润函数， 利用利润为 6000 元，可求得结论【解答】 解：（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为51 元时，一次订购量为x0 个，则（个）因此，当一次订购量为550 个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51 元（ 2 ）当 0x 100 时， p=60；当 100x550 时，；当 x550 时， p=51 所以（ 3 ） 设销售商的 一次 订购量为 x 个时， 工 厂获得的利润为 l 元， 则当 0x 100 时， l2000； 当 x500 时， l 6050；当 100x550 时，由，解得 x=500答：当销售商一次订购500 个时，该厂获得的利润为6000 元19. 如图 1，在 abc中，点 d 是 bc的中点（ i）求证：；（ ii）直线 l 过点 d 且垂直于 bc，e 为 l 上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（ iii）如图 2，若，f 为线段 ad 上的任意一点，求的范围【考点】 向量在几何中的应用【分析】（ i）延长 ad 到 a1 使得 ad=da1，连接 ca1，a1b，证明四边形 aca1b 是平行四边形，即可证明：；（ ii）证明?（） =（+） ?（）=?+?，即可得出： 为常数，并求该常数；（ iii）确定?（+）=2x（x），利用基本不等式，求的范围【解答】（i）证明：延长 ad 到 a1 使得 ad=da1，连接 ca1，a1b，d 是 bc的中点，四边形 aca1b 是平行四边形，| =，同理+?（=2，+）=?2=| ?| ，时取等号，20已知 g（x） =x2 2ax+1 在区间 1， 3 上的值域 0，4 （1） ）求 a 的值；（2） ）若不等式 g（2x） k?4x0 在 x 1，+）上恒成立，求实数k 的取值范围；（3） ）若函数有三个零点，求实数k 的取值范围【考点】 函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断【分析】（1）对 g（ x）配方，求出对称轴x=a，讨论若 1 a 3 时，若 a 3 时， 若 a1，由单调性可得最小值，解方程，即可得到所求a 的值；（ 2）由题意可得（ 2x）22?2x+1k?4x0，化为 k（ 2x）2 2?2x+1，令 t=2 x，求出 t 的范围，求得右边函数的最小值即可得到k 的范围；（ 3）令 y=0，可化为 | 2x1| 22?| 2x1|+ 1+2k3k?| 2x1| =0（| 2x1| 0） 有 3 个不同的实根 令 t=| 2x 1| ，讨论 t 的范围和单调性， t2（3k+2）t+1+2k=0 有两个不同的实数解t 1，t 2，已知函数有 3 个零点等价为 0t11，t21 或 0 t 1 1，t 2=1，记 m（t）=t2（ 3k+2）t +1+2k，由二次函数图象可得不等式组， 解不等式可得 k 的范围【解答】 解：（ 1）g（ x）=x22ax+1=（xa）2+1a2 在区间 1，3 上的值域 0， 4 若 1a3 时