最新平面向量复习基本知识点及经典结论总结

精品文档1、向量有关概念：平面向量 复习基本知识点及经典结论总结（ 1）向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么？（向量可以平移） 。如已知 a （ 1,2），b（ 4,2），则把向量 ab 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）（ 2） 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意 零向量的方向是任意的 ；（ 3） 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 ab 共线的单位向量是（ 4） 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；ab )；| ab |（ 5） 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，记作：a b ， 规定零向量和任何向量平行。提醒 ：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 0 ) ；三点a、b、c 共线ab、ac 共线；（ 6） 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是a 。如下列命题：（ 1）若 ab ，则 ab 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（ 3）若 abdc，则 abcd 是平行四边形。 （ 4）若 abcd 是平行四边形，则 abdc 。（ 5）若 ab,bc ，则 ac 。（ 6）若 a / b, b/ c ， 则 a / c 。其中正确的是 （答：（4）（ 5）2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ab ，注意起点在前，终点在后；（ 2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ， b ， c 等；（ 3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y轴方向相同的两个单位向量i， j 为基底， 则平面内的任一向量a 可表示为axiy jx, y ，称x, y为向量 a 的坐标， a x, y叫做向量 a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3. 平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1 、2 ，使 a=1 e12 e2。如（ 1） 若 a13(1,1),b(1, 1),c(1,2)， 则 c （ 答：ab ）；（ 2 ） 下列 向量组中，能作为平面内所有向量基底的是a.1222e(0,0), e(1, 2)b.e(1,2), e(5,7)c. e(3,5), e(6,10)d. e(2,3), e( 1 ,3) （答： b ）；（ 3）12121224已知 ad, be 分别是abc 的边 bc, ac上的中线 ,且ada, beb ,则 bc 可用向量 a, b 表示为 （答： 2 a4b ）；（ 4） 已知abc中，点 d 在 bc 边上，且cd2 db ， cdr abs ac ，则 r33s 的值是 （答： 0）4、实数与向量的积：实数与向量 a 的积是一个向量，记作a ，它的长度和方向规定如下：1aa ,2当0 时，a 的方向与 a 的方向相同，当0；当 p 点在线段p1 p 2 的延长线上精品文档时 1；当 p 点在线段 p 2 p 1 的延长线上时10 ；若点 p 分有向线段p1p2 所成的比为，则点 p 分有向线段p p 所成的比为1 。如若点 p 分 ab 所成的比为3，则 a 分 bp 所成的比为 （答：7 ）2 1（ 3）线段的定比分点公式：设 p (x ,y )、p (x4, y ) ，p(x,y) 分有向线段3xx1x2pp 所成的比为，则1，111222x1 2x1x2 2yy1y2 1特别地，当 1 时，就得到线段p1 p 2 的中点公式yy1y2 2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确( x, y) ，(x1, y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分1点和终点，并根据这些点确定对应的定比。如（ 1）若 m （-3， -2），n （6， -1），且mpmn，则点 p 的坐标为3 （答：(6,7 ) ）；（ 2） 已知3a( a,0), b(3,2a) ，直线 y1 ax 与线段 ab交于 m ，且 am22mb ，则 a 等于 （答：或）11. 平移公式 ：如果点p( x, y) 按向量ah, k平移至p( x , y) ，则xx hyy k；曲线f ( x, y)0 按向量a h, k平移得曲线f ( xh, yk)0 .注意 ：（ 1） 函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2） 向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如（ 1） 按向量 a 把 (2,3) 平移到 (1,2) ，则按向量a 把点 (7,2) 平移到点 （答：（，）；（ 2）函数 ysin 2x 的图象按向量a 平移后， 所得函数的解析式是ycos 2 x1，则 a （答： (,1) ）412、向量中一些常用的结论：（ 1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（ 2） | a | b | | ab | | a | b |，特别地，当a、b 同向或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab |； 当a、b反 向 或 有0| ab | a|b| a|b| a| b； 当a、b不 共 线| a|b| a|b a|( 这b些和实数比较类似).（ 3）在abc 中，若a x , y, b x , y,cx, y，则其重心的坐标为gx1x2x3, y1y2y3。如1122333324若 abc的三边的中点分别为（ 2，1）、（ -3 ，4）、（ -1 ，-1 ），则 abc的重心的坐标为 （答：(,) ）； 33 pg1 ( papbpc )3g 为abc 的重心，特别地papbpc0p 为abc 的重心； papbpbpcpcpap 为abc 的垂心；向量(abac)(0) 所在直线过abc 的内心 ( 是bac 的角平分线所在直线) ；| ab | ac |精品文档 | ab| pc| bc| pa| ca | pb0pabc 的内心；（ 3）若 p 分有向线段p1p2所成的比为，点 m 为平面内的任一点，则mpmp1 1mp2，特别地 p 为 p1 p2 的中点mpmp1