江苏省苏州市2018-2019学年第一学期高三数学期中调研测试(含附加含答案)

20182019 学年第一学期高三期中调研试卷数学（正题）201811注意事项：1. 本试卷共4 页满分160 分，考试时间120 分钟2. 请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效3. 答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内一、填空题 (本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置 )21. 设全集u = 1,2,3,4,5，若集合a3,4,5，则 eu a2. 命题“xr, x2 x1 0 ”的否定是3. 已知向量a(2,m) ， b(1, 2) ，且 ab，则实数 m 的值是4. 函数f ( x)lg(2x)2x 的定义域是5. 已知扇形的半径为6 ，圆心角为，则扇形的面积为36. 已知等比数列an的前 n 项和为sn ，4ss2s4 ，则8s47. 设函数f (x)asin(x) （ a,为常数，且 a0,0,0）的部分图象如图所示，则的值为8. 已知二次函数f (x)x22x3 ,不等式f ( x)m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间a, b 的长度为 ba )，则实数 m 的值是9. 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800 m3 ，深度为 3 m 如果池底每1 m2的造价为150 元，池壁每1 m2 的造价为120 元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为m 10. 在abc 中， sin a2sin bcosc0 ，则 a 的最大值是11. 已知函数fx2x, xe1,，若 fx1fx2fx3x1x2x3，则x1 fx3的取2值范围是ln x , xx 1,12aa 5n1bb na已知数列n的通项公式为n，数列n的通项公式为n, 若将数列n，bn中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列cn，则c6 的值为 13. 如图，在平面四边形abcd 中， abbc ， adcd ，bcd60 ，cbcd23 .uuuruuuur若点 m 为边 bc 上的动点，则amdm的最小值为c mb14. 函数f ( x)adex xa 在 (1,2) 上单调递增，则实数a 的取值范围是二、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本题满分14 分)已知 m(2cos23,2sin2) ， n(sin,cos) （ 1）若6 ，且f ()m n ，求f () 在0,2上的取值范围；（ 2）若m / /n ，且、的终边不在y 轴上，求 tan()tan的值16. (本题满分14 分)已知等差数列an的前 n 项和为an，a35 ， a636 数列bn的前 n 项和为bn ，且 bn2bn1（ 1）求数列 an 和bn的通项公式；（ 2）设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和sn 17 (本题满分 14 分)某湿地公园围了一个半圆形荷花塘如图所示，为了提升荷花池的观赏性，现计划在池塘的中轴线 oc 上设计一个观景台d（点 d 与点 o，c 不重合），其中 ad ，bd，cd 段建设架空木栈道，已知ab2 km ，设建设的架空木栈道的总长为ykm （ 1）设dao(rad)，将 y 表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（ 2）试确定观景台的位置，使三段木栈道的总长度最短c荷花荷花d荷花荷花aob18. (本题满分16 分)已知 f(x)exax 是奇函数e（ 1）求实数 a 的值；（ 2）求函数ye2 xe 2 x2f ( x) 在 x 0 ,) 上的值域；（ 3）令g( x)f ( x)2x ，求不等式g ( x31)g(13x2 )0 的解集19. (本题满分16 分)n已知数列 a 的首项为 1，定义：若对任意的nn * ，数列 ann1 满足 aan3 ，则称数列 an 为“ m 数列”（ 1）已知等差数列 an为“ m 数列”， 其前 n 项和 sn满足 s2n22nnn *，求n数列 an 的公差 d 的取值范围；（ 2）已知公比为正整数的等比数列 a 为“ m 数列”，记数列 b 满足 b3 a ，且数4列 bn n不为“ m 数列，求数列 an 的通项公式nnn20. (本题满分16 分)设函数f ( x)ax1lnx ， a 为常数（ 1）当 a2 时，求f ( x) 在点 (1,f(1)处的切线方程；（ 2）若x1 , x2 为函数f (x) 的两个零点，x1x2 求实数 a 的取值范围；比较xx 与 2 的大小关系，并说明理由12a20182019 学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加)2018 11注意事项：1. 本试卷共2 页满分40 分，考试时间30 分钟2. 请在答题卡上的指定位置作答，在本试卷上作答无效3. 答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试证号填写在答题卡的规定位置21【选做题】 本题包括a、b、c、d 四小题，请选定其中两题，在答题卡上填涂选作标志，并在相应的答题区域内作答若多做， 则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤a （本题满分10 分）已知 ad 是 abc 的外角 eac 的平分线，交bc 的延长线于点d，延长 da 交 abc的外接圆于点f，连结 fb， fc .（ 1）求证： fbfc ；（ 2）若 ab 是 abc 外接圆的直径，eac120， bc6 ，求 ad 的长b（本题满分10 分）已知可逆矩阵a=a2b的逆矩阵为a 12，求 a1 的特征值737ac（本题满分10 分）在平面直角坐标系xoy中，圆 c 的参数方程为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ 1）求圆 c 的极坐标方程；x22cos, y2sin（为参数），以点 o 为（ 2）过极点o 作直线与圆c 交于点 a，求 oa 的中点所在曲线的极坐标方程d（本题满分10 分）已知函数f ( x)3x6 ， g( x)14x ，若存在实数x 使f ( x)g( x)a 成立，求实数 a 的取值范围22（本题满分10 分）如 图 ， 在 四 棱 锥 pabcd 中 ，bc pb ， abbc ， ad / / bc ， ad3 ，pabc2 ab2 ， pb3 (1) 求二面角pcda的余弦值；(2) 若点 e 在棱 pa上，且be / / 平面 pcd ，求线段 be 的长pebcad23（本题满分10 分）已知函数f 0 ( x)cosx( xx0) ，设f n ( x) 是f n 1( x)的导数， nn* (1) 求 的值；2 f1 ()f2 ()222(2) 证明：对于任意nn* ，等式 nf2n1 ()f n ()都成立444220182019 学年第一学期高三期中调研试数学参考答案与评分标准201811一、填空题 (本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分)1.1,22.2xr, x2 x103.14.2,25.6. 107.8.59. 16010.11.31(e2 ,0)2112. 25613.414. a-1或 a3二、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本题满分14 分)解：（ 1）因为13，所以n(,) 622所以 f ()m n =cos23sin 23，2 分2即 f ()2sin(2)3，3 分6271因为0, ，所以22, ；所以666sin(2),1 ；5 分62所以 f ()的取值范围是1 7,2 27 分（2）由m / /n ，所以 (2cos23)cos2sin2sin0 ，9 分所以 2cos(2)3cos0 ，10 分所以 2cos()cos2sin()sin3cos()cos3sin()sin0 ， 因为、的终边不在y 轴上，所以cos(),cos均不为 0，所以 5cos()cossin()sin0 ，12 分因为所以 tan()tan5 14 分16. (本题满分14 分)解：（ 1）因为an是等差数列 ,设an的公差为 d ，由 a35 ， a636 ，得a12d2a15d5,2 分12,所以 a11 ， d2 ，所以 an2 n1 ；4 分由 bn2bn1可知，当 n1时，b11 ；5 分当 n 2 时，bn 12bn 11 ，所以 bnbn 12bn2bn 1 ，从而 bn2bn1 (n 2) ，7 分又 b11，所以bnbn 12(n 2) ，所以bn是等比数列，8 分所以 bnn 129 分（2）因为cnanbn ，所以 cn(2n1) 2n 1 ，sccclc1 203 21522l(2 n3)2n 2(2 n1)2n 1，n123n2sn1 213 225 23l(2 n3)2n 1(2 n1)2n ，11 分22n所以sn1 202212 22l22n 1(2 n1)2n12(2 n121)2 n ，所以 sn(2 n3)2 n3 14 分17. (本题满分 14 分)解：（ 1）由dao， ocab ， oaob1 ，则 dadb1cos， dotan，所以 dc1 tan，4 分所以 ydadbdc21tan2 sin1 , 0.7 分coscos4（注：表达式2 分，的的取值范围1 分）(2)y2sin1 ，9 分cos2令 y0 ,得 sin1，又 02，所以4，10 分6当 0时， y60 ， y 是的减函数；当时， y640 ， y 是的增函数 .12 分所以，当时， ymin631，此时 dotan3 .13 分3答：当 d 位于线段ab 的中垂线上且距离ab 边3 km3处时,能使三段木栈道总长度最短.14 分18. (本题满分16 分)解：（ 1）函数的定义域为r ，因为f ( x) 为奇函数，由f (x)f ( x) 可知，f (0)0 ，所以 1a0 ，所以 a1 ；3 分当 a1 时， f (x)e x1ex1e xexf (x) ，此时f (x) 为奇函数4 分（2） 令 ex1t （ t 0 ），所以 exe2 x1e2 xt 222所以 h( t)t2 t2 ，对称轴 t，5 分当 0 时，h(t)h(0),，所求值域为2,；7 分当0 时，h(t)h(),，所求值域为22 ,；9 分（3） 因为f (x)ex1x 为奇函数，所以eg(x)f (x)2(x)f (x)2xg( x),所以 g( x)f ( x)2x 为奇函数，所以 g( x31)g (13x2 )0 等价于g ( x31)g(3x21) ，10 分又 g ( x)f ( x)2ex12 220 当且仅当 x ex0 时，等号成立，所以 g( x)f ( x)2x 在 r 上单调增，所以 x313x21 ，13 分即 x33x220 ，又 x33x22( x1)( x22x2)0 ，所以 x13 或1x13 15 分所以不等式的解集是(,13) u (1,13) 16 分19. (本题满分16 分)解：（ 1）因为等差数列 an为“ m 数列”，所以 d3 ，2 分由a11 ，得snnn(n21)d ， 由题意，得 nn(n1) d22n22n 对 nn均成立，即 n1 d4n2 对 nn 均成立，4 分当 n1 时， d3 均成立；5 分当 n 2 时， d4n2n1恒成立，因为 4n2n1464 ，所以 3n1d 4 ，7 分综上可得，数列 an的公差 d 的取值范围是3d 4 8 分（2）设数列 a 的公比为 q ，则 aa qq，nn11nn1n 1因为公比为正整数的等比数列 an 为“ m 数列”，n1n1n1所以 aaa q(q1)q(q1)3 ，所以 q 至少为大于等于2 的正整数；9 分又 an 1anq 2 ，所以数列 anan1 单调递增，anan 1所以在数列 anan 1 中 ， a2a1 为最小项，11 分由 an为“m数列 ”，可知只需a2a13 ，即q13 ，所以 q412 分同理，在 bnbn 1中， “b2b1 ”为最小项，因为 bn 不是 “m数列 ”，所以存在bmbm 1 3 ，又“b2b1 ”为最小项，所以b2b1 3 ， 即a1 (q1) 4 ，所以q 514 分因为 qn*， 所以 q5 ， ann 1516 分20. (本题满分16 分)解：（ 1）当 a2 时，f ( x)2x1ln x ，得 f( x)21 ， x所以 f(1) 1 ，所以f ( x) 在点 (1, f(1)处的切线方程为yx ；3 分（2）f ( x)ax1ln x （ x0 ） ,得 f( x)a1ax1，当 a0 时，f ( x)0 ，xxf (x) 单调递减不满足题意；4 分当 a0 时， x1(0, a ) ，f ( x)0 ； x1( a ,) ，f ( x)0 ；(0,)上单调减，在所以 f ( x) 在1 a1(,) 上单调增a因为函数f (x) 有两个零点，所以f ( x)min1f ()0 ，得 0aa1 6 分(0,)下证：在区间1a1和(,) 内分别存在一个零点.a(0,)在1内，因为1f ()a0 ，而1f ()0 ，又f ( x)1在 (0,)上单调减，所以由零点存在aeeaa(0,)性原理可知：在1a内 f ( x) 有一个零点；9 分法一：在1(,) 内，可以证明ln xx1ax ，所以 lnxx 即 ln x2x ，所以 f ( x)ax1ln xax1 2xa(x1) 211 ，aa取 x0( 21)2 ，得 a(x1 )211a(11 )2111a10 ， 而 f ()0 ，0a又 f (x) 在aaaa1(,) 上单调递增，所以由零点存在性原理可知：在aa1(,) 内af ( x) 有一个零点12 分法二 : 在1(,)a内，因为ln xx1x （易证） ，所以lnxx 即 ln x2 x ，所以f ( x)ax1ln xax1 2x ，令xt 且 g (t )at 22t1，因为 0a1 ，所以存在t 0 ，使得 g(t0)0 ，所以f (t0)0 ，而1f ()0 ，又af ( x) 在1(,) 上单调增，所以由零点存a(,) 内，在性原理可知在1af ( x) 有一个零点12 分21222a24法 三 : 在(,) 内 取 x0ea ， 所 以 f ( x )aea1(2 ea) ， 令a0a2aa 22 t(t a2) ， g (t)2ettt 2 ，可证： ett 2 ，所以 g(t)2ettt 2t 2tt (t1)0 ，所以f (x01)0 ，而 f ( )0a，又 f1(x) 在 (,)a(,)上 单 调 增 ， 所 以 由 零 点 存 在 性 原 理 可 知 在1a内 ，f ( x)有 一 个 零点12 分 x1x22 13 分axln x1证明如下：由ax1ln x0 ， ax1 ln x0 ，所以a( xx)ln x1 即 ax2，11221222( x11)x1x212要证 xx2即证ln x12( x1x2 )，即证ln x1x2，a，x2x1x2x2x11x2x2(t1)14(t1)22令1t (t1) ，令 ht() nlt，h (t)0 ，所以h(t )h(1)0 ，x2t1tt1 2t t1所以 x1x22a 16 分20182019 学年第一学期高三期中调研试卷数学 (附加)参考答案与评分标准20181121. 【选做题】 本题包括a、b、c、d 四小题， 请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a （本题满分10 分）证明：（ 1） ad 平分 eac ， ead = dac ，四边形afbc 内接于圆 , dac =fbc ， ead =fab = fcb， fbc = fcb ， fb = fc .5分(2) ab 是圆的直径，acd90，eac120 ，dac1eac 260 ，d30 ，在 rt acb 中， bc = 6 ， bac =60 ， ac = 23 ，又在 rt acd 中， d =30， ac=23 ， ad = 43 10 分b（本题满分10 分）解：由a a 1e 可知，a a 1a2b210737a01所以 ab141 ， 7b210 ，143a13 分所以 a5,b3 ；5 分所以 a13275， f ()3227581 ，8 分由 f ()0 ，1415 ，2415 10 分22c（本题满分10 分）解：（ 1）由sin 2cos21 ，所以圆c 的普通方程(x2)y4 ，3 分又点 o 为极点， ox 为极轴，所以x 222y, xcos, ysin，所以圆 c 的极坐标方程是4cos；6 分（2） 设 oa 的中点为 (0 ,0) ，则a(20 ,0 )，所以 204cos0 ，即02cos0 ，所以 oa 的中点所在曲线的极坐标方程为2cos10 分d（本题满分10 分）解：因为f(x) g(x)3x614 x (3， 1) (x 2，14 x)3 分23 1 x 2 14 x 8,5 分,当且仅当x 2 3即 x 10 时取等号7 分14 x1所以 f(x) g(x)的最大值是88 分所以 a8 ， 即实数 a 的取值范围是 ( , 8)10 分22（本题满分10 分）解：(1)在 pab 中，因为pa = 2 ， pb =3 ，ab =1 ，所以 pa2= ab2 + pb2 ，所以 pb ab 所以，建立空间直角坐标系bxyz ，如图所示1 分所以 a(1,0,0) ， b(0,0,0)uuuruuur， c (0,2,0)， d (1,3,0) ，p(0,0,3) ，cd(1,1,0)， pc(0,2,3) 易知平面abcd 的一个法向量为n = (0,0,1)2 分设平面 pcd 的一个法向量为uuurm = (x, y, z) ，m cd则uuurm pc0,xy即0.2 y0,3z.令 z = 2 ，则m = (-3,3,2)4 分设二面角 pcda 的平面角为，可知为锐角，则 coscosn, mn m210 ，nm3345即二面角 pcda 的余弦值为1056 分uuuruuur(2) 因为点 e 在棱 pa ，所以 aeap ，0,1 因 为uuurap=（ - 1,0,3) ，uuur所以 ae=（- ,0,3) ，uuruuruuur bebaae(1,0,3) 又因为be / / 平面 pcd ， m 为平面 pcd 的一个法向量，uur所以 bem0 ，即3(1)230 ，所以= 139 分uur所以 be23(,0,)33，所以be =uur be =7 10 分323（本题满分10 分）