高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义

一、变化率与导数第三章导数及其应用1、定义：设yfx在xx0 处取得一个增量xx0 .函数值也得到一个增量y, 称y 为从x x0到x0x的平均变化率. 若当时x0时，有极限存在，则称此极限值为函数y在xx0处的瞬时变化率，记为 limyx0xlimx0fx0xfx0x，也称为函数y在xx处的导数，记作fx或y,00x x00即f xlimx0fx0xfx0.x说明：导数即为函数yfx在xx0处的瞬时变化率.2、几何意义 :x0时， q沿fx图像无限趋近于点p时，切线pt的斜率 .即 fx0kpt .3、导函数（简称为导数）yfx称为导函数，记作y，即 f xy=y = limx0xlimx0fxxfx.x二、常见函数的导数公式11 若 f(x)c (c 为常数 )，则f (x)0 ；2 若 f(x)x,则 f( x)x;3 若 f(x)sinx ,则 f( x)cos x4 若 f(x)cos x ,则 f( x)sin x ;5 若 f(x)ax , 则 f( x)xaln a6 若 fxx( x)e , 则 f ( x)ex17 若 f(x)loga , 则 f(x)x ln a 18 若 f(x)lnx , 则 f(x)x三、导数的运算法则1.f ( x)g (x)f (x)g (x)2.f ( x)g( x)f ( x)g(x)f (x)g ( x)f ( x)f ( x)g (x)f (x)g ( x)3.g( x) g( x) 2四、复合函数求导yf (u) 和 ug (x) ,称则 y 可以表示成为x 的函数 ,即yf ( g( x) 为一个复合函数，则yf (g ( x)g ( x)五、导数在研究函数中的应用1. 函数的单调性与导数:（ 1）在某个区间( a, b) 内，如果f( x)0 ，那么函数yf ( x)在这个区间单调递增；如 果 f( x)0 ，那么函数yf (x) 在这个区间单调递减.说明：若fx 在定义域区间上不是单调的，则常常用f x=0 的点划分fx 的单调区间 .若f x在某个区间恒有f x0，则 fx是常函数；若f x在某个区间内只有有限个点使 fx0，其余恒有 fx0, 则fx仍为增函数 .例如：fxx3在r上有 f 00，其余恒有 fx0,， fxx3仍为 r上的增函数，其函数图像为：（2） 求单调区间的步骤：求fx 的定义域；求导 f令f x令fxx ；0，解集在定义域内的部分为增区间.0，解集在定义域内的部分为减区间.说明：当函数有多个递增区间或递减区间时，不能用“ ”、“或”相连，应该用“，”隔开或用“和”.（3） 一种常见的题型：已知函数的单调性求参数的取值范围，利用“若fx单调递增，则fx0；若fx单调递减，则f x0?来求解，注意等号不能省略，否则可能漏解！2. 函数的极值与导数（ 1）极大、极小值得定义：若对x0附近的所有的点，都有fxfx0若对x0附近的所有的点，都有fxfx0且fx0=0，则称 fx0是函数 fx的一个极且fx0=0，则称 fx0是函数 fx的一个极大值 .称x0是极大值点 .小值.称x0 是极小值点 .说明：极大值与极小值统称为极值，极大值与极小值点统称为极值点，极值点是实数而不是点.（ 2）求函数的极值的步骤：确定定义区间，求导fx ；求方程 fx=0的解 x0；检查x0左右两边 fx 的符号：i、如果在x 附近的左侧f x0, 右侧 f x0, 那么 fx是极大值 ;00ii 、如果在x 附近的左侧f x0, 右侧 f x0, 那么 fx是极小值 ;00iii 、如果在x0 左右两侧导函数不改变符号，那么fx 在x0处无极值 .说明：在解答过程中通常用列表：3、4、函数的最值与导数求函数yf ( x) 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤 求函数yf (x) 在 (a,b) 内的极值； 将函数yf (x) 的各极值与端点处的函数值f (a) ，f (b) 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.说明：“最值”是整体概念， “极值”是个局部概念.5、生活中的优化问题解决优化问题的基本思路：扩展：常见的导函数构造函数型：x1、关系式为 “加”型/1fxfx0构造/x/e fxefxf